Aufgabenblatt 2. Abgabedatum: 3.11.2016, bis 8:30 Uhr in der VL.

(1)

Einf¨ uhrung in die numerische Mathematik

Wintersemester 2016/17 Prof. Dr. Sven Beuchler Dr. Markus Siebenmorgen

Aufgabenblatt 2. Abgabedatum: 3.11.2016, bis 8:30 Uhr in der VL.

Aufgabe 1. (Moore-Penrose Inverse)

Sei A

^†

die Moore-Penrose Inverse von A ∈ C

^n×n

. Zeigen Sie, dass A

^†

die Gleichungen AA

^†

A = A

A

^†

AA

^†

= A

^†

(AA

^†

)

^∗

= AA

^†

(A

^†

A)

^∗

= A

^†

A erf¨ ullt.

(4 Punkte) Aufgabe 2. (Orthoprojektor)

a) Gegeben sei f ∈ C

ⁿ

und eine Matrix P ∈ C

^n×n

mit hP f − f, vi = 0 ∀v ∈ Im(P ).

Zeigen Sie, dass P ein Orthoprojektor ist.

b) Es sei v ∈ R

ⁿ

mit kvk

₂

= 1. Zeigen Sie, dass die Matrix P = I − vv

^|

ein Orthopro- jektor ist.

(5 Punkte) Aufgabe 3. (orthogonale Matrizen und Rotationen)

Zeigen Sie, dass f¨ ur jedes α ∈ R die Matrix A :=

cos α sin α

− sin α cos α

orthogonal ist. Geben Sie ein Beispiel f¨ ur eine orthogonale 2 × 2-Matrix an, die nicht von der obigen Gestalt ist.

(3 Punkte) Aufgabe 4. (Pseudoinverse)

Sei

A =





2 2

1 −1

2 2



 , b =



 3 2

−3



 .

Man berechne

a) die Singul¨ arwertzerlegung A = V ΣU

^T

von A, b) die Pseudoinverse A

⁺

von A,

c) den Vektor x

⁺

, der das Residuum r

x

= b − Ax in der Euklidnorm minimiert.

(4 Punkte)

(2)

Programmieraufgabe 1. (QR-Verfahren)

Schreiben Sie ein Programm zur Bestimmung einer QR-Zerlegung einer Matrix A ∈ R

^m×n

mit m ≥ n und Rang(A) = n. Gehen Sie dabei wie folgt vor:

• Implementieren Sie ein Orthogonalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt f¨ ur lin- ear unabh¨ angige Vektoren {a

₁

, . . . , a

_n

} ∈ R

^m

mit m ≥ n. Das Verfahren l¨ asst sich wie folgt beschreiben:

q

1

= a

1

ka

₁

k

₂

,

˜

q

_i

= a

_i

−

i−1

X

j=1

ha

_i

, q

_j

iq

_j

, q

_i

= q ˜

_i

k˜ q

_i

k

₂

f¨ ur i = 2, . . . , n.

Die Vektoren {q

₁

, . . . , q

n

} sind dann orthonormal zueinander.

• Wenden Sie das Orthogonalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt auf die Spalten von A an und setzen Sie Q = [q

1

, . . . , q

n

]

^|

∈ R

^m×n

. Bestimmen Sie danach die obere Dreiecksmatrix R ∈ R

^n×n

durch R = Q

^|

A. • Bestimmen Sie nach obigem Verfahren eine QR-Zerlegung der Hilbertmatrix

H

_n

=







1

¹₂ ¹₃

. . .

¹_n

1 2

1 3

1

4

. . .

_n+1¹

1 3

1 4

1

5

. . .

_n+2¹

.. . .. . .. . . .. .. .

1 n

1 n+1

1

n+2

. . .

_2n−1¹







f¨ ur n = 10, 30, 100 und testen Sie die Spaltenvektoren von Q auf Orthogonalit¨ at.

Bilden Sie daf¨ ur paarweise die Skalarprodukte und geben Sie das betragsm¨ aßige Maximum aus.

(8 Punkte)

Die Abgabe der Programmieraufgabe erfolgt in den Cip-Pools am 14.11.2016 und 16.11.2016. Sollten Sie die Aufgabe bereits bis zum ersten Abgabe-Termin gel¨ ost haben, kann diese auch da schon abgegeben werden. Die Listen f¨ ur die Anmeldung zu den Abgabe-Terminen h¨ angen in der Woche vom 7.11.2016–11.11.2016 aus.

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