Mathematisches Institut Lehrstuhl Optimierung
Prof. Dr. rer.nat. habil. S. Pickenhain Sommersemester 2011
Analysis II f¨ur die Studieng¨ange
Mathematik und Wirtschaftsmathematik, Physik Aufgabenblatt 2
Abgabetermin: 21.04.2011
Aufgabe 5 a) Es seien f, g auf [a, b] stetige und auf (a, b) differenzierbare Funktionen. Weiter geltef(a) =g(a) undf′(x)> g′(x) auf (a, b). Zeigen Sie, daß dann f > g auf (a, b) gilt. (Benutzen Sie den Mittelwertsatz.)
b) Es seien f, g auf (a, b) stetig differenzierbare Funktionen. Weiter gelte f(x0) =g(x0) f¨ur ein x0 ∈(a, b) undf′(x) =g′(x) auf (a, b). Zeigen Sie, daß dann f =g auf (a, b) gilt. (Benutzen Sie den Mittelwertsatz.)
c) Zeigen Sie, daß xα−αx≥1−α ∀x≥1, α≥1 gilt.
d) Zeigen Sie, daß tanx > x+x33 ∀x∈(0, π/2) gilt.
e) Zeigen Sie:
arctan(1 +x 1−x
)−arctan(x) =
{ π
4 : x <1
−3π
4 : x >1
3+3+2+2+2 Punkte Aufgabe 6 Beweisen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrech- nung:
Ist f auf (a, b) zweimal stetig differenzierbar und f′′(x) > 0 ∀x ∈ (a, b), dann gilt f¨ur allex, x0 ∈(a, b), x̸=x0
f′(x0)(x−x0) +f(x0)< f(x).
Geben Sie eine geometrische Interpretation.
4 Punkte
Aufgabe 7 a) Formulieren und beweisen Sie die Regel von Bernoulli – de l` Hospital f¨ur den Fall ∞∞.
b) Bestimmen Sie mit der Regel von Bernoulli – de l` Hospital folgende Grenzwerte:
a) lim
x→0
cosx − √ 1−x2
x4 , b) lim
x→∞
coshx
sinhx, c) lim
x→∞
π/2−arctanx
e−x ,
d) lim
x→0+0xx, e) lim
x→1−0(lnxln(1−x)).
3 + (1+1+1+2+2) Punkte