20W PHY.D30UB Laborübungen 2: Elektrizität, Magnetismus, Optik

06_Phase_und_Leistung_Gr4_Angermann_Goessl_verbessert_komp.pdf15. November 2020, 19:31

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Rechtschreibkontrolle?

"screenshots" der einzelnen durchgeführten Messungen?

6.1: Abweichungen als Zahlenwerte darstellen und kommentieren, deren nUrsachen (verschiedene Methoden der Bestimmung des Effektivwertes) diskutieren 6.2 und 3: Messung der Phasenlage U/I mit dem Oszi?

Strommaßstab in den Zeigerdiagrammen?

6.5: Phasenwinkel von 68° gilt für die RL-Kombination, für L allein geht er gegen 90°!

Ausführliche math. Behandlung!!!

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Institut für Experimentalphysik der Technischen Universität Graz

&

Institut für Physik der Universität Graz

L ABORÜBUNGEN 2:

E LEKTRIZITÄT , M ^AGNETISMUS , O PTIK

Übungstitel: KFU 6: Phase und Leistung

Betreuer: Amtsrat Dipl.-Ing. (FH) Ing. Hanauer

Gruppennummer: 4

Name: Angermann Leo

Gössl Sebastian (Schriftführer)

Kennzahl: UF 033 678 Matrikelnummer: 11911449 11904703

Datum: 23.10.2020 20WS

Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabenstellung 3

2 Voraussetzungen & Grundlagen 3

2.1 Kennwerte . . . 3

2.2 Grundlagen der komplexen Wechselstromtechnik . . . 4

2.3 Leistung und Verluste . . . 5

3 Versuchsanordnung 5 3.1 Aufgabe 1: Effektivspannung . . . 5

3.2 Aufgabe 2 & 3: Kondensator & Spule Phasenlage . . . 6

3.3 Aufgabe 4 & 5: Leistung . . . 7

3.4 Aufgabe 6: Blindleistungskompensation . . . 7

4 Ger¨ateliste 9 5 Versuchsdurchf¨uhrung & Messergebnisse 12 5.1 Aufgabe 1: Effektivspannung . . . 13

5.2 Aufgabe 2: Kondensator Phasenlage . . . 13

5.3 Aufgabe 3: Spule Phasenlage . . . 14

5.4 Aufgabe 4: RC-Schaltung Leistung . . . 15

5.5 Aufgabe 5: RL-Schaltung Leistung . . . 16

5.6 Aufgabe 6: Blindleistungskompensation . . . 17

6 Auswertung 18 6.1 Aufgabe 1: Effektivspannung . . . 19

6.2 Aufgabe 2: Kondensator Phasenlage . . . 19

6.3 Aufgabe 3: Spule Phasenlage . . . 20

6.4 Aufgabe 4: RC-Schaltung Leistung . . . 21

6.5 Aufgabe 5: RL-Schaltung Leistung . . . 23

6.6 Aufgabe 6: Blindleistungskompensation . . . 25

7 Diskussion 29 7.1 Aufgabe 1: Effektivspannung . . . 29

7.2 Aufgabe 2 & 3: Kondensator & Spule Phasenlage . . . 29

7.3 Aufgabe 4 & 5: Kondensator & Spule Leistung . . . 29

7.4 Aufgabe 6: Blindleistungskompensation . . . 30

8 Zusammenfassung 30 8.1 Aufgabe 1: Effektivspannung . . . 30

8.2 Aufgabe 2 & 3: Kondensator & Spule Phasenlage . . . 30

8.3 Aufgabe 4 & 5: Kondensator & Spule Phasenlage . . . 30

8.4 Aufgabe 6: Blindleistungskompensation . . . 30

Literatur 30

Anmerkung

Aufgrund der herrschenden COVID-19-Maßnahmen, wurde die Labor¨ubung nicht von bei- den Gruppenmitglieder gleichzeitig durchgef¨uhrt, sondern zuerst von Angermann Leo und anschließend erneut von G¨ossl Sebastian. Beide f¨uhrten alle Aufgaben vollst¨andig durch und werteten ihre jeweiligen Daten, ¨uber gleiche Rechenwege, getrennt aus. Wird nur ein Ergebnis angegeben, ist es nur dies des Schriftf¨uhrers (Zwischenergebnis & Diagram- me, zu besseren ¨Ubersicht), ansonsten werden die jeweiligen Ergebnisse der Laboranten nebeneinander angef¨uhrt, so dass diese verglichen werden k¨onnen.

1 Aufgabenstellung

1. Untersuchung der Anzeige von unterschiedlichen Spannungsmessinstrumenten bei verschiedenen Kurvenformen.

2. Messtechnische Ermittlung der Phasenlage von Strom und Spannung an einem Kon- densator.

3. Messtechnische Ermittlung der Phasenlage von Strom und Spannung an einer Spule.

4. Messtechnische Ermittlung der elektrischen Leistung in einer RC-Schaltung.

5. Messtechnische Ermittlung der elektrischen Leistung in einer RL-Schaltung.

6. (Optional) Messtechnische Untersuchung der Blindleistungskompensation eines in- duktiven Verbrauchers.

2 Voraussetzungen & Grundlagen

2.1 Kennwerte

Bei Wechselstr¨omen gibt es unterschiedliche Werte welche von Interesse sein k¨onnen (hier beispielshaft Spannungen U). Der Spitze-Tal-Wert U_SS, welcher den maximale Werte- differenz angibt und beispielsweise beim ¨Uberspannungsschutz beachtet werden muss.

Der Amplitudenwert U_S (Elektrotechnik), |U| (komplexe Rechnung) oder u(t) = ˆucosωt (zeitabh¨angige Wellenfunktion) gibt den maximalen Ausschlag vom Mittelwert, welcher ebenfalls immer zu beachten ist aber meist nach M¨oglichkeit auf Masse gelegt wird so dass keine Gleichstromanteile im Signal enthalten sind, an. Diese Amplitude wird bei sinusf¨ormigen Signalen sehr wichtig, da mit dieser komplexe Wechselstromgr¨oßen oder Wellenfunktionen angegeben werden. Weiters steht bei Leistungsberechnungen der Effek- tivwert U im Mittelpunkt, denn dieser gibt den Wert an, welcher eine Gleichspannung haben m¨usste um die gleiche Leistung an einem rein ohmschen Widerstand abzugeben.

U = s

1 T

Z T

0

u²(t)dt

F¨ur oft verwendete Signalformen kann aus diesem Integral ein sogenannter Scheitel- faktor k_S berechnet werden. Dieser gibt das Verh¨altnis von Amplitudenwert U_S zum Ef- fektivwert U und erleichtert die Umrechnung dieser.

U_S =k_SU k_SSinus =√

2 k_SDreieck =√

3 k_SRechteck= 1

Will man diese Effektivspannung messen gibt es mehrere M¨oglichkeiten. Man kann das Signal mit einem Oszilloskop abtasten und dieses integriert dieses nummerisch. Dies funktioniert mit jedem Signal, solange die Abtastfrequenz weit ¨uber der Signalfrequenz liegt.

Mit Dreheisenwerken wird ¨uber eine Spule ein Eisenkern magnetisiert welcher sich dann durch Magnet- oder Reluktanzkr¨afte einer Drehfeder entgegendreht woran an dem Ausschlag der Effektivwert abgelesen werden kann. Dies funktioniert nur mit den Signal- formen & -frequenzen auf welche das Ger¨at abgestimmt wurde. Denn bei nichtsinusf¨ormi- gen Signalen bespielsweise verh¨alt sich der Eisenkern nicht mehr linear oder bei zu hohen Frequenzen k¨onnen magnetische S¨attigungen auftreten, welche das Ergebnis verf¨alschen.

Mit analogen Rechenwerken kann das Signal tats¨achlich integriert werden. Diese Mess- methode unterliegt den bekannten Vor- & Nachteilen von analogen Schaltungen: kompakt und g¨unstig als fertiger IC erh¨altich, Genauigkeit temperaturabh¨angig, usw..

2.2 Grundlagen der komplexen Wechselstromtechnik

In der Wechselstromtechnik wird meist mit sinusf¨ormigen Spannungen gearbeiten, wie in diesem Experiment bis auf Aufgabe 1. Bei sinusoidalen Spannungen und Str¨omen k¨onnen Kapazit¨aten und Induktivit¨aten, welche mit rein ohmschen Widerst¨anden die grundlegen- den passiven Bauelemente bilden, recht einfach untersucht werden. Aus deren Differenzi- algleichungen ergibt sich n¨amlich dass, sollte ein Kondensator oder eine Spule unter eine sinusf¨ormige Spannung gesetzt werden, sich der Strom ebenfalls sinusf¨ormig ausbildet, jedoch nur phasenverschoben.

Dieses Verhalten kann in der komplexen Wechselstromtechnik anschaulich und effizient betrachtet werden. F¨ur Kapazit¨aten und Induktivit¨aten werden sogenannte Reaktanzen oder Blindwiderst¨ande X definiert. Diese sind von der Kreisfrequenzω oder der Frequenz f des Signales und der Kapazit¨atC bzw. Induktivit¨at L abh¨angig.

X_C =− 1

ωC =− 1

2πf C X_L=ωL= 2πf L (1)

Der Betrag dieser Reaktanz X ist das Equivalent zum Widerstandswert R eines ge- w¨ohnlichen Widerstandes. Wird die Reaktanz X bei gleichbleibender Spannung erh¨oht, sinkt der durchfließende Strom proportional und umgekehrt. Verpackt man die Reaktanz nun in eine sogennante Impedanz Z, kann nicht nur die Signalst¨arke sondern auch, wie gleich gezeigt wird, die angesprochene Signalverschiebung beschrieben werden. Die Impe- danz ist komplexwertig, wobei die komplexe Einheit mitj, anstatt wie in der Mathematik ublich mit¨ i, bezeichnet. Diese Konvention wird gew¨ahlt um Verwechslungen mit dem zeit- abh¨angigen Stromi(t) zu minimieren (zeiabh¨angige Gr¨oßen werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet).

Z_R=R Z_L=X_Lj =ωL= 2πf Lj Z_C =X_Cj =− 1

ωCj =− 1

2πf Cj (2)

Mit dieser Impedanz Z kann n¨amlich das Ohmsche Gesetz und alle passiven Bauele- mente ausgeweitet werden.

U =RI =Z I (3)

Diese komplexen Gr¨oßen beschreiben nun die sich eigentlich zeitlich periodisch ver¨an- dert Sinussignal als station¨are Gr¨oßen als sogenannte Zeiger. Ein Sinussignal kann n¨amlich als polarer Vektor bschreiben werden, dessen L¨ange der Amplitude und dessen Winkel der Phasenverschiebung des Signales entspricht. Dadurch k¨onnen mehrere sinusf¨ormige Werte effizient und verlustfrei (solange es sich um ideale Sinussignale mit gleicher Frequenz han- delt) gearbeitet werden. Den zeitliche Verlauf kann man sich vorstellen, indem man die komplette Darstellung nach links (mathematisch positiv) rotieren l¨asst und die Spitzen der Zeiger, welche alle im Ursprung starten, seitlich projiziert.

2.3 Leistung und Verluste

Die Leistung S komplexer Str¨ome und Spannungen kann ebenfalls wie gewohnt als Pro- dukt von Spannung U und Strom I auf diese erweitert werden. Diese LeistungS wird als Scheinleistung bezeichnet, da diese durch die Versorgungsleitungen fließt. Deren Realteil wird als Wirkleistung P bezeichnet und beschreibt tats¨achlich verbrauchte Leistung. Der Imagin¨arteil entspricht der Blindleistung Q welche nur zwischen Versorger und Verbrau- cher hin und her pendelt und durch reine Blindwiderst¨ande entsteht.

S=P +Qj =U I^∗ (4)

Um die Blindleistung Q zu vermindern und Leitungen zu schonen werden deshalb Blindleistungskompensationen eingesetzt, welche die kapazitive und induktive Reaktanz abgleichet, so dass der Verbraucher einen rein ohmschen darstellt.

Reine Blindwiderts¨ande existiert jedoch in der realen Welt nicht da alle physikalischen Systeme mit Verlusten behaftet sind. D.h. jede Kapazit¨at C oder Induktivit¨at L besitzt eine ohmschen Widerstand R. Das Verh¨altnis wird als Verlustfaktor DF angegeben wel- cher den Tangens des Verlustwinkels δ bildet, welcher den Winkel zwischen Impedanz Z zur imagin¨aren Achse angibt.

DF = tanδ= R_L

X_L = X_C

R_C (5)

3 Versuchsanordnung

3.1 Aufgabe 1: Effektivspannung

Zum Vergleich verschiedener Effektivspannungsmessger¨ate werden diese schlicht an einen Funktionsgenerator angeschlossen, an welchem verschiedene Signale ausgegeben werden k¨onnen.

Abbildung 1: Versuchsaufbau f¨ur Aufgabe 1. Auszug [1] Abb. 1

3.2 Aufgabe 2 & 3: Kondensator & Spule Phasenlage

Es wird eine RC-/RL-Serie augebaut und mit einem Transformator T R1 versorgt, die an dem Widerstand R und Kondensator/Spule C/L abfallende Spannungen werden mit einem Oszilloskop aufgenommen und untersucht. Damit kann der Zeitliche Verlauf dar- gestellt werden. An der Schaltung ist zu beachten dass der Punkt zwischen R und C/L geerdet wird, so dass mit dem Oszilloskop ohne Differenzialproben beide Spannungen gleichzeitig unnabh¨angig gemessen werden k¨onnen. Dadurch ist jedoch ein Kanal (2 ge- w¨ahlt) zu invertieren.

Abbildung 2: Versuchsaufbau f¨ur Aufgabe 2. Auszug [1] Abb. 2

Abbildung 3: Versuchsaufbau f¨ur Aufgabe 3. Auszug [1] Abb. 3

3.3 Aufgabe 4 & 5: Leistung

Zur Leistungsmessung (P, Q, S) wird ein Leistungsmessger¨at P5 verwendet. Zus¨atzlich werden alle Spannungen (Gesamt U, Widerstand U_R & Kondensator/Spule U_C/L) sowie der Gesamtstrom I mit Multimetern P1−4 beobachtet und der zeitliche Verlauf, zur Veranschaulichung der Phasenverschiebung, der Gesamtspannungu und der am Konden- sator/Spule C/L abfallenden Spannung u_C/L mit dem Oszilloskop CH1/2 aufgezeichnet.

Abbildung 4: Versuchsaufbau f¨ur Aufgabe 4. Berabeiteter Auszug [1] Abb 4.

Abbildung 5: Versuchsaufbau f¨ur Aufgabe 5. Bearbeiteter Auszug [1] Abb. 5

3.4 Aufgabe 6: Blindleistungskompensation

Die Schaltung aus Aufgabe 5 wird weiterwendet, wobei der Spule L ein Kondensator C parallelgeschalten wird und dessen Strom I mit einem Multimeter kontrolliert wird. Der Kondensator sollte dabei so gew¨ahlt werden dass die gemessene Blindleistung Qminimal wird.

Abbildung 6: Realer Aufbau zur Leistungsmessung an einer RL-Serie (Aufgabe 5).

Abbildung 7: Versuchsaufbau f¨ur Aufgabe 6. Auszug [1] Abb. 6

4 Ger¨ ateliste

Die Unsicherheiten werden den Datenbl¨attern (oder Anmerkungen auf den Ger¨aten selber) entnommen.

Tabelle 1: Im Versuch verwendete Ger¨ate und Utensilien.

Ger¨at Typ Ger¨atenummer

Funktionsgenerator Hameg HM8030-2

Oszilloskop Keysight DSO-X 2002A DSO-13 Leistungsmessger¨at Hameg HM8115-2 310055560000

Multimeter TTi 1604 TMM-10

Multimeter Unigor 4n HF E5

Multimeter Metex M-4600 HF E4

Multimeter Fluke 175

AP-02 AP-06 AP-09 Transformator

Leistungswiderstand 68 Ω Tonfrequenz-ELKO

10µF 20µF 47µF 100µF Induktivit¨at

Bananenbuchsenkabel 4 mm

Im Folgenden sind Ausz¨uge aus den Datenbl¨attern der Messinstrumente oder ein Foto

von deren Aufdruck am Ger¨at selbst, an welchen die Unsicherheiten ersichtlich sind.

Abbildung 8: Unsicherheitsangabe aus dem Datenblatt des Oszilloskopes.

Abbildung 9: Unsicherheitsangabe aus dem Datenblatt des Lestungsmessger¨ates.

Abbildung 10: Unsicherheitsangabe aus dem Datenblatt des Mutlimeters (TTi 1604).

Abbildung 11: Unsicherheitsangabe als Aufdruck auf dem Multimeter (unigor 4n).

Abbildung 12: Unsicherheitsangabe aus dem Datenblatt des Multimeters (Metex M-4600).

Abbildung 13: Unsicherheitsangabe aus dem Datenblatt des Multimeters (Fluke 175).

5 Versuchsdurchf¨ uhrung & Messergebnisse

Im verbleibenden Teil dieses Protokolles werden die Notationskonventionen der komplexen Wechselstromrechnung verwendet, da diese den Großteil dieses Experimentes einnimmt (Amplitudenspannung |U| statt ˆu usw.).

5.1 Aufgabe 1: Effektivspannung

Wie in Abb. 1 abgegeben werden alle Messger¨ate parallel an den Funktionsgerator ange- schlossen, bei welchem eine Spitze-Tal-Spannung von 2|U|= 10 V mit 0 V Offset und eine Frequenz von 50 Hz eingestellt werden. Als Wellenform wird Sinus, Dreieck & Rechteck ausgew¨ahlt. Bei jeder Wellenform werden die Effektivspannungen abgelesen, beim Os- zilloskop zus¨atzlich die Spitze-Tal-Spannung 2|U|. Mit diesem werden die Effektivwerte U =|U|/kS berechnet, mit dem jeweiligen Scheitelfaktor kS =√

2,√ 3,1.

Tabelle 2: Messwerte f¨ur Aufgabe 1. Effektivspannungen, des mit dem Funktionsgene- rator erzeugten Signales, gemessen mit verschiedenen Messger¨aten. Die Unsicherheiten f¨ur Sinusspannungen wurden ebenfalls f¨ur die anderen Wellenformen ¨ubernommen weil ansonsten keine Unsicherheiten angegeben waren (Unigor 4n & Metex M-4600) da die Messger¨ate f¨ur keine nichtsinusoidalen Wellen geeigent sind. D.h. die angegebenen Unsi- cherheiten entsprechen, wie aus den unterschiedlichen Messwerten erkannt werden kann, nicht der Realit¨at.

2|U| . . . Spitze-Tal-Spannung U . . . Effektivspannung

Messger¨at 2|U| / V

Sinus Dreieck Rechteck

Oszilloskop 10,0 ± 0,7 10,1 ± 0,7 10,8 ± 0,7

U / V

Oszilloskop (berechnet) 3,5 ± 0,3 2,9 ± 0,3 5,4 ± 0,4 Multimeter (TTi 1604) 3,50± 0,03 2,927 ± 0,019 5,44 ± 0,07 Multimeter (Unigor 4n) 3,30± 0,19 2,60 ± 0,17 2,85 ± 0,18 Multimeter (Metex M-4600) 3,51± 0,03 2,83 ± 0,03 5,94 ± 0,04

5.2 Aufgabe 2: Kondensator Phasenlage

Das RC-Glied wird wie in Abb. 2 dargestellt aufgebaut und in Betrieb genommen. Die Daten des Oszilloskopes werden im CSV-Format abgespeichert und aus diesen werden sp¨ater in der Auswertung die gew¨unschten Gr¨oßen ermittelt. Weiters wird der gegebene Leistungsfaktor DF = 0,050±0,005 des Kondensators notiert [1] (Unsicherheit implizit angenommen).

Abbildung 14: Oszilloskopaufnahme der Spannungsverl¨aufe u_R am Widerstand R (Kanal 1: gelb) und u_C am Kondensator C (Kanal 2: gr¨un, invertiert).

5.3 Aufgabe 3: Spule Phasenlage

Die Schaltung aus Aufgabe 2 wird weiterverwendet, indem nur der Kondensator gegen die Spule ausgetauscht wird (Abb. 2 & Abb. 3). Die Daten des Oszilloskopes werden erneut gespeichert. Der WiderstandesRund der KupferwiderstandR_Lder SpuleLwerden anschließend mit dem Multimeter (TTi 1604) gemessen.

R= (67,28±0,17) Ω R_L= (15,98±0,19) Ω

Abbildung 15: Oszilloskopaufnahme der Spannungsverl¨aufe u_R am Widerstand R (Kanal 1: gelb) und u_L an der Spule L (Kanal 2: gr¨un, invertiert).

5.4 Aufgabe 4: RC-Schaltung Leistung

Die Schaltung wird gem¨aß Vorgabe (Abb. 4) angeschlossen und der Transformator wird eingeschalten. Die folgenden Messwerte werden abgelesen.

Tabelle 3: Messwerte f¨ur Aufgabe 4.

U . . . Eingangsspannung lt. Fluke 175 (AP-03) I . . . Eingangsstrom lt. TTi 1604

U_R/C . . . Spannungsabfall an R/C lt. Fluke 175 (AP-02/AP-06) P/Q/S . . . Wirk-/Blind-/Scheinleistung lt. Hameg HM8115-2 P F . . . Leistungsfaktor (cosϕ) lt. Hameg HM8115-2

Gr¨oße Wert

U / V 13,17 ± 0,17 I / mA 135,4 ± 1,5 UR / V 9,11 ± 0,13 U_C / V 8,89 ± 0,12 P / W 1,31 ± 0,03 Q / Var 1,18 ± 0,16 S / VA 1,760 ± 0,019 P F / 1 0,74 ± 0,05

Abbildung 16: Oszilloskopaufnahme der Spannungsverl¨aufeuder RC-Serie (Kanal 1: gelb) und u_R am Widerstand R (Kanal 2: gr¨un).

5.5 Aufgabe 5: RL-Schaltung Leistung

Die Schaltung aus Aufgabe 4 wird weiterverwendet, indem nur der Kondensator C gegen die SpuleLausgetauscht wird (Abb. 4 & Abb. 5). Die Messwerte werden erneut abgelesen.

Tabelle 4: Messwerte f¨ur Aufgabe 5.

U . . . Eingangsspannung lt. Fluke 175 (AP-03) I . . . Eingangsstrom lt. TTi 1604

U_R/L . . . Spannungsabfall an R/L lt. Fluke 175 (AP-02/AP-06) P/Q/S . . . Wirk-/Blind-/Scheinleistung lt. Hameg HM8115-2 P F . . . Leistungsfaktor (cosϕ) lt. Hameg HM8115-2

Gr¨oße Wert

U / V 13,87 ± 0,17 I / mA 50,8 ± 0,7 UR / V 3,40 ± 0,04 U_L / V 13,05 ± 0,17 P / W 0,254 ± 0,013 Q / Var 0,65 ± 0,13

S / VA 0,696 ± 0,011 P F / 1 0,36 ± 0,04

Abbildung 17: Oszilloskopaufnahme der Spannungsverl¨aufeuder RL-Serie (Kanal 1: gelb) und u_R am Widerstand R (Kanal 2: gr¨un).

5.6 Aufgabe 6: Blindleistungskompensation

Aus den in Aufgabe 5 ermittelten Werten wird ¨uberschlagsm¨aßig die Impedanz der Spule berechnet |Z_L| =U_L/I ≈ 257 Ω (lt Glg. 3). Um eine gleich große, entgegengerichtete ka- pazitive Impedanz zu erreichen, muss eine Kapazit¨at von C = 1/(2πf Z_L)≈ 12,4µF (lt.

Glg. 2) verwendet werden. Durch blindes ausprobieren aller m¨oglichen Kombinationen der vorliegenden Kondensatoren (10µF, 20µF, 47µF, 100µF) wird eine so gut wie m¨ogliche Zusammenschaltung gesucht. Indem 3 Kondesatoren in Serie geschalten werden, k¨onnen C = (20 k 47 k 100)µF ≈ 12,3µF erreicht werden. So werden diese in die Schaltung eingesetzt und die Messwerte werden erneut aufgenommen.

Aus fehlender Zeit k¨onnen nicht alle geforderten Messreihen (alle m¨oglichen Kondensator Kombinationen) aufgenommen werden, sondern nur die als optimal prognostizierte Konfi- guration. Weiters k¨onnen die Leistungswertes, P, Qnicht mehr gemessen werden, weshalb diese sp¨ater in der Auswertung aus den vorliegenden Werten ermittelt werden m¨ussen.

Tabelle 5: Messwerte f¨ur Aufgabe 6.

U . . . Eingangsspannung lt. Fluke 175 (AP-03) I . . . Eingangsstrom lt. Fluke 175 (AP-06)

U_R/C . . . Spannungsabfall an R/C lt. Fluke 175 (AP-03/AP-02) I_C . . . Strom durch C lt. TTi 1604

Gr¨oße Wert

U / V 13,57 ± 0,17 I / mA 12,0 ± 0,3 U_R / V 0,809 ± 0,012 U_C / V 12,90 ± 0,16

I_C / mA 54,4 ± 0,7

Abbildung 18: Oszilloskopaufnahme der Spannungsverl¨aufe u der gesamten Schaltung (Kanal 1: gelb) und u_R am Widerstand R (Kanal 2: gr¨un). Zu beachten sind die unter- schiedlichen vertikalen Aufl¨osungen (5 V & 500 mV).

6 Auswertung

In der Auswertung werden zur erh¨ohten Genauigkeit durchgehend ungerundete Werte bis zu den Endergebnissen verwendet und nur zur Darstellung gerundet. Daher ist es erfor- derlich, dass dies auch bei einer erneuten Auswertung geschieht.

Zur Berechnung der Unsicherheiten wird, wenn nicht anders angegeben, die Gr¨oßtunsi- cherheitsmethode verwendet.

Bei allen komplexen Wechselstromrechnungen wird der StromIals rein reell festgelegt, da nur Serienschaltungen behandelt werden und bei diesen der Strom f¨ur alle Komponen-

ten gleich groß ist.

In der Versuchsdurchf¨uhrung wurde auf dem Oszilloskop zwar der Phasenwinkel ϕ zwischen den Signalen gemessen, jedoch ohne eine Unsicherheitsangabe ∆ϕ zu notieren.

Deshalb m¨ussen alle Phasenwinkelϕ¨uber Umwege mit den vorliegenden Werten ermittelt werden, um ein vollst¨andiges Messergebnis mit Unsicherheitsangabe zu erhalten.

6.1 Aufgabe 1: Effektivspannung

An den gemessenen Werten l¨asst sich sofort erkennen dass sich f¨ur eine sinusf¨ormige Span- nung alle Messger¨ate ¨uberschneiden.

Bei einer Dreiecksspannung stimmen Oszilloskop und Multimeter (TTi 1604) ¨uberein, wobei das vermutlich analoge Multimeter (Metex M-4600) sich bereits nicht mehr mit letzeren ¨uberschneidet und das Drehspulenmultimeter (Unigor 4n) sich noch mehr unter- scheidet (beide zu wenig).

Beim Rechtecksignal stimmt der Messwert von Oszilloskop und Mutlimeter (TTi 1604) wieder ¨uberein und die der anderen Mutlimeter (Unigor 4n & Metex M-4600) wiederum nicht. Das Drehspulenmultimeter zeigt nahezu nur mehr die H¨alfte an.

Die Analogschaltung im Metex M-4600 ermittelt den Gleichrichtwert |u|, und rech- net diesen ¨uber einen konstanten Formaktor k_f = π/√

8 ≈ 1,11 zu einem Effektivwert U um. Da dieser Formfaktor k_f jedoch nur f¨ur sinusf¨ormige Signale zutrifft, erh¨alt man fehlerhafte Werte f¨ur andersf¨ormige Signale. (z.B. bei der Rechteckspannung|u|= 5,4 V, k_f|u|= 5,99 V)

Das Drehspulenmesswerk des Unigor 4n misst die Spannung U indirekt ¨uber den die Spule durchfließenden Strom I. Da die Reaktanz X_L einer Spule mit zunehmender Fre- quenz f steigt (Glg. 1), bewirken die hochfrequenten Anteile der Dreiecks- bzw. Recht- eckspannung nur einen geringeren Strom und damit geringeren Ausschlag der Anzeige.

6.2 Aufgabe 2: Kondensator Phasenlage

Aus den Daten des Oszilloskopes werden aus den mittleren Extrema beider Kan¨ale die Amplitudenspannungen |U_R/C| notiert.

|U_R|= (13,2±0,7) V |U_C|= (12,5±0,7) V

Aus dem gegebenen Leistungsfaktor DF des Kondensators wird die Phasenverschie- bung ϕlt. Glg. 5 bestimmt.

ϕ=δ−90 deg = arctanDF −90 deg ∆ϕ= 1

DF²+ 1∆DF ϕ= (−87,1±0,3) deg

Die bestimmten Gr¨oßen werden in ein Zeigerdiagramm eingetragen.

Abbildung 19: Zeigerdiagramm der RC-Schaltung.

6.3 Aufgabe 3: Spule Phasenlage

Aus den Daten des Oszilloskopes werden aus den mittleren Extrema beider Kan¨ale die Amplitudenspannungen |U_R/C| notiert.

|U_R|= (5,0±0,7) V |U_L|= (17,3±0,7) V

Der Betrag der Impedanz Z_L der Spule kann nach Ohm (Glg. 3: |Z_L| = |U_L|/|I|) und der komplexen Summe aus Reaktanz X_L und Kupferwiderst¨anden R_L (Glg. 5: |Z|= pX_L² +R²_L) gleichgesetzt werden. Der Strom |I| wird ¨uber den ohmschen Widerstand R bestimmt (Glg. 3). Alles zusammengesetzt wird auf die ReaktanzX_Lder Spule umgeformt.

X_L=

s|U_L|²

|U_R|²R²−R²_L ∆X_L = 1 XL

|U_L|²

|U_R|²R²

∆|U_L|

|U_L| +∆|U_R|

|U_R| +∆R R

+R_L∆R_L

X_L= (232±50) Ω

Da die Reaktanz X_L der Imagin¨arteil und der Kupferwiderstand R_L der Realteil der Impedanz Z_L sind, und diese durch den reell angenommenen Strom I lt. Glg. 3 parallel zur Spannung U_L an der Spule ist, ergibt sich mit diesen der Phasenwinkel ϕ_L gesagter Spannung.

ϕ= arctanX_L RL

∆ϕ= X_LR_L X_L² +R²_L

∆X_L XL

+ ∆R_L RL

ϕ= (86,1±0,8) deg

Mit disem Winkel ϕkann das Zeigerdiagramm erstellt werden.

Abbildung 20: Zeigerdiagramm der RL-Schaltung.

6.4 Aufgabe 4: RC-Schaltung Leistung

Aus den effektiven Spannungen U_/R/C des Widerstandes des Kondensators und der ge- samten Schaltung k¨onnen mit dem Scheitelfaktor k_S = √

2 f¨ur Sinuswellen die Amplitu- denspannungen |U_/R/C| bestimmt werden (lt. Glg. 2.1).

|U|=k_SU ∆|U|=k_S∆U

|U|= (18,6±0,3) V |U_R|= (12,88±0,19) V |U_C|= (12,57±0,17) V Am Verlustfaktor DF des Kondensators hat sich nichts ge¨andert, wodurch auch der Phasenwinkel ϕ_C der an diesem anliegenden Spannung gleich bleiben muss, da dieser nur vom VerlustfaktorDF abh¨angig ist. Deshalb wird der Phasenwinkelϕ_C = (−87,1±0,3) deg aus der Auswertung der letzten Aufgabe ¨ubernommen.

Der Phasenwikelϕ der Gesamtspannung U, kann bestimmt werden, indem die ande- ren beiden SpannungenU_R/C =|U_R/C|∠(0 deg/ϕ_C) (von denen die Phasenwinkel bekannt sind) der einzigen Masche zusammengez¨ahlt werden, und der Winkel dem Resultat ent- nommen wird.

ϕ= argU = arctan=U

<U = arctan =U_C

<(U_R+U_C) = arctan |U_C|sinϕ_C

|U_R|+|U_C|cosϕC

∆ϕ= |U_C|sinϕ_C∆|U_R|+|U_R|∆|U_C|+ (|U_R||U_C|cosϕ_C +|U_C|²)∆ϕ_C

|U_C|²sin²ϕ_C+ (|U_R|+|U_C|cosϕ_C)² ϕ= (−42,90±0,12) deg

Damit sind alle 3 Spannungsbetr¨age|U_/R/C|und deren Phasenwikel ϕ/0/ϕ_C bekannt, womit das geforderte Zeigerdiagramm erstellt werden kann.

Abbildung 21: Zeigerdiagramm der RC-Schaltung.

Die ScheinleistungS steht lt. Glg. 4 parallel zur SpannungU, da der StromI als reell festgelegt wurde. Deshalb wird der Phasenwinkelϕvon der SpannungU ¨ubernommen. Der Effektivwert der Wirk-, Blind- & Scheinleistung P, Q, S wurden mit dem Leistungsmess- ger¨at gemessen, weshalb keine weiteren Berechnungen f¨ur das Leistungsdreieck notwendig sind.

Abbildung 22: Leistungsdreieck der RC-Schaltung.

Letztlich ist noch die Kapazit¨at C des Kondensators gesucht. Diese wird ermittelt indem Glg. 3 & Glg. 2 auf C umgeformt werden (der Verlustfaktor muss lt. Glg. 5 be- r¨ucksichtigt werden: Z_C =R_C+X_Cj =X_C(DF +j)).

C =

(DF +j)|I|

2πf U_C

∆C =C

∆|I|

|I| +∆|U_C|

|U_C| + DF

|DF +j|∆DF

C= (48,5±1,3)µF

6.5 Aufgabe 5: RL-Schaltung Leistung

Die Berechnungen f¨ur die RL-Schaltung verlaufen analog zu RC-Schaltung in Aufgabe 4, da nur der Kondensator C gegen eine SpuleL ausgetauscht wurde.

Die komplexen Betr¨age |U_/R/L| der Effektivspannungen U_/R/L.

|U|= (19,6±0,3) V |U_R|= (4,81±0,06) V |U_L|= (18,4±0,3) V

Der Phasenwinkelϕder GesamtspannungU und somit der Phasenwinkelϕder Schein- leistungS ist diesmal einfacher zu berechnen, da die Impedanz X_L der SpuleLbereits in der Aufgabe 3 berechnet wurde. Der Phasenwinkel ϕ_L = (86,1±0,8) deg der Spule wird ebenfalls unver¨andert ¨ubernommen.

ϕ= argU = arctan=U

<U = arctan =U_L

<(U_R+U_L) = arctan X_L R+RL

∆ϕ= XL(R+RL) X_L² + (R+R_L)²

∆XL

X_L +∆R+ ∆RL

r+R_L

ϕ= (70±4) deg

Abbildung 23: Zeigerdiagramm der RL-Schaltung.

Die ScheinleistungS steht lt. Glg. 4 parallel zur SpannungU, da der StromI als reell festgelegt wurde. Deshalb wird der Phasenwinkelϕvon der SpannungU ¨ubernommen. Der Effektivwert der Wirk-, Blind- & Scheinleistung P, Q, S wurden mit dem Leistungsmess- ger¨at gemessen, weshalb keine weiteren Berechnungen f¨ur das Leistungsdreieck notwendig sind.

Abbildung 24: Leistungsdreieck der RL-Schaltung.

Die Induktivit¨atL der Spule ergibt sich aus derer Reaktanz XL lt. Glg. 1.

L= XL

2πf ∆L= ∆XL

2πf L= (740±140) mH

6.6 Aufgabe 6: Blindleistungskompensation

Der StromI_L durch die Spule kann ¨uber den Knoten mit Kondensator und Transformator berechnet werden.

I_L=I−I_C ∆I_L= ∆I+ ∆I_C I_L= (42,4±1,0) mA

Die ReaktanzenX_C/L ergeben sich aus der SpannungU_C und den jeweiligen Str¨omen I_C/L lt. Glg. 3, wobei die Verluste gem¨aß Glg. 5 ber¨ucksichtigt werde m¨ussen.

X_C = U_C

I_C|DF −j| ∆X_C =X_C

∆U_C

U_C +∆I_C

I_C + DF

|DF −j|²∆DF

X_L= s

U_L²

I_L² −R²_L ∆X_L= 1 X_L

U_L

I_L²∆U_L+ U_L²

I_L³ ∆I_L+R_L∆R_L

X_C = (−237±7) Ω X_L= (307±12) Ω

Aus den Reaktanzen X_C/L ergeben sich lt. Glg. 1 die Kapazit¨at C bzw. Induktivit¨at L.

C =− 1

2πf X_C ∆C = ∆XC

2πf X_C² L= X_L

2πf ∆L= ∆X_L 2πf

C = (14,4±0,4)µF L= (980±40) mH

Die ReaktanzenX_C/Lk¨onnen mit den Verlusten zu komplexen ImpedanzenZ_C/Lkom- biniert werden (Phasenwinkel argZ_C als gleich angenommen, da sich der Verlustfaktor DF nicht ge¨andert haben sollte).

Z_C =XC(DF −j) Z_L=RL+XLj

|Z_C|=|X_C(DF −j)| ∆|Z_C|=|DF −j|∆X_C +|X_C|∆DF

|Z_L|=|R_L+X_Lj| ∆|Z_L|= 1

|Z_L|(R_L∆R_L+X_L∆X_L)

|Z_C|= (237±8) Ω |Z_L|= (308±12) Ω

argZ_L = arctan−X_L

R_L ∆ argZ_L = X_LR_L X_L² +R²_L

∆X_L

X_L +∆R_L R_L

argZ_C = (87,1±0,3) deg argZ_L = (−87,02±0,15) deg

Aus der effektiven Gesamtspannung U und der Kondensator-/Spulenspannung U_C/L ergibt sich ¨uber den Scheitelfaktor k_S der Betrag |U| der jeweiligen Spannung lt. Glg.

2.1. Die Phasenwinkeln ϕ werden lt. Glg. 3 durch den rein reellen Strom I von den aus R, Z_C, Z_L zusammengesetzten Impedanzen ¨ubernommen.

U_C/L= (Z_C kZ_L)I U = (R+Z_C kZ_L)I

|U_C/L|= U_C/L kS

|U|= U kS

∆|U_C/L|= ∆U_C/L kS

∆|U|= ∆U kS

argU_C/L = arg(Z_C kZ_L) argU = arg(Z_C kZ_L)

U_C/L= (9,12±0,12) V∠(−18±2) deg U = (9,60±0,13) V∠(−16±2) deg

Die Scheinspannung S ergibt sich aus den Effektivwerten U, I und liegt parallel zur Gesamtspannung U gem¨aß Glg. 4. Wirk- und Blindleistung P & Q werden als Real- &

Imagin¨arteil der Scheinleistung entnommen.

S =U I^∗ S = |S|

k_S S =U I ∆S =I∆U+U∆I argS = argU ∆ argS= ∆ argU S = (115±5) mVA argS = (−16±2) deg P =<S=|S|cos argS Q==S =|S|sin argS

∆P = cos argS∆|S|+|S|sin argS∆ argS ∆Q= sin argS∆|S|+|S|cos argS∆ argS P = (160±5) mW Q= (−46±8) mVar

All diese Werte k¨onnen nun in das Zeigerdiagramm und Leistungsdreieck ¨ubertragen werden.

Abbildung 25: Zeigerdiagramm der Blindleistungskompensation.

Abbildung 26: Zeigerdiagramm der Blindleistungskompensation.

7 Diskussion

7.1 Aufgabe 1: Effektivspannung

An den Ergebnissen von Aufgabe 1 kann erkannt werden dass man immer beachten muss mit welchen Signal man arbeitet und ob die verwendeten Messger¨ate f¨ur diese ¨uberhaupt geeignet sind. Ansonsten k¨onnte man falsche Ergebnisse, welche weit vom realen Wert entfernt sind, ¨ubernehmen.

7.2 Aufgabe 2 & 3: Kondensator & Spule Phasenlage

An den Zeigerdiagrammen (Abb. 19 & 20) kann man erkennen dass eine Kapazit¨at und Induktivit¨at haupts¨achlich aus Reaktanzen bestehen. Da diese jedoch reale Bauteile sind, besitzen diese auch parasit¨are Widerst¨ande und damit einen nicht zu vernachl¨assigenden Einfluss auf die tats¨achliche Schaltung haben.

7.3 Aufgabe 4 & 5: Kondensator & Spule Leistung

Durch die parasit¨aren Widertst¨ande ist die Wirkleistung P nicht rein von den ohmschen Widerst¨anden abh¨angig, sondern wird auch von den Kupferwiderst¨anden beeinflusst.

7.4 Aufgabe 6: Blindleistungskompensation

Die Blindleistungskompensation war auch mit mehreren Kapazit¨aten nicht optimal zu be- werkstelligen und erfordert pr¨azise Abstimmung um zu einem guten Ergebnis zu kommen.

Weiters konnte bei den Versuchen festgestellt werden dass das Oszilloskop zwar sehr hilfreich ist Amplituden und Phasenlagen zu visualisieren, jedoch sollte es nicht f¨ur Mes- sungen verwendet werden, wenn wie in diesem Experiment genauere Ger¨ate, wie die Hand- multimeter (Fluke 175) oder gar Labormultimeter (TTi 1604), verwendet werden k¨onnen (TTi 1604 in Aufgabe 1 bis zu ¨uber 15 Mal genauer).

8 Zusammenfassung

Die geforderten Messwerte wurden ermittelt und Diagramme erstellt. Kleinere Ergebnisse werden hier erneut angegeben, auf Tabellen & Diagramme wird verwiesen.

8.1 Aufgabe 1: Effektivspannung

In Tab. 2 befinden sich alle gemessenen Spannungen.

8.2 Aufgabe 2 & 3: Kondensator & Spule Phasenlage

Die Phasenlagen ϕ_C/L von Kondensator C und Spule L, sowie letzerer Reaktanz X_L wurden bestimmt.

ϕ_C = (−87,1±0,3) deg ϕ_L= (86,1±0,8) deg X_L= (230±50) Ω

Die Zeigerdiagramme wurden erstellt (Abb. 19 & 20).

8.3 Aufgabe 4 & 5: Kondensator & Spule Phasenlage

Die Phasenlagen ϕsind unver¨andert wie bei der vorherigen Aufgabe angegeben.

Die Diagramme sind in Abb. 21, 22, 23 & 24 ersichtlich.

Die Kapazit¨atC und Induktivit¨at Lwurden ermittelt.

C = (48,5±1,3)µF L= (740±140) mH

8.4 Aufgabe 6: Blindleistungskompensation

Das zeigerdiagramm und das Leistungsdreieck wurde erstellt (Abb. 25 & 26).

Literatur

[1] Hanauer Franz. Phase und Leistung. Skript. 30.09.2020.