Inhalt
1 Analytische Geometrie: Grundlagen
. . . 51.1 Punkte im Koordinatensystem ablesen . . . 5
1.2 Vom Punkt zum Vektor . . . 5
1.3 Unterschied Ortsvektor/Richtungsvektor . . . 6
1.4 Länge eines Vektors . . . 6
1.5 Rechnen mit Vektoren . . . 7
1.6 Mittelpunkt einer Strecke . . . 9
1.7 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit . . . 10
1.8 Koordinatenebenen . . . 12
2 Lineare Gleichungssysteme
. . . 132.1 Einsetzungsverfahren . . . 14
2.2 Gleichsetzungsverfahren . . . 15
2.3 Additionsverfahren . . . 15
2.4 Gauß-Algorithmus . . . 16
3 Geraden
. . . 193.1 Punktprobe Gerade . . . 19
3.2 Spurpunkte von Gerade mit Koordinatenebenen . . . 20
3.3 Geschwindigkeitsaufgaben . . . 21
4 Ebenen
. . . 234.1 Parameterdarstellung einer Ebene . . . 23
4.2 Ebenengleichung aufstellen . . . 23
4.3 Normalenvektor einer Ebene . . . 24
4.4 Umwandeln von Ebenengleichungen . . . 26
4.5 Punktprobe Ebene . . . 31
4.6 Spurpunkte mit Koordinatenachsen . . . 31
5 Lagebeziehungen
. . . 335.1 Lage Gerade - Gerade . . . 34
5.2 Lage Gerade - Ebene . . . 35
5.3 Lage Ebene - Ebene . . . 37
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4 INHALT
5.4 Übersicht Schnittwinkel . . . 40
6 Abstände
. . . 416.1 Abstand Punkt zu Punkt . . . 41
6.2 Abstand Punkt zu Gerade . . . 41
6.3 Abstand paralleler Geraden . . . 43
6.4 Abstand windschiefer Geraden . . . 43
6.5 Abstand Punkt zu Ebene . . . 45
7 Kreise und Kugeln
. . . 477.1 Der Kreis . . . 47
7.2 Die Kugel . . . 48
7.3 Lagebeziehungen und Abstände . . . 48
8 Lineare Algebra: Grundlagen
. . . 558.1 Aufbau einer Matrix . . . 55
8.2 Rechnen mit Matrizen . . . 55
8.3 Vom LGS zur Matrix . . . 58
9 Austauschprozesse
. . . 599.1 Übergangsgraph/-diagramm . . . 59
9.2 Übergangsmatrix ablesen . . . 60
9.3 Zeitlich Vorwärtsrechnen . . . 60
9.4 Zeitlich Rückwärtsrechnen (mit LGS oder Inverse) . . . 61
9.5 Begriff Fixvektor, stabiler Vektor . . . 63
10 Populationsprozesse
. . . 6511 Produktionsprozesse
. . . 6711.1 Das 1-Schritt-Verflechtungsmodell . . . 67
11.2 Einfache Mehrschritt-Modelle . . . 68
12 Abbildungen
. . . 6912.1 Mögliche Abbildungen . . . 69
12.2 Punkte abbilden . . . 72
12.3 Bildgerade bestimmen . . . 73
12.4 Fixpunkt bestimmen . . . 73
12.5 Fixpunktgerade bestimmen . . . 74
12.6 Fixgeraden bestimmen . . . 75
12.7 Verkettung von Abbildungen . . . 78
12.8 Abbildungsgleichung bestimmen . . . 78
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1 Analytische Geometrie: Grundlagen
1.1 Punkte im Koordinatensystem ablesen
Zu einem beliebigen Punkt im dreidimensionalen Raum (x1|x2|x3) bzw. (x|y|z), z.B.P(6|7|4), ge-
Punkte in 2D
Punkte in 3D
langt man, indem man vom Nullpunkt des Koordinatensystems 6 Einheiten inx-Richtung, 7 Ein- heiten iny-Richtung und dann 4 Einheiten inz-Richtung geht. Hier noch besondere Punkte:
!"
!#
!$ (0 2 4)
(0 4 3)
(1 7 0) (3 2 0)
(1 0 2)
! -
(1|0) (3|0) (0|1)
(0|4)
(5|3)
x
x2
x3
y
(5|3) (0|4)
(0|1)
(1|0) (3|0)
(0|2|4)
(0|4|3)
(1|7|0) (3|2|0)
x1
(1|0|2)
2-Dimensional:
• Alle Punkte auf dery-Achse haben denx- Wert 0!P(0|y)
• Alle Punkte auf derx-Achse haben deny- Wert 0!P(x|0)
3-Dimensional:
• Alle Punkte in derx1x2-Ebene haben den x3-Wert 0!P(x1|x2|0)
• Alle Punkte in derx1x3-Ebene haben den x2-Wert 0!P(x1|0|x3)
• Alle Punkte in derx2x3-Ebene haben den x1-Wert 0!P(0|x2|x3)
1.2 Vom Punkt zum Vektor
Ein Vektor−→
ABbezeichnet eine Verschiebung in der Ebene oder im Raum. Aus zwei Punkten im
Definition
dreidimensionalen RaumA(a1|a2|a3)undB(b1|b2|b3)erhält man den Vektor
−→AB=
b1−a1 b2−a2 b3−a3
A
B BA AB
Grafisch wird der Vektor durch einen Pfeil dargestellt, der vom PunktA zum PunktBzeigt. Der Vektor−→
BAzeigt in die entgegengesetzte Richtung und ist genauso lang wie−→
AB.
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6 1. Analytische Geometrie: Grundlagen
1.3 Unterschied Ortsvektor/Richtungsvektor
IstO(0|0)der Koordinatenursprung undP(5|2)ein Punkt, so heißt der Vektor
−→OP=−→p =
5−0 2−0
=
5 2
Ortsvektor zum PunktP.
!
"
#(5|2) )⃗ = 5
2 5 2
!
"
,(2|4)
.⃗
7 2
4
2
0 1(7|2)
,1 = 5
−2 Ortsvektor zum Punkt # Richtungsvektor von Punkt ,zu1
x
y y
2 7
x
2 4
A(2|4)
B(7|2) AB =(5
−52) -2 a b
Richtungsvektor von Punkt A zu B Ortsvektor zum Punkt P
5 2
p =(5
−52) 2
P(5|2)
Richtungsvektoren können jeden Punkt als Startpunkt haben, während Ortsvektoren immer vom Koordinatenursprung ausgehen. Der Richtungsvektor zwischenA(2|4)undB(7|2)lautet z.B.:
−→AB=−→ b − −→a =
7−2 2−4
=
5
−2
Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie gleich lang sind und die gleiche Richtung haben.
Im dreidimensionalen Raum werden Orts- und Richtungsvektoren genau wie im zweidimensiona- len aufgestellt. Einziger Unterschied ist die zusätzliche Koordinatex3(oderz).
1.4 Länge eines Vektors
In kartesischen Koordinaten kann die Länge von Vektoren nach dem Satz des Pythagoras be- rechnet werden. Gegeben sei der Vektor −→a = (2 1 4)T - Hinweis: Schreibweise mit „hoch T“
(Transponierte einer Matrix) ist oft platzsparender! Bitte nicht verzweifeln, denn es gilt:
−
→a = (2 1 4)T =
2 1 4
,
dann wird die Länge über|−→a|=√
22+ 12+ 42bestimmt. Oder allgemein mit a=|−→a|=p
a12+a22+a32.
Alternativ kann die Länge auch als die Wurzel des Skalarprodukts angeben werden:
a=|−→a|=
p−→a • −→a.
Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren oder normierte Vektoren.
Hat ein Vektor die Länge 0, so handelt es sich um den Nullvektor.
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4.5 Punktprobe Ebene 31
welche wir in die Achsenabschnittsform umwandeln möchten.
zu 1.:
1·x1+ 15·x2+ 2·x3 = 19 |: 19
⇔ x1
19 1
+x2
19 15
+x3
19 2
= 1
4.5 Punktprobe Ebene
Ebene liegt in Parameterform vor
BeispielLiegt der PunktP(1|2|4)in der Ebene mit der Parameterform
Punktprobe Parameterform
E:−→x =
1 1 1
+r·
2 1 4
+s·
3 1 5
?
Hierfür müssen die Koordinaten der einzelnen Komponenten von−→x durch die Koordinaten des PunktesPersetzt werden. Wir erhalten ein LGS mit 3 Gleichungen, welches nachrundsaufgelöst werden muss. Zur Bestimmung von 2 Unbekannten werden aber nur 2 Gleichungen benötigt. Die dritte Gleichung dient somit der Kontrolle und muss wahr sein, wenn der Punkt in der Ebene liegt.
I 1 = 1 + 2r + 3s
II 2 = 1 + r + s
III 4 = 1 + 4r + 5s
⇒s=−2undr= 3in III:46= 3
Wir haben I−2·II gerechnet und fürs=−2erhalten. Anschließendsin Gleichung II eingesetzt und r = 3berechnet. Zur Probe haben wir dann Gleichung III genommen und eine falsche Aussage 46= 3herausbekommen. Daher liegt der PunktPnicht in der EbeneE.
Ebene liegt in Koordinatenform vor
BeispielLiegtR(2|1|11)in der Ebene mit der KoordinatengleichungE: 3x1+ 7x2−x3= 2?
Punktprobe Koordinatenform
Fürx1,x2undx3werden einfach die Koordinaten des PunktesRinEeingesetzt:3·2+7·1−11 = 2.
Das ist eine wahre Aussage und somit liegt der PunktR in der Ebene. Wenn wir z.B.12 = 4 herausbekommen würden, würde der Punkt nicht in der Ebene liegen.
4.6 Spurpunkte mit Koordinatenachsen
Ebene liegt in Koordinatenform vor
Spurpunkte Koordinatenform
Spurpunkte einer Ebene sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die Spurgeraden sind die Verbindungsgeraden der Spurpunkte. Um möglichst einfach eine Aussage über Spur- punkte treffen zu können, sollte die Ebenengleichung in der sogenannten Achsenabschnittsform vorliegen. Hierfür einfach die Koordinatenform durch die Zahl teilen, bei der keinx steht!
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5 Lagebeziehungen
Jede Gerade lässt sich imR3durch eine Gleichung folgender Form darstellen:
g: −→x =
a1
a2
a3
+t·
u1
u2
u3
, t∈R
Besondere Lagenergeben sich, wenn der Stützvektor und der Richtungsvektor Nullen und Einsen
Übersicht
als Koordinaten haben. So ist z.B. eine Gerade mit
• a1=a2=a3= 0eine Ursprungsgerade • u2=u3= 0eine Parallele zurx1-Achse
• u1= 0eine Parallele zurx2x3-Ebene
• u1 =u2 = 1,u3 = 0eine Parallele zu einer der Winkelhalbierenden zwischen derx1-Achse und derx2-Achse
• u1=u2=u3= 1eine Gerade, die zu jeder Achse einen Winkel von45ohat
Wir wissen bereits: Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung folgender Form darstellen:
E:−→x =
p1
p2
p3
+r·
u1
u2
u3
+s·
v1
v2
v3
, r,s∈R
Eine Ebene mit
• p1=p2=p3= 0geht durch den Ursprung
• u3=v3= 0ist parallel zurx1x2-Ebene
• u1=u2= 0ist parallel zurx3-Achse
Wenn die Gleichung in Koordinatenform gegeben ist, erkennt man die besondere Lage einer Ebe- ne sofort:
Fehlt einxxxiii, so ist die Ebene zu dessen Achse parallel.
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9 Austauschprozesse
Eine typische Aufgabe in Klausuren ist das ThemaAustauschprozesse. Hierbei sind einige Dinge zu beachten. In der Regel ist ein Übergangsgraph gegeben, aus dem eine Matrix erstellt werden soll.
Achtet immer auf den Zeitraum, der angegeben ist.
Das ist wichtig für eure Antworten (z.B. monatlich, Woche zu Woche etc.)!
Es kann auch sein, dass die Matrix gegeben ist und der Übergangsgraph gezeichnet werden soll.
Am sinnvollsten ist es, als Zwischenschritt eine Tabelle aufzustellen, damit das Fehlerrisiko redu- ziert wird. Im Folgenden werden wir die einzelnen Komponenten zum Thema Austauschprozesse erläutern.
9.1 Übergangsgraph/-diagramm
Übergangsgraphen sind spezielle gerichtete Graphen mit sogenannten Kantengewichten, die eine
Austausch- prozesse
Verbindung zwischen Stochastik und Graphentheorie schlagen. In der folgenden Abbildung ist ein Übergangsgraph bzw. ein Übergangsdiagramm dargestellt, der die wöchentliche Wahl des Lieblingsfaches darstellen soll. Wichtig ist die zeitliche Angabe - hier: wöchentlich! Aus diesem Graphen lässt sich eine Tabelle erstellen. Achte auf die Zuordnung:von - nach!
Sport Englisch
Mathe
30%
40%
40%
60%
20%
30%
20%
10%
50%
⇔
von
M S E
M 0,5 0,4 0,1 nach S 0,3 0,4 0,6 E 0,2 0,2 0,3 P 1 1 1
Wichtig: Die Spaltensumme muss immer 1 ergeben!
Wenn nicht, solltet ihr kontrollieren, ob ihr alles richtig gemacht habt.
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10 Populationsprozesse
Ein typisches Beispiel für einen Populations- oder Entwicklungsprozess ist die Käferpopulation.
Populations- prozess
Achtung bei Zeiträumen
Entweder sind hierfür Informationen im Text gegeben, aus denen wir einen Übergangsgraph er- stellen können, oder wir haben den Übergangsgraph oder die Übergangsmatrix direkt gegeben.
Betrachten wir hierfür folgendes Beispiel einer Käferpopulation.
BeispielDas folgende Modell beschreibt die Entwicklung eines Käfers: Aus den Eiern schlüpfen nach einem Monat Larven, nach einem weiteren Monat werden diese zu Käfern, die nach einem Monat Eier legen und dann sterben. Aber nur aus einem Viertel der Eier werden Larven, die ande- ren Eier werden von Tieren gefressen oder verenden. Von den Larven wird die Hälfte zu Käfern, die andere Hälfte stirbt. Jeder Käfer legt 8 Eier.
Daraus ergibt sich folgender Übergangsgraph und folgende Populationsmatrix:
Eier Larven Käfer 8
0,5 0,25
⇔ P=
0 0 8
0,25 0 0 0 0,5 0
In der ersten Zeile vonPstehen möglicheVermehrungsraten. Käfer können sich vermehren und 8 Eier pro Monat legen. In der zweiten und dritten Zeile stehenÜberlebensraten. Eier können zu Larven werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% (Überlebensrate). Larven können überleben und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% zu Käfern werden.
Falls im Text eineSterberateangegeben ist, müsst ihr in der Matrix die entsprechende Überlebensrate= 1 -Sterberateeintragen!
Zurück zu unserem Beispiel: Wenn zu Beginn der Population jeweils 40 Eier, Larven und Käfer vorhanden waren, besteht die Population nach einem Monat aus
0 0 8
0,25 0 0 0 0,5 0
·
40 40 40
=
320
10 20
320 Eiern, 10 Larven und 20 Käfern.
Oft wird auch nach einem Anfangsbestand gefragt, der nach einem bestimmten Zeitraum unverän- dert ist. In unserem Beispiel sollen wir einen Anfangsbestand bestimmen, der nach einem Monat
