Vom Zauber der Zahlen

Vom Zauber der Zahlen

Gedanken und Spielereien aus der Welt der Arithmetik

Meisterklasse Mathematik - Dresden 2018

Olaf Schimmel (Ulf-Merbold-Gymnasium Greiz) www.mathoid.de , os@mathoid.de

Gliederung

1. Prim- und Mirpzahlen

2. Arm, reich oder sogar perfekt?

3. Zauberei (I)

4. Fröhliche und glückliche Zahlen 5. Eine interessante Zahlenfolge

6. Zauberei (II)

7. Brüche in Ägypten

Kann man mit Zahlen zaubern?

6174

1 Primzahlen

Welche Definition ist korrekt?


Jede natürliche Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, heißt Primzahl.


Jede natürliche Zahl, die genau zwei Teiler besitzt, heißt Primzahl.


2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43;

…

Primzahlzwillinge: 


Primzahlen mit dem Abstand 2.


Beispiele:

(3; 5) (5; 7) (11; 13) 


(17; 19) (29; 31) (41; 43) (59; 61) (71; 73) (101; 103) (107; 109) (137; 139)


(149; 151) … Offene Frage:

Gibt es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillige?

Gibt es Formeln für Primzahlen?

Mersennesche Primzahlen:

Fermatsche Primzahlen:

F

= 2

+ 1 M

= 2

1

Fazit:


Leider findet man nicht für jedes n Primzahlen.

M77.232.917 wurde im Dezember 2017 entdeckt.


Es ist erst die 50. Primzahl dieser Reihe.


Sie hat 23.249.425 Ziffern.

3; 5; 17; 257; 65537;

F5 = 4294967297 = 641 * 6700417

Beispiele:

13 ist eine Mirpzahl, denn 31 ist eine Primzahl.

13 ist die kleinste Mirpzahl.

11 und 101 sind keine Mirpzahlen.

Eine natürliche Zahl ist eine Mirpzahl, wenn sie eine Primzahl von rechts

nach links gelesen und von links nach rechts gelesen eine andere Primzahl ist.

2 Arm, reich oder perfekt?

Wenn wir die Summe aller Teiler einer Zahl n bilden, die kleiner als die Zahl n sind, erhalten wir die

Teilerfunktion T(n).

T (26) = 1 + 2 + 13 = 16

Die Werte der Teilerfunktion entscheiden darüber, ob eine Zahl arm, reich oder sogar perfekt

(vollkommen) ist.

Eine Zahl heißt arme Zahl, wenn T(n) < n

Arme Zahlen

T(10)=1+2+5 = 8 < 10

T(45)=1+3+5+9+15 = 33 < 45

Primzahlen sind immer arme Zahlen.

Jede Zweierpotenz ist eine arme Zahl.

Für sie ist die Summe der Teiler immer um 1 kleiner als die Zahl selbst.

T(64)=1+2+4+8+16+32 = 63 < 64

Eine Zahl heißt reiche Zahl, wenn T(n) > n.

Reiche Zahlen

T(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12

T(60) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 10 + 12 + 15 + 30 = 88 > 60

Eine Zahl heißt perfekte Zahl, wenn T(n) = n.

Perfekte Zahlen

T(6) = 1+2+3 = 6

T(496) = 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 Bemerkung:

Es ist nicht bekannt ob es endlich oder unendlich viele perfekte Zahlen gibt.

V = 2

· (2

1)

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ersten Arbeitsblatt.

Aufgabe 1

a) Es gibt 31 Zwillingspaare.

b) Die größte Lücke ist 20.


(von 887 bis 907)


c) Es gibt 28 dreistellige MIRP-Zahlen.

3 Lösungen (I)

Aufgabe 2 Tafel Aufgabe 3

arm: 10; 11; 13; 14; 15; 16; 17; 19; 21; 22
 23; 25; 26; 27; 29; 31; 32; 33; 34; 35;


37; 38; 39


perfekt: 28

reich: 12; 18; 20; 24; 30; 26; 40

3 Zauberei I

Nennen wir die unbekannten Zahlen: a,b,c,d Dann sind die genannten Summen:

a + b + c

a + b + d a +c + d b +c + d

Summe: 3a + 3b + 3c + 3d = 3(a+b+c+d)

Was macht also der Zauberer?

1. Er addiert die genannten Summen.


Ergebnis: 3(a+b+c+d)


2. Er dividiert das Ergebnis durch 3.


Ergebnis: a+b+c+d


3. Er subtrahiert die einzelnen Summen von

seinem Ergebnis und erhält der Reihe nach die gemerkten Zahlen.


Ergebnis: a+b+c+d - (b+c+d) = a usw.

4

16

37

58

89 145

42

20

4 Fröhliche und glückliche 
 Zahlen

Was heißt es für eine Zahl, fröhlich zu sein?

Eine Zahl heißt fröhlich, wenn die fortgesetzte Summe der Quadrate ihrer Ziffern nach

endlich vielen Schritten auf 1 führt.

Beispiel 1:

79 ! 7² + 9² = 130

! 1² + 3² + 0² = 10

! 1² + 0² = 1

Beispiel 2: Ausgangszahl 4

4 ! 16 ! 37 ! 58 ! 89 ! 145 ! 42 ! 20 ! 4

Beispiel 3: Ausgangszahl 5

5 ! 25 ! 29 ! 85 ! 89 ! 145 ! 42 ! 20 ! 4 Beispiel 4: Ausgangszahl 7

7 ! 49 ! 97 ! 130 ! 10 ! 1

Glückliche Zahlen

Wir verwenden ein Aussiebungsverfahren, um sie zu erhalten:

1. Schreibe alle natürlichen Zahlen von 1 bis n auf.

2. Streiche alle geraden Zahlen.

3. Die kleinste im vorherigen Schritt nicht

gestrichene Zahl ist 3. Streiche von den nicht gestrichenen Zahlen jede 3. Zahl.

4. Die kleinste im vorherigen Schritt nicht

gestrichene Zahl ist 7. Streiche nun jede 7. Zahl. 


usw.

Die Zahlen, die auf diese Weise nicht gestrichen werden, sind die glücklichen Zahlen.

1; 3; 7; 9; 13; 15; 21; 25; 31; 33; 37; …

Die ersten glücklichen Zahlen sind:

5 Eine interessante Zahlenfolge

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Die Fibonacchi-Folge entsteht, durch folgende Vorschrift:

a

:= 1 a

:= 1

a

:= a

+ a

Beispiele

Fn+1 Fn+1 / Fn Fn / Fn+1

1 1,0000 1,0000

3 3,0000 0,3333

5 1,6667 0,6000

8 1,6000 0,6250

13 1,6250 0,6154

21 1,6154 0,6190

34 1,6190 0,6176

55 1,6176 0,6182

89 1,6182 0,6180

144 1,6180 0,6181

233 1,6181 0,6180

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zweiten Arbeitsblatt.

Aufgabe 6 Fröhliche Zahlen…

35 ! 34 ! 25 ! 29 ! 85 ! 89

38 ! 73 ! 58

36 ! 45 ! 41 ! 17 ! 50 ! 25 ! 29 ! 85

39 ! 90 ! 81 ! 65 ! 61 ! 37 44 ! 32 ! 13 ! 10 ! 1

37 ! 58

z₁ = a

z₂ = b z₃ = a + b z₄ = a + 2b z₅ = 2a + 3b z₆ = 3a + 5b z₇ = 5a + 8b z₈ = 8a + 13b z₉ = 13a + 21b z₁₀ = 21a + 34b

X

i=1

z

= 55a + 88b

= 11(5a + 8b)

= 11 · z

6 Zaubertrick II

7 Brüche in Ägypten

Im alten Ägypten wurden Brüche als Summen von Brüchen mit dem Zähler 1 geschrieben.

5

6 = 3

6 + 2

6 = 1

2 + 1 3

Lässt sich jeder gemeine Bruch so zerlegen und wenn ja wie geht man vor?

1

7 + 1

4 + 1

2 = 4 + 7 + 14

28 = 25 28

So herum geht es leicht:

… und anders herum?

4

7 = 1

7 + 1

7 + 1

7 + 1 7

Das kann jeder. ;-)

Wir wollen aber weniger als vier Brüche und verschiedene Nenner.

Geht das auch?

4

7 = 1

2 +

✓ 4 7

1 2

◆

Nun berechnen wir die Klammer.

4

7 = 1

2 +

✓ 8 14

7 14

◆

= 1

2 + 1

14

Schreibe als Summe von Stammbrüchen:

Spalte immer zuerst den größten enthaltenen Stammbruch ab.

5 8

11 12

9

20

(: Vielen Dank :)