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Zeigen Sie, daß dann f &gt

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Academic year: 2021

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Mathematisches Institut Lehrstuhl Optimierung

Prof. Dr. rer.nat. habil. S. Pickenhain Sommersemester 2011

Analysis II f¨ur die Studieng¨ange

Mathematik und Wirtschaftsmathematik, Physik Aufgabenblatt 2

Abgabetermin: 21.04.2011

Aufgabe 5 a) Es seien f, g auf [a, b] stetige und auf (a, b) differenzierbare Funktionen. Weiter geltef(a) =g(a) undf(x)> g(x) auf (a, b). Zeigen Sie, daß dann f > g auf (a, b) gilt. (Benutzen Sie den Mittelwertsatz.)

b) Es seien f, g auf (a, b) stetig differenzierbare Funktionen. Weiter gelte f(x0) =g(x0) f¨ur ein x0 (a, b) undf(x) =g(x) auf (a, b). Zeigen Sie, daß dann f =g auf (a, b) gilt. (Benutzen Sie den Mittelwertsatz.)

c) Zeigen Sie, daß xα−αx≥1−α ∀x≥1, α1 gilt.

d) Zeigen Sie, daß tanx > x+x33 ∀x∈(0, π/2) gilt.

e) Zeigen Sie:

arctan(1 +x 1−x

)arctan(x) =

{ π

4 : x <1

−3π

4 : x >1

3+3+2+2+2 Punkte Aufgabe 6 Beweisen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrech- nung:

Ist f auf (a, b) zweimal stetig differenzierbar und f′′(x) > 0 ∀x (a, b), dann gilt f¨ur allex, x0 (a, b), x̸=x0

f(x0)(x−x0) +f(x0)< f(x).

Geben Sie eine geometrische Interpretation.

4 Punkte

(2)

Aufgabe 7 a) Formulieren und beweisen Sie die Regel von Bernoulli – de l` Hospital f¨ur den Fall .

b) Bestimmen Sie mit der Regel von Bernoulli – de l` Hospital folgende Grenzwerte:

a) lim

x0

cosx 1−x2

x4 , b) lim

x→∞

coshx

sinhx, c) lim

x→∞

π/2−arctanx

ex ,

d) lim

x0+0xx, e) lim

x10(lnxln(1−x)).

3 + (1+1+1+2+2) Punkte

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