4 ei* kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr *
H¨ ohere Mathematik 3 1. N¨ utzliches Wissen e
jx= cos(x) + j · sin(x)
1.0.1 sinh, cosh cosh2(x)−sinh2(x) = 1 sinhx=12(ex−e−x) arsinhx:= ln
x+p x2+ 1 coshx=12(ex+e−x) arcoshx:= ln
x+p x2−1
Additionstheoreme Stammfunktionen
coshx + sinhx =ex ´
sinhx dx= coshx+C sinh(arcosh(x)) =p
x2−1 ´
coshx dx= sinhx+C cosh(arsinh(x)) =p
x2+ 1 1.0.2 sin, cos sin2(x)+cos2(x) = 1
x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 32π 2π
sin 0 12 √1 2
√3
2 1 0 −1 0
cos 1
√3 2
√1 2
1
2 0 −1 0 1
tan 0
√3
3 1 √
3 ∞ 0 −∞ 0
Additionstheoreme Stammfunktionen cos(x−π2) = sinx ´
xcos(x) dx= cos(x) +xsin(x) sin(x+π2) = cosx ´
xsin(x) dx= sin(x)−xcos(x) sin 2x= 2 sinxcosx ´
sin2(x) dx=12 x−sin(x) cos(x) cos 2x= 2 cos2x−1 ´
cos2(x) dx=12 x+ sin(x) cos(x) sin(x) = tan(x) cos(x) ´
cos(x) sin(x) =−1 2cos2(x) sinx= 2j1(ejx−e−jx)
cosx=12(ejx+e−jx) log log(1) = 0
ax=exlna logax=lnxlna lnx≤x−1
1.1. Wichtige Integrale:
•Partielle Integration:´
uv0=uv−´ u0v
•Substitution:´ f(g(x)
| {z } t
)g0(x) dx
| {z } dt
=´ f(t) dt
F(x) f(x) f0(x)
1
q+ 1xq+1 xq qxq−1
2
√ x3 3
√x 1
2√ x
xln(x)−x ln(x) 1x
ax
ln(a) ax axln(a)
−cos(x) sin(x) cos(x)
−ln|cos(x)| tan(x) 1
cos2(x)
ln|sin(x)| cot(x) −1
sin2(x) xarcsin(x) +p
1−x2 arcsin(x) 1 p1−x2 xarccos(x)−p
1−x2 arccos(x) − 1 p1−x2 xarctan(x)−1
2ln 1 +x2
arctan(x) 1
1 +x2 e(x)(x−1) x·e(x) ex(x+ 1) 1
2
px2+ 1x+ sinh−1(x) p
1 +x2 x
px2+ 1
´eatsin(bt) dt=eat asin(bt)+bcos(bt) a2 +b2
´tsin(bt) dt= 1
b2(sin(bt)−btcos(bt) ´
teatdt=at−1 a2 eat
1.2. Determinante von
A∈Kn×n:
det(A) =|A|det A 0
C D
!
= det A B
0 D
!
= det(A)·det(D) HatA
e
2 linear abh¨ang. Zeilen/Spalten⇒ |A|= 0 Entwicklung. n.iter Zeile:|A|=
n P i=1
(−1)i+j·aij· |Aij|
1.2.1 Eigenwerteλund Eigenvektorenv A
e
v=λv detA e
=Q
λi SpA e
=P λi
Eigenwerte:det(A e
−λ1 e
) = 0, Det-Entwickl., Polynom-Div.
Eigenvektoren:EigA(λi) = ker(A e
−λi1 e
) =vi
→dim(EigA(λi)) = geo(λi) ∀i: 1≤geo(λi)≤alg(λi) HauptvektorenEin Vektorvheist Hauptvektork-ter Stufe genau dann wenn:(A
e
−λE e
)kv=0und(A e
−λE e
)k−1v6= 0
1.3. Reihen
∞ P n=1
1 n→ ∞ Harmonische Reihe
∞ P n=0
qn|q|<1= 1−q1 Geometrische Reihe
∞ P n=0
zn n! =ez Exponentialreihe
2. Integralgarten
2.0.1 Volumen und Oberfl¨ache von Rotationsk¨orpern umx-Achse V=π´b
af(x)2dx O= 2π´b af(x)p
1 +f0(x)2dx
2.1. Skalares Kurvenintegral
ˆ γ
fds:=
ˆb
a f γ(t)
· k.
γ(t)kdt SFf(x);x,γ∈Rn L(γ) =´
γ1 ds
GesamtmasseM=´ γ
fds=
´b a
%γ(t)
· k. γ(t)kdt SchwerpunktS: Si= M(γ)1 ·´
γ xi%ds
2.2. vektorielles Kurvenintegral
ˆv·ds:=
ˆb
a
v γ(t)>·.
γ(t) dt VFv(x);x,v,γ∈Rn
2.3. Gebietsintegral ¨ uber Normalbereich
V NormalbereichV: F¨ur(x, y, z)∈R3gilt:a≤x≤b, u(x)≤y≤o(x), u0(x, y)≤z < o0(x, y)
˚ V
fdV= ˆb
a o(x)ˆ
u(x) o0(x,y)ˆ
u0(x,y)
f(x, y, z) dzdydx
2.4. Skalares Oberfl¨ achenintegral
Fl¨acheφ:B⊆R2→R3,(u, w)7→φ(u, w)und SFf
¨ φ
fdO:=
¨ B
f φ(u, w)
· kφu×φ wkdudw
2.5. Vektorielles Oberfl¨ achenintegral (Bach)
VFv:D⊆R3→R3,x7→v(x, y, z)und Fl¨acheφ(u, w)¨ φ
v· dO:=
¨ B
v
φ(u, w)>
· φu×φ
w
dudw
3. Integrals¨ atze
IstB⊆R2Gebiet mit geschlossenem Rand∂B=P γimitγ
i∈ C1 und pos. param. (gegen Uhrzeigersinn), dann gilt∀C1VFv:
3.1. Divergenzsatz von Grauß f¨ ur einfache
∂V =Pφi˚ V
divvdxdydz=
‹
∂V
v·dO=X¨ φi
v·dO
φimuss pos. param. sein! (n=φiu×φiynach außen)
F¨ur Fl¨acheA:
¨ A
divvdA=
˛
∂A v
γ(t)>
nds ds=k.
γ(t)kdt n=k.
γk−1(γ2,−γ1)>
3.2. Satz von Stokes f¨ ur doppelpunktfreien
∂φ=Pγi¨ φ
rotvdO=
˛
∂φ vds
Rechte Hand Regel:
Fl¨achennormale = Daumen Umlaufrichtung = Finger 3.2.1 Satz von Green
¨ B
∂v2
∂x −∂v1
∂y dxdy=
˛
∂B v· ds=
k X i=1 ˆ
γi v·ds
Fl¨ache vonB:F(B) =12¸
∂B 0 γ1
! k.
γ(t)kdt ∂B=Pγ i Sindf, gzwei SF, so:˝
Bf∆g+∇f∇gdV=˜
∂Bf∇gdO f¨urf= 1:˝
B∆gdV=˜
∂B∇gdO
3.3. Parametrisierungen
Kreis mit Radiusr:φ=x2+y2≤r2 ∂φ= rcos(t) rsin(t)
!
n= rcos(t) rsin(t)
!
Ellipse mit den Halbachsenaundb:
φ=x2 a2+y2
b2 ≤1 ∂φ= acos(t) bsin(t)
!
n= acos(t) bsin(t)
!
Umrechnung Karth. in Polar falls orthogonal:
´ x
´ y
f(x, y) dydx→´ φ
´ r
f(rcos(φ), rsin(φ))rdrdφ Sonst:´
x
´ y
f(x) dxdy→´ ϕ
´ r
f(x(r, ϕ)) detJ e
x(r, ϕ) drdϕ Gradientenfeldφ: Fallsrotv= 0⇒gradφ=v
mitφ=P
∂xiv ´b av(γ(t)).
γdt=F(b)−F(a) gradf=∇f divf=∇>·f rotf=∇ ×f
4. Fourierreihe
ist die Entwicklung einer Funktionf∈C(T)in eine Reihe aussinund cos.
C(T) :T-periodisch, stetig fortsetzbar
fistT-periodisch, fallsf(x+T) =f(x)→auchn·Tperiodisch.
4.1. Entwicklung in Fourierreihen
f(x)∼F(x)•Bestimme die Fourierkoeffizienten zuf∈C(T):
ak, bk∈R: nak bk = 2
T T2 ˆ
−T 2
f(x)ncos sin
k2π Tx
dx
ck∈C: ck= 1 T
T ˆ2
−T 2
f(x) exp
−jk2π Tx
dx
•Aufstellen der FourierreiheFzuf:
F(x) =a0 2 +
∞ X k=1
akcos
k2π Tx
+bksin
k2π
Tx
F(x) =
∞ X k=−∞
ckexp
jk2π Tx
Konvergenz:F(x)∼f(x) ⇒ finxstetig⇒F(x) =f(x) fnicht inxstetig⇒x=aiundF(x) =f(a
+ i)+f(a−
i) 2
Rechenregeln:
•f∈C(T)gerade (achsensym.) Funktion:ck=c−k bk= 0undak=T4´T /2
0 f(x) cos k2πTx
dx
•f∈C(T)ungerade (punktsym.) Funktion:ck=−c−k ak= 0undbk=T4´T /2
0 f(x) sin k2πT x
dx Umrechnungsformeln:
•a0= 2c0 ak=ck+c−k bk= j(ck−c−k)
•c0=a20 ck=12(ak−jbk) c−k= 12(ak+ jbk)
4.2. Umrechnung von
Tin
Speriodische Funktionen
f ist T periodisch, g(x) = fT Sx
, S periodisch, denn g(x+S) =f
T S(x+S)
=f T Sx+T
=f T Sx
=g(x)
5. Fouriertransformation f(t) → F(ω)
f→Fmit Zeitfunktionf:R→Cund Frequenzfkt./SpektralfktF Es muss gelten: lim
t→±∞f(t) = 0 ffourtransbar, falls
F(ω) :=
ˆ∞
−∞
f(t) exp(−jωt) dt
Wichtige Fouriertransformationen:
f(t) F(ω) f(t) F(ω)
1
b r
2πδ(ω) |tn|b r
2n!(jω)n+1 tn
b r
2πjnδ(n)(ω) (n−1)!tn−1 e−atu(t)b r
(a+jω)1 nu(t)
b r
jω1 +πδ(ω) δ(t−t0)b r
e−jωt05.1. Die Dirac’sche Deltafkt.
δ(t) δε(t−t0) =1ε, f¨urt0≤t≤t0+ε, sonst0 F¨ur stetigesggilt:´∞−∞g(t)δ(t−t0) dt=g(t0)
∆t0(ω) =´∞
−∞δ(t−t0) exp(−jωt) dt= exp(−jωt0) δ(t−t0)
b r
∆t0(ω)undδ(t)b r
15.2. Heaviside-Funktion
u(t) u :R→C,u(t) =( 1 , t >0
0 , t <0 ≈ lim a→0exp(−at)
5.3. Die Inverse Fouriertransformation
f(t) =2π1∞´
−∞
F(ω) exp(jωt) dω
(f(t) , f stetig int f(t−)+f(t+ )
2 ,fallsfunstetig int
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5.4. Die diskrete Fouriertransformation
Fallsfnur anNdiskreten ¨aquidistanten Stellen bekannt:Sample: xl, f(xl)
mitxl=l2πN undl= 0, ..., N−1
ck≈ˆck= 1 N
N−1 X l=0
f(xl)ζkl mitζ:= exp(−2πjN)
•Bestimme dieN-te FouriermatrixF e
N= (ζkl)k,l=0...N−1 Es giltFN>=FN, daζkl=ζlk
•Bestimmeˆc=N1F e
N·vmitv= f(x0), ..., f(xN−1)
5.5. Die inverse diskrete Fouriertransformation
Fallsζm+n= 1⇔m+n=kN ⇒ Fe N·F
e N=N·1
e N v=FN·ˆc ˆc=N1F
e N·v
Trigonometrische Polynom:P(xl) = N−1
P k=0
ˆ
ckejkxl=vl
5.6. trigonometrische Interpolation
Finde ein trigonometrisches PolynomP(x), dass durch die Samples geht.
Fall 1:N= 2n+ 1 ⇒ P(x) = n P k=−n
ˆ ckexp(jkx)
ck ak bk
1 N
N−1 P l=0
vlζkl N2 N−1
P l=0
vlcos2πklN N2 N−1
P l=0
vlsin2πklN
Fall 2:N= 2n P(x) = n−1
P k=−n
ˆ ckexp(jkx) Falls St¨utzwerte reel:c−k=ckund somit:
a0= 2c0 ak= ˆck+ ˆcN−k= 2<(ˆck) bk= j(ˆck−cˆN−k) Berechne nur f¨urk≤N2
5.7. Regeln
Linearit¨at:αf(t) +βg(t)
b r
αF(ω) +βG(ω)f(t)
b r
F(−ω) f(ct)b r
|c|1F ωc f(t−a)b r
exp(−jωa)F(ω) exp(j ˜ωt)f(t)b r
F(ω−ω)˜ f0(t)b r
jωF(ω) tf(t)b r
jF0(ω) Faltung:(f∗g)(t)b r
F(ω)·G(ω)6. Laplacetransformation L f(t) = F (s)
f(t)
b r
F(s) :=∞´ 0
f(t) exp(−st) dt
1
b r
1s δ(t−t0)
b r
e−st0 tnb r
n!sn+1 eat
s>a
b r
1s−a sin(t)
b r
1s2+ 1 cos(t)
b r
ss2+ 1 sin(ωt)
b r
ωs2+ω2 cos(ωt)
b r
ss2+ω2 e−atsin(ωt)
b r
ω(s+a)2+ω2 e−atcos(ωt)
b r
s+a(s+a)2+ω2 Linearit¨at:αf(t) +βg(t)
b r
αF(s) +βG(s)¨Ahnlichkeit:f(ct)
b r
1cF scAbleitung Originalfkt: f0(t)
b r
sF(s) − f(0) f00(t)b r
s2F(s)−sf(0)−f0(0)f(n)
b r
snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f0(0). . .−f(n−1)(0) Integral Originalfkt:´t0f(x) dx
b r
1sF(s) Ableitung Bildfkt:(−t)nf(t)b r
F(n)(s) Verschiebung:f(t−a)u(t−a)b r
e−asF(s) D¨ampfung:e−atf(t)b r
F(s+a)Faltung:(f∗g)(t) :=´t
0f(t−τ)g(τ) dτ
b r
F(s)·G(s) Inverse:f(t) =2πj1−γ+j∞´ γ−j∞
F(s) exp(st) ds
Es gibt eine eineindeutige Korespondens zwischen den Originalfkt und Bildfkt. Meist Nennergrad >Z¨ahlergrad: Bruch geschickt umformen!
Laplacetransformierte als Summe nie auf gemeinsamen Nenner bringen!!
7. Differentialgleichungen DGL
Anfangswertproblem AWP = DGL + Anfangsbedingung:
af00(t) +bf0(t) +cf(t) =s(t) f(0) =d, f0(0) =e
→falls DGL h¨oherer Ordnung→Vogel-Strauß-Algorithmus
7.1. DGL LaPlace-Transformierbar
Falls giltf(t)
b r
F(s)unds(t)b r
S(s):Laplacetrafo:a s2F(s)−sf(0)−f0(0)
+b sF(s)−f(0) + cF(s) =S(s)
F(s) =a(sd+e)+bdas2 +bs+c +S(s)as2 +bs+c1 R¨ucktransformation vonF(s)liefert die L¨osungf(t)
7.2. DGL-Systeme + Anfangsbedingung
f.=Ae f+s(t)
1. Ordnung + 2 Gleichungen undx(0) =x0;y(0) =y0 x(t) =. ax(t) +by(t) +s1(t)
y(t) =. cx(t) +dy(t) +s2(t) Falls alle Funktionen LaPlace transformierbar
"
s−a −b
−c s−d
#
· X(s) Y(s)
!
= S1(s) S2(s)
! + x(0)
y(0)
!
7.3. Integralgleichungen vom Volterra-Typ
a·f(t) +´t0k(t−x)f(x) dx=s(t)
Falls alle Fkt. Ltrafobar:aF(s) +K(s)·F(s) =S(s)
7.4. seperierbare DGL
Form:y0=f(x)·g(y); L¨osung:´ 1 g(y)dy=´
f(x) dx
7.5. lineare DGL mit konstanten Koeffizienten
7.5.1 homogene DGL mit konstanten Koeffizienten any(n)+an−1yn−1+. . .+a0y= 0•Stelle die charakteristische Gleichungp(λ) =Pn
k=0akλk= 0auf
•Bestimme alle L¨osungen vonp(λ)
•Gibnlinear unabh¨angige L¨osungen der DGL an:
–Istλeinem-fache reelle NST, dann w¨ahley1=eλx˜ , yi=xieλx
–Istλeinem-fache konjugiert komplexe NSTλ=a+ jb, dann strei- cheλiund w¨ahley1 =eaxcos(bx), y2 =eaxsin(bx)bzw.
yi=xieaxsin(bx)undyi+1=xieaxcos(bx)
•y(x) =c1y1(x) +. . .+cnyn(x)mitc1, . . . cn∈Rist L¨osung der DGL
7.5.2 inhomogene DGL mit konstanten Koeffizienten any(n)+an−1yn−1+. . .+a0y=s(t)
•L¨ose homogene DGL(s= 0), liefertyh
•Partikul¨are L¨osungypdurchVariation der Konstanten –Stelle einyp(x)mit variablen Konstantenc(x)auf –L¨ose das System:
c01y1+c02y2= 0 c01y01+c02y20= 1
ans(x)
Beachte dabei auch die Ableitung nach der Produktregel –Erhaltec(x)durch unbestimmte Integration ausc0(x) –yp=c1(x)y1+c2(x)y2ist die partikul¨are L¨osung
•Partikul¨are Lsg.ypdurch Ansatz vom komischen Typ auf der rechten Seite
– Idee:yphat die Form vons(x)
Fallss(x) = (b0+b1x+. . .+bmxm)eaxncos(bx) sin(bx), dann yp=xr·
(A0+A1x+. . .+Amxm) cos(bx) + (B0+ B1x+. . .+Bmxm) sin(bx)
eax
mita+bjistr-fache Nullstelle(Resonanz) vom char. Poly. vonyh Tipp: Bei Summen im St¨orglied entkoppelt, d.h.ypgetrennt be- rechnen und addieren.
•Die L¨osung der DGL isty=yp+yh
7.6. Die exakte DGL
DGL der Form: f(x, y) +g(x, y)·y0= 0 bzw.f(x, y) dx+g(x, y) dy= 0 Bedingung f¨ur Exaktheit:∂yf=∂xg Gradientenfeldv(x, y) = f(x, y)
g(x, y)
!
hat Stammfkt.F(x, y(x)) =C
•Bestimme die StammfunktionF(x, y)vonvdurch sukzessive In- tegration:
–(∗)F(x, y) =´
f dx+G(y)
–BestimmeG0(y)ausFy= ∂y∂F(x, y) =g –BestimmeG(y)ausG0(y)durch Integration –ErhalteF(x, y)aus Schritt(∗)
•L¨oseF(x, y) =cnachy=y(x)auf, falls m¨oglich
•Die voncabh¨angige Lsg. ist die allg. Lsg. der DGL
7.7. Integrierende Faktoren – der Eulen-Multiplikator
Multipliziere nicht exakte DGL mit integrierenden Faktorµ(x, y)und erhalte eine exakte DGL mit gleichen L¨osungen.∂y(µf) =∂x(µg) ⇒ µyf+µfy=yxg+µgx Ist∂y f−∂xgg =u(x)so istµ= exp(´
u(x) dx) Ist∂xg−∂y ff =u(y)so istµ= exp(´
u(y) dy)
7.8. Die euler-homogene DGL
Formy0=φyx
⇒Substitution:z= yx
y0=z+xz0=φ(z) L¨osez0= (φ(z)−z)·x1 ⇒ y=xz
7.9. eulersche DGL
DGL in der Form Pni=0
aixi·y(i)(x) =s(x) L¨osungsmenge La
alg. L¨os.
= yp part. L¨os.
+ Ln hom. L¨os.
durch V.d.K.
L¨ose char. Pol.:anα(α−1)...(α−(n−1)) +...+a1α1+a0= 0 W¨ahle Basisvektoren des L¨osungsraumes:
•m-fache Nullstelle∈R: xα, . . . , xα(lnx)m−1
•m-fache Nullstelle∈C(streicheαi):
xasin(blnx), . . . , xasin(blnx)(lnx)m−1 xacos(blnx), . . . , xasin(blnx)(lnx)m−1
L¨osung: (z.B. f¨ur 2 Nullstellen∈R):y(x) =C1xα+C2xαln(x)
7.10. Potenzreihenansatz
Geg. DGLy(n)+an−1(x)y(n−1)+...+a1(x)y0+a0(x)y=s(x) Fallsai(x)≈ ∞P
k=0
c(kai)·(x−a)kunds(x) =
∞ P k=0
c(s)k ·(x−a)k
Dann∃y(x) =
∞ P 0
ck·(x−a)keine Lsg der DGL.
Dieckbestimmt man durch einsetzen vony(x)+ Koeff. Vergleich.
7.11. Homogene lineare DGL Systeme
→Jede DGL l¨asst sich als DGL System darstellen
Transformiere eine DGL 2. Ordnung in ein DGL System 1. Ordnung:
•Substituiere. x=y
•Schreibe DGL-System:
x. y.
!
=
"
0 1
a1 a2
# x y
!
(Bestimmea1unda2aus DGL)
L¨ose das DGL-System (Das System ist ohnehin an allem Schuld ;) ) 1. Bestimme EWλiund Basis aus EVbivonA
e 2. SetzeS
e
= (b1, ...,bn)und bestimmeS e
−1undD f
=S e
−1A e S e 3. BerechneeA
e
= exp(S e D f S e
−1) =S e
eD e S e
−1
y0=A e
y ⇒ y=c·e(x−x0 )A e
= n P i=0
ci·eλix·bi
Bei komplexen EW: Trennung in Real und Imagin¨arteil
7.12. L¨ osung f¨ ur
y0=Ayfalls
Anicht diagbar
→Es existiert eine Jordan-NormalformJ e
mitS e
−1A e S e eJ
e
=eD e
+N e
=eDeN=eD·(E e
k+N f
+12N f
2+...+k!1N f k)
exN e =
1 x 12x2 ... (k−1)!1 xk−1
1 x
0 1
S e
ist die Transformationsmatr. auf Jordan-Normalform:
S e
= (b1, ...,bn)mitb1. . .bnsind EV bzw. HV vonA e Allgemeine L¨osung:
y(x) =exA e
·c=S e
exJ e S
e
−1=S e
ex(D e
+N e )c
Die L¨osungsformel f¨ur (1×1),(2×2)und (3×3)K¨astchen ya(x) =c1eλ1xv1
+c2eλ2xv2+c3eλ2x(xv2+v3)
+c4eλ3xv4+c5eλ3x(xv4+v5) +c6eλ3x(12x2v4+xv5+v6)
→v1, v2, v4EV,v3, v5HV 2. Stufe undv6HV 3. Stufe
7.13. L¨ osen von allgemeinen DGL-Systemen
DGL-System:.y(t) =A e
(t)·y(t) +b(t) 1. Findenlin. unabh¨ang. L¨osungsvektoreny
1, ...,y nmit der Wronski DeterminanteW(t) = det(y
1, ...,y n)6= 0! 2. Bestimmeyp=Y
e
(t)c(t)durch Variation der Konstanten c(t) =´
Y e
−1(t)b(t) dtbzw.Y e
·c0(t) =b 3. Bestimmey=yp+P
ciyimitci∈R Gleichgewichtspunkt:Ayg+b= 0→(A|b)→(E|yg) Stabilit¨at:
•Re(λi)<0→asymptotisch stabil
•Re(λi)>0→instabil
•Re(λi)≤0→stabil
Auch wichtig: Schr¨odingers Katze
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