logistische Abbildung Dynamik

(1)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Punkt-Attraktor periodische Attraktoren Lyapunov Exponent unendliche Periodenverdopplung Skalierung und Selbstähnlichkeit Feigenbaum- Konstanten Chaotische Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Kritischer Parameter Strukturen im Chaos Spektrum Julia- und Mandelbrotmengen

Die logistische Abbildung

Jakob Nawrath

3. Mai 2005

(2)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Gliederung

1 Die logistische Abbildung 2 Dynamik

Punkt-Attraktor

periodische Attraktoren Lyapunov Exponent

unendliche Periodenverdopplung Skalierung und Selbstähnlichkeit Feigenbaum-Konstanten

Chaotische Dynamik

3 Komplexität an der Grenze zwischen Regularität und Chaos

Kritischer Parameter Strukturen im Chaos Spektrum

Julia- und Mandelbrotmengen

(3)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Szenarien einer Population

• Szenario I: nach einigen Jahren stabil

• Szenario II: zyklisches Verhalten

• Szenario III: chaotische Schwankungen

(4)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

logistische Abbildung

Pierre Francois Verhulst (1804-1849):

• logistische Gleichung ^dx _dt = r · x ⇒ ^dx _dt = rx(1 − x)

• Iterierte Differenzengleichung: logistische Abbildung

x _n+1 = f(x n ), x ₀ ∈ [0, 1]

mit f (x ) = rx(1 − x ), r ∈ [0, 4]

• nichtlinear, rückgekoppelt

• bildet [0,1] auf sich selbst ab

(5)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Beschreibung der Generationenfolge

Stabilität:

Untersuche

• Parameter

• Startwerte

(6)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Beschreibung der

Generationenfolge

(7)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Fixpunkte

• f (x ^∗ ) = x ^∗ ⇒ x ₀ ^∗ = 0, x ₁ ^∗ = 1 − ¹ _r

• Stabilität:

• ⇔ Attraktor A

• A invariant unter Dynamik

• A attraktiv

• A kann nicht zerlegt werden

(8)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Fixpunkte

• f (x ^∗ ) = x ^∗ ⇒ x ₀ ^∗ = 0, x ₁ ^∗ = 1 − ¹ _r

• Stabilität:

• |f ⁰ (x ^∗ )| < 1

f ⁰ (x ₀ ^∗ ) = r ; ⇒ x ₀ ^∗ = 0 für r < 1 attraktiv

f ⁰ (x ₁ ^∗ ) = 2 − r ⇒ x ₁ ^∗ = 1 − ¹ ₃ für 1 < r < 3 attraktiv

(9)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Punkt-Attraktor

(10)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Punkt-Attraktor

(11)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Punkt-Attraktor

(12)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Punkt-Attraktor

(13)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Punkt-Attraktor

(14)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

periodische Attraktoren

(15)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

periodische Attraktoren

(16)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

periodische Attraktoren

• Instabilität → ^? Periodenverdopplung, Bifurkation

• Periode 2 ⇔ x n = x _n+2

• Betrachte f ² (x ) = (f ◦ f )(x )

• x ₁ ^∗ , x ₂ ^∗ Fixpunkte

• invariant bzgl. Komposition von f

• stabil für 3 < r < 1 + √

6

(17)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

periodische Attraktoren

• Instabilität → ^? Periodenverdopplung, Bifurkation

• Periode 2 ⇔ x n = x _n+2

• Betrachte f ² (x ) = (f ◦ f )(x )

• x ₁ ^∗ , x ₂ ^∗ Fixpunkte

• invariant bzgl. Komposition von f

• stabil für 3 < r < 1 + √

6

(18)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Iterierte Abbildung

(19)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Iterierte Abbildung

(20)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Iterierte Abbildung

(21)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

periodische Attraktoren

Iterierte Abbildung

• instabiler x ^∗ wird nicht mehr besucht

(22)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Lyapunov Exponent

der Attraktoren

• Prozess läuft von abstoßenden Fixpunkten zu attraktiven

• Annäherungsgeschwindigkeit: Maß für

„Anziehungskraft“ des Attraktors

(23)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Lyapunov Exponent

der Attraktoren

• Maß für lokale Divergenz der Trajektorien

λ(x ₀ ) = lim

N→∞

1 N

N−1

X

i=0

log |f ⁰ (x _i )|

= lim

N←∞

1 N

N−1

X

i=0

log |r − 2rx _n |

• Stabilität → λ < 0 also Invarianz unter kleinen Störungen der x ₀

• bei λ = 0 Fixpunkt instabil, nicht mehr Teil der Dynamik

(24)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Periodenverdopplung bei r ∞ Lyapunov Exponent

qualitative

Charakterisierung und Skalenverhalten der Achsen

• 1 < r < 3: λ(x ₁ ^∗ ) = ln |2 − r | < 0

• 3 < r < 1 + √

6: λ(x ₂ ^∗ ) = ¹ ₂ ln |4 + 2r − r ² | < 0

(25)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Skalierung

und Selbstähnlichkeit

n Iterationen → 2 ⁿ Fixpunkte

(26)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Skalierung

und Selbstähnlichkeit

n Iterationen → 2 ⁿ Fixpunkte d n = f _R ² _n ⁿ⁻¹

1 2

− 1

2 → d n = f _R ² _n ⁿ⁻¹ (0)

(27)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Skalierung

und Selbstähnlichkeit

n Iterationen → 2 ⁿ Fixpunkte

d _n = f _R ² ⁿ⁻¹

n

1 2

− 1

2 → d _n = f _R ² ⁿ⁻¹

n (0)

n→∞ lim (−α) ⁿ d _n+1 = lim

n→∞ (−α) ⁿ f _R ² ⁿ

n+1 = d ₁

(28)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Skalierung

und Selbstähnlichkeit

n Iterationen → 2 ⁿ Fixpunkte d _n = f _R ² _n ⁿ⁻¹

1 2

− 1

2 → d _n = f _R ² _n ⁿ⁻¹ (0)

n→∞ lim (−α) ⁿ d _n+1 = lim

n→∞ (−α) ⁿ f _R ² ⁿ

n+1 = d ₁

n→∞ lim (−α) ⁿ f _R ² ⁿ _n+1 x

(−α) ⁿ

= g ₁ (x)

(29)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Skalierung

und Selbstähnlichkeit

g _i (x ) ≡ lim

n→∞ (−α) ⁿ f _R ² ⁿ

n+i

x (−α) ⁿ

= g ₁ (x )

(30)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Skalierung

und Selbstähnlichkeit

g _i (x ) ≡ lim

n→∞ (−α) ⁿ f _R ² ⁿ

n+i

x (−α) ⁿ

= g ₁ (x )

Verdopplungsoperator T verbindet all diese Funktionen und skaliert Feigenbaumkonstante α:

Tg _i (x ) ≡ −αg _i [g _i (−x/α)])g _i−1 (x )

für i → ∞ folgt als Fixpunkt von T : g(x) = Tg(x ) = −αg h

g

− x α

i

• Diese Gleichung bestimmt α als universellen Wert

• keine allgemeine Theorie für die Lösung

(31)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Feigenbaumkonstanten

• Die Abstände d n zwischen x = 1/2 und dem nächsten Punkt eines 2 ⁿ -Zyklus haben konst. Verhältnisse:

α = lim

n→∞

d _n

d _n+1 = 2.502907 . . .

• r _∞ = s _∞ = 3.5699456 . . .

• δ = lim

n→∞

r n − r n−1

r _n+1 − r _n = lim

n→∞

R n − R n−1

R _n+1 − R _n = 4, 6692 . . .

• Die Parameterwerte r _n , an denen die Zahl der Fixpunkte von 2 ⁿ⁻¹ nach 2 ⁿ wechselt, skalieren wie

r _n = r _∞ − const · δ ⁻ⁿ für n 1

• Die superstabile Zyklen R _n skalieren wie

R _n − r _∞ = const ⁰ · δ ⁻ⁿ

(32)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Chaotische Dynamik

Lyapunov Exponenten

(33)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Komplexität an der Grenze zwischen Regularität und Chaos

• r ∞ hat herausragende Bedeutung

• Folge k der Periodenverdopplungen → 3.56994 . . .

• Feigenbaumattraktor

• kritischer Reproduktionsparameter

• aperiodisch

• nach endlicher Zeit ∞ instabile Fixpunkte, aber keine stabilen mehr

→ Dynamik wird von einem Repellor zum nächsten getrieben

• hierarchische Selbstähnlichkeit

(34)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Strukturen im Chaos

periodische Fenster

(35)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Strukturen im Chaos

Tangenten-Bifurkation

(36)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Strukturen im Chaos

• Intermittenz durch Tangentenbifurkation

• Periodenverdreifachungen p · 3 ⁿ etc.

• sensible Parameterabhängigkeit

• Breite der periodischen Bereiche durch = r − r _∞ festgelegt:

hli ∝ ^−1/2

• r -Werte skalieren mit δ, aber anderen Konstanten.

• Renormierungsgruppengleichungen können exakt

gelöst werden

(37)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Spektrum

• Zerlege Elemente x n (t) eines 2 ⁿ -Zyklus für (t = 1, 2, . . . , 2 ⁿ ≡ T _n ) in Fourierkomponenten a ⁿ _k :

x ⁿ (t) = X

k

a ⁿ _k e ^2πik ^Tn ^t

• Die Periodizität des Zyklus impliziert:

x ⁿ (t) = x ⁿ (t + 2 ⁿ ) → e ^2πik = 1 , k = 0, 1, . . . , 2 ⁿ − 1

• nach jedem Bifurkationsschritt 2 ⁿ neue

Subharmonische mit den Amplitudenverhältnissen

|a ⁿ⁺¹ _2k | ≈ |a ⁿ _k |, |a ⁿ⁺¹ _2k+1 | ≈ µ ⁻¹ |a ⁿ (1/2)(2k+1) |

(38)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Spektrum

(39)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

• spektral nicht von WN zu unterscheiden

• brekdown of linear analysis

• bei r = 4 invariante Dichte (hängt nicht von x ₀ ab) → ergodisch

• chaotische Bereiche wachsen durch inverse Bifurkation

zusammen, bei r = 4 Iterierte über ganzes Intervall

verteilt

(40)

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Julia- und Mandelbrotmengen

• „komplexify to simplify“: r = (r x , r y )

Substituiere x = − ^z _r + ¹ ₂ und c = (1 − ^r ₂ ) ₂ ^r : f c (z n ) = z _n+1 = z _n ² + c

• für welche Anfangspopulationen z ₀ Generationenfolgen bei festem c bzw. r beschränkt?

Julia-Menge

J _c = Rand von {z| lim _n→∞ f _c ⁿ (z) → ∞}

• welche Generationenfolgen (z ₀ , z ₁ , z ₂ , · · · ) bleiben in Abhängigkeit von c beschränkt?

logistische Abbildung Dynamik

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Die logistische Abbildung

Jakob Nawrath

3. Mai 2005

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logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Gliederung

1 Die logistische Abbildung 2 Dynamik

Punkt-Attraktor

periodische Attraktoren Lyapunov Exponent

unendliche Periodenverdopplung Skalierung und Selbstähnlichkeit Feigenbaum-Konstanten

Chaotische Dynamik

3 Komplexität an der Grenze zwischen Regularität und Chaos

Kritischer Parameter Strukturen im Chaos Spektrum

Julia- und Mandelbrotmengen

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Szenarien einer Population

• Szenario I: nach einigen Jahren stabil

• Szenario II: zyklisches Verhalten

• Szenario III: chaotische Schwankungen

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

logistische Abbildung

Pierre Francois Verhulst (1804-1849):

• logistische Gleichung dx dt = r · x ⇒ dx dt = rx(1 − x)

• Iterierte Differenzengleichung: logistische Abbildung

x n+1 = f(x n ), x 0 ∈ [0, 1]

mit f (x ) = rx(1 − x ), r ∈ [0, 4]

• nichtlinear, rückgekoppelt

• bildet [0,1] auf sich selbst ab

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Beschreibung der Generationenfolge

Stabilität:

Untersuche

• Parameter

• Startwerte

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Beschreibung der

Generationenfolge

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Fixpunkte

• f (x ∗ ) = x ∗ ⇒ x 0 ∗ = 0, x 1 ∗ = 1 − 1 r

• Stabilität:

• ⇔ Attraktor A

• A invariant unter Dynamik

• A attraktiv

• A kann nicht zerlegt werden

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Fixpunkte

• f (x ∗ ) = x ∗ ⇒ x 0 ∗ = 0, x 1 ∗ = 1 − 1 r

• Stabilität:

• |f 0 (x ∗ )| < 1

f 0 (x 0 ∗ ) = r ; ⇒ x 0 ∗ = 0 für r < 1 attraktiv

f 0 (x 1 ∗ ) = 2 − r ⇒ x 1 ∗ = 1 − 1 3 für 1 < r < 3 attraktiv

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Punkt-Attraktor

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

Punkt-Attraktor

Jakob Nawrath

logistische Abbildung Dynamik

Komplexität zwischen Regularität und Chaos

• logistische Gleichung ^dx _dt = r · x ⇒ ^dx _dt = rx(1 − x)

x _n+1 = f(x n ), x ₀ ∈ [0, 1]

• f (x ^∗ ) = x ^∗ ⇒ x ₀ ^∗ = 0, x ₁ ^∗ = 1 − ¹ _r

• f (x ^∗ ) = x ^∗ ⇒ x ₀ ^∗ = 0, x ₁ ^∗ = 1 − ¹ _r

• |f ⁰ (x ^∗ )| < 1

f ⁰ (x ₀ ^∗ ) = r ; ⇒ x ₀ ^∗ = 0 für r < 1 attraktiv

f ⁰ (x ₁ ^∗ ) = 2 − r ⇒ x ₁ ^∗ = 1 − ¹ ₃ für 1 < r < 3 attraktiv

• Instabilität → ^? Periodenverdopplung, Bifurkation

• Periode 2 ⇔ x n = x _n+2

• Betrachte f ² (x ) = (f ◦ f )(x )

• x ₁ ^∗ , x ₂ ^∗ Fixpunkte

• Instabilität → ^? Periodenverdopplung, Bifurkation

• Periode 2 ⇔ x n = x _n+2

• Betrachte f ² (x ) = (f ◦ f )(x )

• x ₁ ^∗ , x ₂ ^∗ Fixpunkte

• instabiler x ^∗ wird nicht mehr besucht