Bilder analysieren und rekonstruieren
BärbelBarzel, Freiburg AndreasPallack, Soest
FranzSchlöglhofer, Linz, Gmunden (Österreich)
Wie kann man die Bilder erzeugen?
SteckbriefderAufgabe
SekundarstufeI/II (jenach gewähltemBild) Dauer: 2-3Unterrichtsstunden
NotwendigeVoraussetzungen:
SchülerinnenundSchüler
# verfügenüberBasiswissenausdemBe- reichderjeweilsgenutztenFunktionsar- tenundgeometrischenObjekte
Kompetenzen, diemitdieserEinheitge- fördert werden können:
BeiallenBilderngehtesdarum, dassSchü- lerinnenundSchülerMusteranalysieren, Ideenzuihrer Reproduktionentwickelnund dieserealisieren.
DieweiterenZielesindjenach gewähltem Bildunterschiedlich.
BeiBildern mitFunktionsgraphengehtes darum, denZusammenhangzwischenFunk- tionstermundGraphikzu vertiefen.
BeiBildern mitgeometrischenKonstruktio- nengehtes umdasErkennenundReprodu- zierenderkonstruktivenElemente.
RollederTechnologie (TI-NspireTM, TI-NspireTMCAS):
DerRechnerdientalsWerkzeugzumAusprobierenundOptimiereneigenerIdeen. Die indi- viduellenKreationen können, ähnlichwiebeiderTextverarbeitungaufdemComputer, als Dokumentabgespeichert undevtl. ausgetauscht werden.
MöglicheZugänge, dievonderTechnologieunterstützt werden:
# Graphisch:DurchdasVerändernvonGraphen könnenTermemanipuliert werden.
# Algebraisch:DieLernendenerkennendenGraphenundübersetzenihnineinenTerm.
EmpfehlungzurUnterrichtsorganisation:
# Esbietet sichan, dieSchülerinnenundSchülerin kleinenGruppenarbeitenzulassen und dieErgebnisse imPlenum oderinExpertengruppenzu vergleichen.
Hinweis:
DieBilder wurdensoausgewählt, dass sie einbreitesfachlichesSpektrumabbilden. ImUn- terrichtbietetes sichnichtan, dieLernendenalleBildererzeugenzulassen. InAbhängigkeit vonderKlassenstufeund derZielsetzungsollte eineAuswahlgetroffenwerden.
a) mitHilfevonGeradenundggf. Kreisen:
b) mitHilfevonParabeln oderKreisen:
..
c) inderPolarkoordinaten- oderParameterdarstellung
SämtlicheBilder werdeninderApplikation Graphs & Geometryerstellt. Fürdaserste BildKronebenötigenSiedieGrafikansicht (Ansicht, Grafikansicht), die inderRegel standardmäßig eingestelltist. StellenSie, bevorSiebeginnen, dasKoordinatensys- temsowie imBildschirmfotoein.
DasBild 1.1:KronewirdmitHilfevonab- schnittsweisedefiniertenGeradenerstellt (Funktionen, abschnittsweise). FürSchüle- rinnenundSchüleristesofteinfacher, jedenAbschnitteinzelnzubehandeln. Ent- sprechend bedienenwir unshierdesOpe- rators |. ImBildrechts wirdgezeigt, wie er angewendet wird, umGeradenabschnitte zudefinieren.
NatürlichwerdendieLernenden nichtim- mermitdemerstenVersuchtreffen. Ein wesentlicherVorteilbeiderArbeitmitdem Rechner (man könntedieFunktionenja auchohneRechnerbestimmen) zeigt sich genauandieserStelle:Man kanndie eige- nenÜberlegungenunmittelbar überprüfen, Fehler sindkonstruktiveElemente eines Argumentationsprozesses.
AlleFunktionsabschnittezurDefinitionder Krone findenSie inderAbbildungrechts.
Das zweiteBildGeradenscharwirdinder AnsichtEbenengeometrie erstellt.
KonstruierenSiezuersteinenKreis (Linien, besondere). AufdemKreiskonstruieren Sie eineTangente ([b,6, 7:Tangen- te]).
dieGeradenschar erstellt.
DasBildergibt sichalsodurch eineKreis- tangente, die entlangdesKreisrandesbe- wegt wird.
DieLängedesangezeigtenTangentenab- schnittskannverändert werden. Sotastet mansichSchrittfürSchrittandasAusse- hendesgezeigtenBildesheran. Umes vollständignachzubilden, müsseneinige Objekteversteckt werden.
BeimBildSpringbrunnenkönntemanähn- lichwiebeiderKrone explorativ vorgehen.
DasichallerdingseineSystematik offen- bart, wurde hiereinandererWeg gewählt.
WennSiediesenWegauchbeschreiten wollen, öffnenSie eineneueSeitemitder ApplikationCalculator.
DieScheitelpunkteallerParabelnhaben diey-Koordinate9. Darüberhinaus verlau- fenalleParabelndurchdenPunkt (0|5).
Daskann man nutzen (sieheRechnung rechts). ManerhälteineParabelschar, die lediglichvomParameterb abhängt (Er- gebnisderRechnung einsetzenindie Funktionsgleichung). Der SOLVE-Befehl kannjedoch indieserForm nurmitTI- NspireTMCASausgeführt werden.
DerParameter b bestimmtdiex- KoordinatedesScheitelpunktes. Durch EinsetzenderjeweiligenKoordinaten (rechtsimBildz. B. -4) ergibt sichnach undnachdasgezeigteBild.
Rechtsabgedruckt sind dieTerme fürden
DasBildParabelbrückebestehtaus zwei unterschiedlichenFormenvonParabelab- schnitten. BeiderKonstruktion nutzenwir dieIdee, dieAbschnittezu verschieben.
Dazu wirdeinersterParabelabschnitt wie rechtsgezeigterstellt.
BeimVerschieben kann mansich eines Tricksbedienen:ManersetztdieVariablex durchsichselbst undeinenSummanden.
DadurchwerdenallexindenFunktions- termendurchx + aersetzt, waseinerVer- schiebung inx-Richtung entspricht.
Gezeigtist rechtsdieVerschiebungdes ursprünglichenBogens um4Einheiten nachlinks (x=x + 4).
Inden80erJahrenwurdenNotationenwie x=x + 4ausführlichdiskutiert. Wirhalten dieseNotation nichtfür schädlich, wenn SchülerinnenundSchülerndieBedeutung bewusstist, die hiernatürlich eine ganz andere ist, als z. B. inderApplikationCal- culator.
RechtsfindenSiedienochausstehenden Parabelabschnitte. f14bisf18beschreiben dieunterenParabelbögen, f18bisf20 die oberen.
DasBildSchlafenderGeistunterscheidet sichwesentlichvondenvorhergehenden Parabelbildern. SoistkeinKoordinatensys- temvorgegeben. Wirnutzendashieraus, indemdieErgebnisseder Parabelbrücke übernommenwerden. DieunterenBögen desGeistes sind die erweitertenunteren Brückenbögen (siehez. B. f22). Dieande- renParabelabschnittewurdendurch ge- zieltesExperimentierengefunden. Von Vorteil (wegenderSymmetrie) istesdabei, wennderGeist sichander y-Achsespie- gelt.
ZumSchluss werdendieKoordinatenach- senausgeblendet und dieNasemitHilfe desZeigers ([x]längerals 1 Sekunde drücken) erstellt.
dasBildGeradenschar (sieheoben) er- stellt. StatteinerTangentenwandertje- dochnunderMittelpunkteinesKreises entlangdesRandes (geometrischerOrt).
DieRadienderbeidenKreisesindiden- tisch.
DurchVergrößerndesBasiskreises tastet mansichnachundnachandas vorgege- beneBildheran. Umes vollständignach- zubilden, müsseneinigeObjekteversteckt werden.
Diebeiden letztenBilder sind–imVer- gleichzudenvorhergehenden–Exoten.
Manbenötigtfür sie einwenigWissenüber Koordinatensysteme.
DieSpiralewird durchdenGrapheneiner FunktioninPolarkoordinatendarstellung erzeugt. DienotwendigenAngabenfinden Sie imBildschirmfotorechts.
DieSchleifewird durchdenGrapheneiner FunktioninParameterdarstellung erzeugt.
DienotwendigenAngabenfindensie im Bildschirmfotorechts unten.
DarstellungvonFigurenimMathematikunterricht
SeitdamitbegonnenwurdeMathematik-Software imUnterricht zunutzen, wurde immer wie- der dieDarstellungvon Funktionsgraphenals einwichtigesThema fürdenComputereinsatz angeführt. Mehrfachwurdeversucht, dieseDarstellungsform„spielerisch“zubehandeln.
Dazu einige Beispiele: Der „Geist“ links in der Abbildung stammt von Paul Drijvers aus früher DERIVE-Zeit. Um diese Figurnachzubilden, ist einiges Wissenüber Eigen- schaften von Polynomfunktionen notwendig, also mathe- matisches Grundwissen, das wir unseren Schülerinnen und Schüler vermitteln wollen. Dies gilt aufanderer Ebe- ne ebenfalls für die Figur aus dem Beitrag von Bärbel Barzel (linkeAbbildung).
In der „Mathe-Welt“ (Mathematik lehren, Heft 130) wird allgemein auf Anwendungen mit Kurven (z. B. in der Computergraphik und in der Technik) eingegangen. Im Anschluss daran ist ein kleines Projekt vorgeschlagen („Das Liebesherz“). Durch geeignete Funktionen (Kreise, Polynomfunktionen) solldieFigurnachgebildet werden.
Wenn auch diese Form des Erstellens einer Figur noch nicht Anwenden von Mathematik ist, so kann damit eine motivierende Übungsphase im Mathematikunterricht ver- bundensein. DasErkundenvonEigenschaftenvonFunk- tionen kanninspielerischerWeise imUnterrichtgesteuert werden. DasZielfürdieLernendenistnichtdas Abarbei- ten einer Übungssequenz zubestimmten Funktionstypen sondern selbstständige Auseinandersetzung mitFunktio- nenundkreativesArbeitenanhandselbstgewählterFigu- ren.
Neben Funktionsgraphen können auch parametrische Darstellungen oder Darstellungen in Polarkoordinaten thematisiert werden. Fürdiese flexibleundvielverwende- teDarstellungsform lassensich anverschiedenen Stellen des MathematikunterrichtsBeispiele finden. Die Parameterdarstellung bietet sich jedoch als ein„natürlicher“Zugang an, wenn bereits entsprechendesVorwissenausTrigonometrieund Vektorrechnungvorhandenist.
Literatur/Quellenangaben
Barzel, B.;Bilder schaffen mitGraphen;Mathematik lehren–SammelbandStandards, Fried- richVerlag, 2007.
ArbeitsblattausMathematik lehren, Heft 130.
DieBilder 1.1, 1.4und 1.5vonSeite 2 diesesBeitrags stammenvonFranzSchlöglhofer. Bild 1.6wurdenach einer IdeevonClaudiaWernererstellt. AneinenArtikelvonAndreasPallack
(MustererkennunganästhetischenFiguren. SonderbeilageTI–Nachrichten 1/2007) wurden
dieBilder 1.2 und 1.7angelehnt.
demUnterricht vonFranzSchlöglhofer undwurdenvonSchülerinnenundSchülernder5. B- KlassedesGymnasiumOrt, Gmundenselbstständig entworfen. Wiederum kann manversu- chen, dieFiguren nachzubilden oderauchselbst weitereFigurenentwerfen.
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