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1 Die Minimum Chiquadrat Methode

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Academic year: 2021

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1 DIE MINIMUM CHIQUADRAT METHODE 1

1 Die Minimum Chiquadrat Methode

Wir betrachten im folgenden diskret-verteilte oder gruppierte Stichproben der Form Klasse 1 2 . . . K

Anzahl y1 y2 . . . yK

Hier bezeichnetyk,k= 1, . . . , K, die beobachtete H¨aufigkeit in der k-ten Klasse. Sein=Pkyk der Stichprobenumfang und πk die Wahrscheinlichkeit f¨ur die Klasse k unter einem hypotheti- schen Verteilungsmodell. Damit resultiertk als erwartete H¨aufigkeit. Die G¨ute der Modellan- passung kann nun durch Pearson-Statistik

X2 = XK k=1

(yk−nπk)2

k (1)

beschrieben werden. Durch einfache Umformung erh¨alt man mit den empirischen Wahrschein- lichkeiten (relativen H¨aufigkeiten)pk =yk/ndaf¨ur

X2 = X

k

yk22ykk+n2π2k k

= X

k

µyk n

2 n

πk 2X

k

yk

| {z }

=n

+nX

k

πk

| {z }

=1

= n

ÃX

k

p2k πk 1

! .

Oft h¨angen die hypothetischen Wahrscheinlichkeiten πk selbst von unbekannten Parametern λ ab. Eine M¨oglichkeit diese Parameter zu sch¨atzen stellt die Minimum Chisquare Method dar.

Hierbei wird jener Wert vonλals Sch¨atzer verwendet, der (1) f¨ur πk=πk(λ) minimiert. Dazu sucht man die Nullstelle ˆλvon

∂λX2(λ) = n

∂λ X

k

p2k πk(λ)

= −nX

k

p2k π2k(λ)

∂πk(λ)

∂λ . (2)

Diese ist oft eine nichtlineare Funktion in λ und ˆλ kann nur numerisch (iterativ) gefunden werden. Als zweite Ableitung resultiert

2

∂λ2X2(λ) = −nX

k

Ã−2p2k π3k(λ)

µ∂πk(λ)

∂λ

2 + p2k

π2k(λ)

2πk(λ)

∂λ2

!

. (3)

Die Iteration lautet somit f¨ur den (t+ 1)-ten Schritt λt+1 = λt

∂λX2(λ)

¯¯

¯¯

λ=λt

à 2

∂λ2X2(λ)

!−1¯

¯¯

¯¯

¯λ=λt

= λt+ Ã

nX

k

p2k π2k(λ)

∂πk(λ)

∂λ

! Ã nX

k

à 2p2k πk3(λ)

µ∂πk(λ)

∂λ

2

p2k πk2(λ)

2πk(λ)

∂λ2

!!−1 (4)

(2)

1 DIE MINIMUM CHIQUADRAT METHODE 2 Oft kann auch die Inverse in (4) durch ihren Erwartungswert ersetzt (approximiert) werden. Das Verfahren wird dannFisher Iteration genannt.

F¨ur den Fall der Poisson-Verteilung mit Parameterλergibt sich f¨ur k= 0,1, . . . πk(λ) = λk

k! e−λ

∂λ πk(λ) = µk

λ−1

πk(λ) (5)

2

∂λ2 πk(λ) =

k λ−1

2

k λ2

# πk(λ).

Die Iteration wird mit einem Anfangswertλ0 gestartet, welcher h¨aufig durch die Momentenme- thode berechnen werden kann. F¨ur die Poisson-Verteilung gilt λ0 = ¯y=Pkkyk/n.

1.1 Offene Klassen

Speziell f¨ur Poisson-verteilte Gr¨oßen hat man immer eine endliche letzte Klasse, z.B.

Wertk 0 1 . . . K−1 ≥K Anzahl y0 y1 . . . yK−1 yK Modell π0 π1 . . . πK−1 πK

Hier beschreibtπK die Wahrscheinlichkeit in zumindest KlasseK zu realisieren, also πK = 1

K−1X

k=0

πk. (6)

Durch diesen kleinen Unterschied resultieren f¨urk= 0, . . . , K1 zwar wiederum die Ergebnisse aus (5), aber f¨ur die letzte Klasse,k=K, gilt jetzt speziell

∂λ πK(λ) =

K−1X

k=0

∂λ πk(λ) (7)

2

∂λ2 πK(λ) =

K−1X

k=0

2

∂λ2 πk(λ) (8)

mit den πk(λ) Ableitungen,k= 0, . . . , K 1, so wie in (5) spezifiziert.

1.2 Beispiel

Wir passen der Stichprobe ¨uber H¨aufigkeiten vonn= 109k-silbigen Worten in einem slawischen

Text k 0 1 2 3 4 5 gesamt

Anzahl 44 35 17 6 6 1 109

eine Poisson-Verteilung mit Parameterλan. Als Initialisierung f¨ur die Iteration (4) verwenden wirλ0=Pkkyk/109 = 1.06, was einenX2-Wert von 11.3 ergibt. Weiteres Iterieren liefert

(3)

1 DIE MINIMUM CHIQUADRAT METHODE 3 it= 0 lambda= 1.064220 X2= 11.27654

it= 1 lambda= 1.128125 X2= 10.44464 it= 2 lambda= 1.136973 X2= 10.43276 it= 3 lambda= 1.137104 X2= 10.43276 it= 4 lambda= 1.137104 X2= 10.43276 it= 5 lambda= 1.137104 X2= 10.43276

Man sieht hierbei, dass sich bereits nach zwei Iterationen der Wert des Sch¨atzers fast nicht mehr

¨andert. DieX2 Werte in Abh¨angigkeit vom Parametersch¨atzer sind in der Abbildung dargestellt.

1.05 1.10 1.15 1.20

10.410.610.811.011.211.411.6

lambda

X**2(lambda)

Abbildung 1: X2 Statistiken f¨ur verschiedene Werte von λ. Weiters eingezeichnet sind die Er- gebnisse f¨ur den Initialwert (links) und den Endwert (Mitte) von λ.

Abbildung

Abbildung 1: X 2 Statistiken f¨ur verschiedene Werte von λ. Weiters eingezeichnet sind die Er- Er-gebnisse f¨ur den Initialwert (links) und den Endwert (Mitte) von λ.

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