Phasen¨ubergang 2

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 14

Prof. Dr. J¨org Schmalian Blatt 10

Dr. Peter Orth and Dr. Una Karahasanovic Besprechung 27.06.2014

1. Phasen¨ubergang 2. Ordnung:

(a) Gegeben ist folgender Ausdruck f¨ur die ZustandssummeZ₁: Z1 =

S

X

m=−S

e^{(β zJ m)m} = sinh r^2S+1₂

sinh r¹₂ , r = zJ kTm

Wir m¨ussen also entwickeln:

sinh(x) =x+x³ 3! + x⁵

5! +O(x⁷)

⇒ ln(sinh(x)) = ln x

+ ln 1 + x² 3! +x⁴

5! +O(x⁶) ln(1 +z) = z− z²

2 +O(z³)

⇒

ln(sinh(x)) = ln(x) + x² 3! + x⁴

5! +O(x⁶)

− 1 2

x² 3! +x⁴

5! +O(x⁶)2

+ O(z³)

| {z }

=O(x⁶)

= ln(x) + x² 3! + x⁴

5! +O(x⁶)

− 1 2

x⁴ 3! 3!

+ O(x⁶)

= ln(x) + x²

3! + x⁴ 1

5!− 1 2 3! 3!

⇒ ln(sinh(x)) = ln(x) + x² 6 − x⁴

180 +O(x⁶) Damit ergibt sich

ln(Z₁) = ln sinh(r2S+ 1 2 )

− ln sinh(r1 2)

= ln(2S+ 1) +r² 6

2S+ 1 2

2

− 1

2 2

| {z }

=S(S+ 1)

− r⁴ 180

2S+ 1 2

4

− 1

2 4

Die zweite Klammer l¨aßt sich noch umschreiben:

2S+ 1 2

4

− 1

2 4

= 2S+ 1

2 2

− 1

2

2

2S+ 1 2

2

+ 1

2 2

= S(S+ 1) [S(S+ 1) + 1/2 ]

Die freie Energie sieht damit so aus, r= ^zJ_kTm wieder eingesetzt:

F(m) = N zJ1

2m²− kT

zJ ln(Z₁)

= N zJ1

2m²− kT

zJ ln(2S+ 1)−1 2m²zJ

kT

S(S+ 1)

3 +

+1

4m⁴(zJ)³ (kT)³

S(S+ 1)

45 [S(S+ 1) + 1/2 ] Der Term ∼m²:

1 2m²

1− zJ kT

S(S+ 1) 3

= 1

2m² T − ^zJ_k ^S(S+1)₃ T

!

= 1 2m²

T −T_N T

mit

kT_N =zJS(S+ 1) 3

F¨ur T 'T_N kann ¨uberall, wo T nur als Vorfaktor eingeht, T =T_N ersetzt werden, also ¨uberall, außer in (T −TN) . Damit wird auch

kT

zJ → kT_N

zJ = S(S+ 1) 3

⇒ F(m) =N zJ1 2

T −T_N T_N

m² + 1

4bm⁴ − S(S+ 1)

3 ln(2S+ 1) mit

b= (zJ)³ (kTN)³

S(S+ 1)

45 [S(S+ 1) + 1/2 ] ⇒ b = 1 5

S(S+ 1) + 1/2 S²(S+ 1)²

Die Entwicklung bis zur Ordnung∼m⁴ist n¨otig, damit das System auch f¨urT < T_N stabil bleibt, wenn der Vorfaktor vorm² negativ wird. Daf¨ur ist es auch notwendig, alle Terme ∼ m⁴ bzw. ∼ x⁴ in der Entwicklung von ln(sinh(x)) mitzunehmen, da sonst das Vorzeichen von b >0 nicht richtig rauskommt.

Abbildung 1: Zu Aufgabe 1 (b): Das freie Energie-Funktional F als Funktion von m. Die Kurve, die nur ein Minimum besitzt, korrespondiert zu T > T_c, die Kurve mit 2 Minima korrespondiert zu T < T_c.

(b) Minimum der freien Energie:

∂F(m)

∂m

T

= 0 =N zJT −T_N

T_N m + bm³ Es gibt also zwei L¨osungen: m= 0 und

bm² = T_N −T

T_N falls T < TN

F¨ur T < T_N ist offenbar F kleiner, wenn m endlich ist, also:

⇒ m(T) =

( T > TN : 0 T < T_N : ±

T_N−T b TN

1/2

Der Ordnungsparameter zeigt am Phasen¨ubergang das f¨ur Molekularfeldtheorien typische √

-Verhalten, m(T) ∝ √

T_N −T . Aufgrund der in a) gemachten Ent- wicklung gilt dieses Ergebnis nur f¨urT 'T_N.

2. Phasen¨ubergang 1. Ordnung:

(a) Gleichgewichtswert vonγ (Gleichgewicht eigentlich nur, wenn auchηbestimmt und eingesetzt wird ...):

∂F

∂γ = 0 =dη+gγ , γ =−d

gη , F(η) =a(T −T0)η−[ d² 2g −b]

| {z }

=: ˜b

η²+cη³

Qualitativer Verlauf vonF(η) :

T= gross

T= klein T~Tc

−30

−20

−10 0 10 20 30 40 50

0 1 2 3 4 5

(Beachte: nach Definition istη=|P|² ≥0 .)

Man sieht: f¨ur große Temperatur gibt es ein Minimum beiη = 0 , f¨ur kleineT eines bei einem endlichen η₀ > 0 , und bei einer bestimmten Temperatur T_c dazwischen entarten gerade die Minima, F(η₀) = F(0) . Von T > T_c kommend wird also der Ordnungsparameterηvonη= 0 zuη=η0 springen⇔Phasen¨ubergang 1. Ordnung beiT_c.

(b) F¨ur T_c brauchen wir den Wert η₀ des Ordnungsparameters, also die Position des Minimums beiη >0 :

∂F

∂η = 0 =a(T −T₀)−2˜bη+ 3cη² ⇒ η±=

˜b 3c

"

1± r

1− 3ac

˜b² (T −T₀)

#

Zweite Ableitung:

∂²F

∂²η η±

= (−2˜b+ 6cη±) =±2˜b√ . . .

D.h.,η₀ =η₊ ist das Minimum, und η₀ =η₊ ist der Gleichgewichtswert, denηf¨ur T < T_c annimmt.

T_c folgt nun aus der Bedingung, daß die beiden Minima bei η = 0 und η = η₊ entarten, d.h.,

0 =F(0) =F(η₊) =h

a(T −T₀)−˜bη₊+cη₊² i η₊

Jetzt muß manη₊ einsetzen, oder z.B. (T −T₀) durch η₊ ausdr¨ucken → F(η₊) =h

(2˜bη₊−3cη₊²)−˜bη₊+cη₊² i

η₊= [ ˜b−2cη₊]η₊² = 0 → ˜b = 2c η₊(T_c) Einsetzen vonη₊:

⇒ ˜b = 2c˜b 3c

1 +√ . . . 1

2 = √

. . . 1

4 = 1−3ac

˜b² (T_c−T₀)

⇒ (T_c−T₀) =

˜b² 4ac

⇒ T_c=T₀+

˜b² 4ac Verlauf von η(T) :

T =T_c−δ : η(T) =η₊(T_c) T =T_c+δ : η(T) = 0

→

η(T)|_T'T

c =η₊(T_c) Θ(T_c−T) =

˜b

2cΘ(T_c−T) Verlauf von γ(T) :

γ =−d

gη → γ(T)|_T'T

c =− d˜b

2cgΘ(T_c−T) (c) Latente W¨arme:

Q_l =T ∆S , ∆S =S(T =T_c+δ)−S(T =T_c−δ)≡S_>−S_<

Entropie: Die T-Abh¨angigkeit von η muß mitgenommen werden, denn aus dem freie Energiefunktional F(T, η) wird die physikalische freie Energie F(T, η(T)) im Gleichgewicht erst durch Einsetzen des Gleichgewichtswertes η(T) .

S =−∂F

∂T =− ∂F

∂η

T

∂η

∂T − ∂F

∂T

η

T =T_c+δ : η(T) = 0 f¨ur alle T > T_c → F(T)≡0 → S_> = 0 T =T_c−δ : η(T) =η₊(T) ,

∂F

∂η

T

= ∂F

∂η η+

= 0 ,

∂F

∂T

η

= ∂F

∂T η+

=aη₊ Damit folgt

T =T_c−δ : S_<=−aη₊(T_c) , η₊(T_c) =

˜b

2c von oben ⇒ Q_l =T_ca˜b 2c 3. Molekularfeld-N¨aherung f¨ur das Ising-Modell:

In der Molekularfeld-N¨aherung sieht jeder Spin ein Molekularfeld:

B_eff =B+zJ µ hSi.

Der Mittelwert von S_j kann nun leicht wie beim Paramagnetismus bestimmt werden:

hSi= tanh [β(µB+J₀hSi)], J₀ =zJ, (1) wo z die Zahl der n¨achsten Nachbarn ist.

Die Gibbs’sche freie Energie wird nun (in Molekularfeld-N¨aherung) F(T, B) = −k_BT lnZ =N k_BT {−ln 2−ln cosh[β(B+J₀hSi)]}+1

2N²J₀hSi².

Von (1):

cosh[β(B+J₀hSi)] = 1 p1− hSi². Damit gilt

F(T, B) =N k_BT

−ln 2 +1

2ln 1− hSi²

+1

2N k_BT_chSi², k_BT_c=J₀. Die W¨armekapazit¨at bei festem Feld ist

C_B =−T

∂²F(T, B)

∂T²

B

.

F¨ur T > T_c

T > T_c ⇒ hSi= 0 ⇒ C_B = 0.

F¨ur T < T_c one gets that C_B = N k_BT

1− hSi²

"

∂

∂ThSi²+ 1 2

T 1− hSi²

∂

∂ThSi² 2

+1 2T ∂²

∂T²hSi²

#

− 1

2N k_BT_c² ∂²

∂T²hSi². (2)

Die Ableitung∂hσi/∂T bekommen wir von der Selbstkonsistenzgleichung:

hSi= tanh(βµB) + tanh(βJ0hSi)

1 + tanh(βµB) tanh(βJ₀hSi) ⇒ tanh(βµB) = hSi −tanh(βJ0hSi) 1− hSitanh(βJ₀hSi). Verwenden wir jetzt die Relation:

x= 1

2ln1 + tanhx 1−tanhx. Dann

βµB = 1

2ln1 + tanh(βµB) 1−tanh(βµB) = 1

2ln1 +hSi 1− hSi +1

2ln1−tanh(βJ₀hSi) 1 + tanh(βJ0hSi)

= 1

2ln1 +hSi 1− hSi − T_c

T hSi.

In der N¨ahe des Phasen¨ubergangs entwickeln wir die Relation zwischen B und hSif¨ur kleine hSi:

βµB ≈ hSi

1−Tc

T

+1

3hSi³+. . . . We setβµB = 0 and deduce the value of hSifrom this condition:

hSi² =−3, = T −T_c

T ≈ T −T_c T_c .

We see thathSiscales like. Therefore _1−hSi¹ 2 ≈1+O(²). This leads to the cancellation of third and fourth term in (2).

Dann:

∂

∂ThSi² =− 3 Tc

,

Letztendlich (hier T ≈T_c+O()) CB =

0, T > Tc,

3

2N k_B+O(), T < T_c .

Die W¨armekapazit¨at hat einen Sprung bei Tc. Wir haben hier kein Potenzgesetz und zwar die kritische Exponente:

α=α⁰ = 0.

4. Magnetischer Phasen¨ubergang

Benutzen wir die Relation zwischen der W¨armekapazit¨at und der Entropie:

C =TdS dT.

Die ¨Anderung der Entropie als man die Temperatur von T = 0 bisT > T₀ erh¨oht:

∆S =

T

Z

0

dTC

T =C_max(1−ln 2).

Benutzen wir jetzt die Boltzmannsche Formel S =k_BlnW,

wo W das statistische Gewicht (oder die Zahl der Zust¨ande) ist, und bestimmen ∆S.

Bei T = 0 ist das System ferromagnetisch und die Symmetrie ist zerbrochen. Es gibt nur einen einzigen Zustand und

T = 0 ⇒ W = 1 ⇒ S(T = 0) = 0.

Bei T > T₀ haben wir C = 0. Das heißt, unser System nimmt keine W¨arme auf, deswegen die Entropie maximal ist:

T < T₀ ⇒ W = 2^N ⇒ S(T > T₀) = N k_Bln 2.

Jetzt bestimmen wir

∆S =N k_Bln 2, und letztendlich

C_max = N k_Bln 2 1−ln 2