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Liste von möglichen Initialaufgaben(Auswahl)

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Academic year: 2022

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(1)

Projekt „Aufgabenvariation als Unterrichtsgegenstand“

August 2002

Liste von möglichen Initialaufgaben

(Auswahl)

Jahrgangsstufen 5-6

U1. Addiere irgend zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen. Was fällt Dir auf ?

U2. Der 02.02.2000 war ein Datum, das nur aus geraden Ziffern besteht. Wann zuletzt gab es ein solches Datum?

U3. Hier siehst Du eine Folge von natürlichen Zahlen:

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; ... .

a) Kannst Du sie in gleicher Weise fortsetzen?

b) Was fällt Dir auf?

U4. Wie viele Umdrehungen macht der Sekundenzeiger einer Uhr an einem Tag?

U5. Gib eine Bruchzahl an, die zwischen 2

7 und 3

7 liegt.

U6. 66 l Apfelsaft werden in ½-l-Flaschen und ¾-l-Flaschen abgefüllt. Es sind dreimal so viel ¾-l-Flaschen wie ½-l-Flaschen. Wie viele Flaschen sind es von jeder Sorte?

U7. Welches ist die größte Zahl, die man mit drei Ziffern schreiben kann?

U8. Wie viele Schnittpunkte können drei verschiedene Geraden haben?

U9. Die Bundesrepublik Deutschland hat eine Fläche von 375 000 km2. Darauf leben 82 Millionen Menschen. Wie viele Menschen sind das pro km2 ?

U10. Wie kann man einen Würfel halbieren?

U11. Aus Draht soll ein Quader hergestellt werden, der 15 cm lang, 8 cm breit und 4 cm hoch ist. Wieviel Draht braucht man dazu?

U12. Auf einer Quaderecke sitzt eine Ameise. Wie kann sie auf kürzestem We- ge zur gegenüberliegenden Ecke kommen?

(2)

Jahrgangsstufen 7-10

M1. Löse - durch geeignetes Klammern - die Aufgabe 31 4 41

2 21 2 51

− + − 3 . M2. Konstruiere ein Dreieck mit seinen Mittelsenkrechten. Was fällt Dir auf?

Beweise Deine Vermutung.

M3. Ein Parallelogramm soll von einer Ecke aus durch 2 Geraden in 3 inhalts- gleiche Teilflächen zerlegt werden.

M4. Gegeben ist ein spitzer Winkel mit den Schenkeln a,b und der Spitze S so- wie ein Punkt A ∈ a (A ≠ S).

Gesucht ist ein Kreis k durch A, der a und b zu Tangenten hat.

M5. Welches unter allen Rechtecken gleichen Umfangs u hat maximalen In- halt?

M6. Im rechtwinkligen Dreieck ABC (mit C als Scheitel des rechten Winkels) ist derjenige Punkt gesucht, für den die Summe seiner Abstände von den drei Seiten minimal ist.

M7. Löse die Gleichung 7x + 3 = 10; G = Z .

M8. Eine im Dezimalsystem mit 6 Ziffern geschriebene natürliche Zahl hat die Einerziffer 7. Wenn man sie streicht und den anderen Ziffern voranstellt, erhält man eine weitere natürliche Zahl, die das 4-fache der ersten ist. Wie heißen die beiden Zahlen?

M9. Zeichne den Graph der linearen Funktion f: y = 2

3x+2. M10. Löse das Gleichungssystem

I: x + 3y = −4 II: 3x + 2y = 9 mit dem Additionsverfahren.

M11. Beweise, daß 2 keine rationale Zahl ist.

M12. Löse die Gleichung 2+ 148 8− x =2x .

M13. Gegeben sind vier paarweise verschiedene Punkte A, B, C, D. Bestimme die Menge der Mittelpunkte aller Strecken s(X;Y) mit X ∈ s(A;B) und Y ∈ s(C;D).

M14. In einer Urne liegen 3 weiße und 4 schwarze Bälle. Jemand zieht zufällig und auf einen Griff 3 Bälle heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sie alle weiß sind?

(3)

M15. In einem Raum befinden sich 30 Personen. Wie groß ist die Wahrschein- lichkeit, daß mindestens 2 unter ihnen am gleichen Tag Geburtstag haben?

M16. Zeige, daß für den Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten(längen) a und b sowie dem Zwischenwinkel g gilt: ADreieck ABC = 1

2⋅ ⋅ab sinγ .

M17. Zeichne den Graph von g: y = sin(2x) und vergleiche ihn mit dem Graph von f: y = sinx.

M18. Welches ist die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen?

M19. Nach Berechnungen der UNO hat die Weltbevölkerung am 12.10.1999 die 6-Milliarden-Grenze erreicht. Gegenwärtig kommen jährlich etwa 1,3% da- zu. Ist die 7-Milliardengrenze schon erreicht?

M20. Welche Eigenschaften hat die Verknüpfung a © b := a + b + ab ? Jahrgangsstufen 11-13

O1. Zeigen Sie, daß jeder Rubelbetrag über 7 Rubel mit (genügend vielen) Scheinen im Wert von 3 Rubeln und 5 Rubeln beglichen werden kann, ohne daß herausgegeben werden muß.

O2. Wie läßt sich ein Ursprungskreis analytisch charakterisieren?

O3. Die Schnittpunkte der Ebene e: 2x1 − 2x2 − x3 + 5 = 0 mit den Koordina- tenachsen bilden ein Dreieck. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt.

O4. Gegeben sind zwei Punkte F1(−e;0) und F2(e;0) (e > 0). Charakterisieren Sie analytisch die Menge aller Punkte P, für welche ihre Entfernungen zu F1 und F2 die konstante Länge 2a (a > e) haben.

O5. Ein Industrieprodukt (z.B. Locher, Rasenmäher, Raio, Auto) besteht zu- meist aus mehreren Teilen. Das Produkt ist intakt, wenn es alle seine Teile sind..

Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Produkt intakt ist, hängt also ab von den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für seine Teile, aber auch davon wie diese Teile zusammenhängen.

Beispiel:

T1 T2

T3

T4

(4)

Die Wahrscheinlichkeit, daß die Teile arbeiten, ist 0,9 für alle Ti. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Gesamtsystem (das Produkt bzw. das herausge- zeichnete Teil des Produkts) intakt ist?

O6. Welcher unter allen Zylindern, die einer Kugel mit Radius R einbeschrie- ben werden kann, hat maximalen Inhalt?

O7. a) Diskutieren Sie die Funktion f: y = x + 1

x und ihren Graph.

b) Ebenso die Funktion g: y = [x] und ihren Graph. ([x] ist die größte gan- ze Zahl ≤ x.)

O8. Welche Bedingungen müssen a,b,c ∈ R (a ≠ 0) erfüllen, damit die kubische Parabel mit der Gleichung y = ax3 + bx + c die x-Achse berührt?

O9. Untersuchen Sie die Kurve

x r r

c

=

F

H GG I

K JJ

cos sin

ϕ ϕ ϕ

mit den Konstanten r,c ∈ R+ und ϕ ∈R .

O.10 Studieren Sie die „Punkte“ (•) und „Geraden“ (•---•---•) der Figur, auf der man Mühle spielt. Welche Axiome gelten hier (im Unterschied zur Euklidi- schen Geometrie) und was folgt aus ihnen?

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