Seminarvortrag zur Einführung in grundlegende Begriffe und Zusammenhänge in der Lagrange- und Hamilton-Theorie

(1)

und Zusammenh¨ ange in der Lagrange- und Hamilton-Theorie

Johanna Borissova

Seminar Integrable Systeme und das KAM Theorem bei J.Prof. Gabriele Benedetti

WS 2018/19 Universit¨at Heidelberg

07.01.19

Johanna Borissova (Universit¨at Heidelberg) Sem. Integrable Systeme & KAM-Theorem 07.01.19 1 / 35

(2)

1 Vektorfelder - Fl¨usse - Lie-Klammer

2 Wirkungsvariation - Euler-Lagrange-Gleichungen

3 Legendre-Transformation - Hamiltonsche Gleichungen - Riemannsche Geod¨aten

4 Hamiltonsche Vektorfelder - Erste Integrale - Poissonklammer

(3)

Definition (Vektorfeld)

Sei M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit (z.B.M ⊂Rⁿ offen, oder M =Tⁿ=S¹×...×S¹ ⊂Rⁿ⁺¹ der n-Torus). Ein

C^k-Vektorfeld aufM ist eine C^k-Abbildung

X:M →TM, p7→(p,v_p) mit π◦X =id_M.

Dabei ist π:TM →M, (p,v_p)7→p diekanonische Projektion von TM auf M, d.h. ∀p ∈M:π(X(p)) =π(p,v_p) =p.

(4)

Recall (Tangentialb¨undel) Tangentialb¨undelan M:

TM := [

p∈M

T_pM = [

p∈M

{p} ×T_pM

Ist (U,x¹, . . . ,xⁿ) ein lokales Koordinatensystem um p∈M, und

∂

∂xⁱ: F(M) :=C^∞(M,R)→R, f 7→ ∂f

∂xⁱ(p) := ∂(f ◦x⁻¹)

∂xⁱ (x(p)), dann bilden die Tangentialvektoren (_∂x^∂1, . . . ,_∂x^∂n) eineBasisvon TpM.

(5)

Ein C^k-Vektorfeld X l¨asst sich dann bzgl. (U,x¹, . . . ,xⁿ) darstellen als linearer Differentialoperator erster Ordnung auf Funktionen

f ∈ F(M) :=C^∞(M,R):

Xf =

n

X

i=1

Xⁱ ∂

∂xⁱ

! f =:

Xⁱ ∂

∂xⁱ

f ∈ F(M).

X¹, . . . ,Xⁿ

:U →Rⁿ C^k-Funktionen, derHauptteil vonX bzgl. der Karte (U,x).

X(M) :={X:M →TM Vektorfeld} Vektorraum.

(6)

Definition (Integralkurve - Vektorfelder als ODEs)

Eine Integralkurve desC^k-VektorfeldesX ∈ X(M) durch den Punkt p₀ zur Zeit t= 0 ist eine C^k-Kurveγ:I →M mit 0∈I ⊂Roffen, so, dass der Tangentenvektor ^dγ_dt(t) := _dt^d(x◦γ(t))∈T_γ(t)M bzgl. der gew¨ahlten Karte (U,x) = (U,x¹, . . . ,xⁿ) aufM f¨ur alle t ∈I dem VektorX(γ(t)) entspricht:

(_dγi

dt(t) =Xⁱ(γ(t)) i = 1, . . . ,n γⁱ(0) =pⁱ₀

System von n gew¨ohnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung mit Anfangsbedingung.

(7)

Es ¨ubertragen sich die bekannten Existenz- und Eindeutigkeitss¨atze:

Eindeutigkeitssatz

Seien γ:I →M, γ⁰:I⁰ →M Integralkurven vonX ∈ X(M), weiter

∃ t₀∈I∩I⁰:γ(t₀) =γ⁰(t₀),dann:

γ(t) =γ⁰(t) ∀t∈I∩I⁰

(8)

Existenzsatz

Sei X ∈ X(M) ein C^k-Vektorfeld, dann:

∀p ∈M: ∃ >0 und eine C^k-Abbildung

σ: (−, )×M →M, (t,p)7→σ(t,p), sodass die Abbildung (−, )→M, t7→σ(t,p)

eine Integralkurve vonX durch p zur Zeitt = 0 ist:

(_d

dtσ(t,p) =X(σ(t,p)) σ(t = 0,p) =p

(9)

Definition (Fluss eines Vektorfeldes)

F¨urt ∈(−, ) und X ∈ X(M) C^k-Vektorfeld heißt σt:M →M, p 7→σt(p) :=σ(t,p),

(d

dtσt =X ◦σt

σ₀ =id_M der (lokale) Fluss vonX.

F¨urt,s ∈Rhinreichend klein:

σs+t =σs◦σt

Insbesondere:

σ_t◦σ−t=id_M,

Daher istσ_t einC^k-Diffeomorphismusmit Inverserσ−t.

(10)

Definition (Pushforward einer Funktion)

Seien M,N glatte Mannigfaltigkeiten, f:M →N glatt undp∈M. Der Pushforwardvon f am Punktp ist die lineare Abbildung

f_?:T_pM →T_f_(p)N, v 7→f_?v,

∀g ∈ F(N), ∀x∈M: (f?v)(g)|_f_(x):= v(g◦f)|_x. Definition (Pullback einer Funktion)

Seien M,N,P glatte Mannigfaltigkeiten undf :M →N,g:N →P glatt.

Der Pullbackvong unterf ist definiert:

f^?g:M →P, p 7→(f^?g)|_p:= (g ◦f)|_p.

(11)

Definition (Lieableitung eines Vektorfeldes)

Seien X,Y ∈ X(M) glatte Vektorfelder undσ_t der Fluss vonX. Wir suchen nach einem Maß daf¨ur, wie sichY entlang des Flusses von X

¨

andert. F¨ur p∈M ist (L_XY)_p:= lim

t→0

(σ−t)_?(Y_σ_t_(p))−Y_p

t = d

dt t=0

(σ−t)_?(Y_σ_t_(p)) dieLieableitung vonY entlang (des Flusses) vonX.

In Koordinatendarstellung:

L_XY =

Xⁱ∂Y^j

∂xⁱ −Yⁱ∂X^j

∂xⁱ ∂

∂x^j ∈ X(M)

(12)

Definition (Lieklammer)

F¨ur zwei glatte VektorfelderX =Xⁱ_∂x^∂i, Y =Yⁱ_∂x^∂i ∈ X(M) definiert man die Lieklammer bzw. denKommutator vonX mitY:

[X,Y] :=XY −YX

Die Lieklammer ist ein Differentialoperator erster Ordnung und es gilt:

[X,Y] =L_XY

Bemerkung: (X(M),+,·,[, ]) ist eine Lie-Algebra(s.u.).

(13)

Satz

Sind X,Y ∈ X(M) glatte Vektorfelder undσt, τs die zugeh¨origen Fl¨usse, dann gilt:

[X,Y] = 0 ⇐⇒ σ_t◦τ_s =τ_s◦σ_t.

(14)

Beispiel f¨ur eine gew¨ohnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:

Mathematisches Pendel d²x

dt² + sinx = 0 1

2x˙ −cosx= const (Energieerhaltung) Konfigurationsraum: M =S¹=T¹

Phasenraum: S¹×R

(15)

Definition (Lagrangesystem)

Ein Lagrangesystem (M,L) ist ein Tupel bestehend aus einer differenzierbaren n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M

(Konfigurationsmannigfaltigkeit) und einer C^k-Funktion L:TM →R auf ihrem Tangentialb¨undel (Lagrangefunktion).

Wir betrachten C^k-Kurven γ: [t₀,t₁]→M, t₀<t₁∈Rauf M, die zwischen festen Punktenverlaufen: γ(t0) =p0, γ(t1) =p1.

P(t₀,t₁,p₀,p₁) :=n

γ: [t₀,t₁]→M C^k-Kurve |γ(t₀) =p₀, γ(t₁) =p₁o Definition (Wirkung)

Das Funktional der Wirkung definiert man als S:P(t₀,t₁,p₀,p₁)→R, γ7→S[γ] :=

Z t1

t0

L(γ(t),γ˙(t))dt.

(16)

Satz (Notwendige Bedingung f¨ur ein Minimum der Wirkung) Sei L∈C³(TM,R) undq ∈ P(t₀,t1,p0,p1) eineC³-Kurve, die S

minimiert. Dann erf¨ullt q dieEuler-Lagrange-Gleichungen,∀t ∈[t₀,t₁] :

∂L

∂qⁱ(q(t),q(t)) =˙ d dt

∂L

∂q˙ⁱ(q(t),q(t)).˙

(17)

Wir erhalten damit ein System von n gew¨ohnlichen Differential- gleichungen zweiter Ordnung in q:

∂²L

∂q˙²¨q+ ∂²L

∂q∂q˙q˙ −∂L

∂q = 0 Falls

∂²L

∂q˙²(q,q)˙

invertierbar ist, k¨onnen wir schreiben:

¨ q=−

∂²L

∂q˙² ⁻¹

∂²L

∂q∂q˙q˙ + ∂²L

∂q˙² ⁻¹

∂L

∂q =:G(q,q)˙ und daher:

d dt

q

˙ q

= q˙

G(q,q)˙

.

(18)

Bemerkung: Erf¨ullt eine Kurve q(t) die E-L-Gleichungen, so minimiert sie lokal die Wirkung, wenn gilt:

∂²L

∂q˙²(q,q)˙

>0 (Legendre-Bedingung) D.h. wenn also

L_q:T_qM →R, q˙ 7→L(q(t),q˙(t)) strikt konvex ist.

Anwendungsbeispiel f¨ur die E-L-Gleichungen:

Geod¨atengleichung in der Riemannschen Metrik (folgt)

(19)

Riemannsche Geod¨aten

Sei M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und L:R×TM →R, (t,q,q)˙ 7→L(t,q,q)˙

eine explizit zeitabh¨angige Lagrangefunktion ∈C^k(R×TM,R),k ≥2.

Weiter sei q:I →M, t7→q(t) eineC^k- Kurve, die die E-L-Gleichungen erf¨ullt. Wir fordern, dass q einlokales Minimum vonS ist:

∂²L

∂q˙²(t,q,q)˙

>0 (Legendre-Bedingung) F¨ur (t,q) = (t,q(t))∈R×M punktweise:

L_t,q:T_qM →R, q˙ 7→L_t,q( ˙q) :=L(t,q,q)˙

(20)

Die Legendretransformation vonL_t,q ist dann gegeben durch:

L_L_t,q:T_qM →T_q^?M, q˙ 7→ L_L_t,q( ˙q) := ∂Lt,q

∂q˙ := ∂L(t,q,·)

∂q˙ =:p(·)

∈ C^k−1(TqM,T_q^?M).

Recall (Tangentialb¨undel) Kotangentialraum von M beiq:

T_q^?M :={l:T_qM →R |l Linearform}= (T_qM)^? Kotangentialb¨undelan M:

T^?M := [

q∈M

T_q^?M = [

q∈M

{q} ×T_q^?M

(21)

p_i(t,q,q˙) := ∂L

∂q˙ⁱ(t,q,q)˙ (der zu qⁱ kanonisch konjugierte Impuls) Fordern wir zusätzlich Surjektivität für L_L_t,q, dann garantiert das IFT die Inverse ˙q= ˙q(t,q,p).

Analog∀(t,q(t))∈R×M, - wir erhalten so dieTransformation:

L:R×TM →R×T^?M, (t,q,q)˙ 7→

t,q,∂L

∂q˙(t,q,·)

=: (t,q,p).

Mit ˙q = ˙q(t,q,p) ist die Legendretransformiertevon Ldann:

H:R×T^?M →R, (t,q,p)7→H(t,q,p) :=

n

X

i=1

piq˙ⁱ−L(t,q,q˙)

(22)

H: Hamiltonfunktion. Wir sehen:

L∈C^k(R×TM,R) ⇐⇒ H ∈C^k(R×T^?M,R).

Der Definitionsbereich R×T^?M verallgemeinert das Konzept des (2n+1)-dimensionalen erweiterten Phasenraums.

Damit transformiert das System der n Euler-Lagrange-Gleichungen zweiter Ordnung auf ein System von 2n Differentialgleichungen erster

Ordnung:

Hamiltonsche Gleichungen (q˙ⁱ = ^∂H_∂p

i

˙

p_i =−^∂H

∂qⁱ , i = 1, . . . ,n

(23)

Anwendungsbeispiel f¨ur die E-L-Gleichungen und zugeh¨orige Hamiltonfunktion:

Geod¨aten in der Riemannschen Metrik

Auf einer n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit M w¨ahlen wir lokale Koordinaten und betrachten f¨urq ∈M die Tangentialvektoren u = (u¹, . . . ,uⁿ),v= (v¹, . . . ,vⁿ)∈T_qM. DasInnere Produkt vonu und v bzgl. der Metrik g(q) ist

hu,vi:=

n

X

i,j=1

g_ij(q)uⁱv^j =g_ij(q)uⁱv^j und die L¨angedes Tangentenvektors u ist gegeben durch

||u||_g_(q):=

hu,ui_g_(q)¹₂

= gij(q)uⁱu^j¹₂ .

(24)

Dabei ist g =g(q) eine reelle, positiv definite, symmetrische Matrix.

Die Inverse notiert man mitg^ij :=g_ij⁻¹, d.h.

g^ikg_kj =δ_jⁱ

Definition (L¨ange einer Kurve)

Sei q: [t₀,t₁]→M eine glatte Kurve. Die L¨ange vonq ist l(q) :=

Z t1

t0

||q(t)||˙ _g_(q(t))dt

Eine Kurve, die l unter allen Kurven mit gleichem Anfangs- und Endpunkt minimiert, heißt Geod¨ate.

(25)

Riemannsche Geod¨aten Beobachtung:

l(q) = Z t1

t0

||q(t)||˙ _g(q(t))dt ist minimal ⇐⇒

E(q) :=

Z t1

t0

1

2||q(t˙ )||²_g_(q(t))dt ist minimal.

Die E-L-Gleichungen mit der Langrangefunktion L(q,q) :=˙ 1

2||q(t)||˙ ²_g(q(t))= 1

2g_ik(q) ˙qⁱq˙^k liefern die

Geod¨atengleichung f¨ur die Riemannsche Metrik

¨

qⁱ + Γⁱ_jkq˙^kq˙^j = 0.

(26)

Die zugeh¨orige Hamiltonfunktion ist H(q,p) = 1

2g^ijpipj.

(27)

Beobachtung: IstL:TM →Rnicht explizit zeitabh¨angig, dann ist es H:T^?M →Rebenfalls nicht. Mit

x :=

q p

, J :=

0 I_n

−I_n 0

und ∇H :=

∂H

∂q¹, . . . , ∂H

∂qⁿ, ∂H

∂p₁, . . . , ∂H

∂p_n T

lauten die Hamiltonschen Gleichungen

dx dt =







˙ q¹

...

˙ qⁿ

˙ p¹

...

˙ pⁿ







=







∂H

∂p¹

...

∂H

∂pⁿ

−_∂q^∂H1

...

−_∂q^∂H_n







=J∇H, d.h. dx

dt =J∇H .

(28)

Weiter:

dx

dt =J∇H=

n

X

i=1

∂H

∂p_i

∂

∂qⁱ − ∂H

∂qⁱ

∂

∂p_i

=:X_H Wir k¨onnen also zu jedem Hamiltonsystem einer FunktionH ein Hamiltonsches Vektorfeld

X_H :=

n

X

i=1

∂H

∂pi

∂

∂qⁱ − ∂H

∂qⁱ

∂

∂pi

assoziieren.

Insbesondere:

L C²-Funktion ⇔ H C²-Funktion ⇒ Fluss vonX_H existiert.

(29)

Definition (Lieableitung einer Funktion)

Sei f ∈ F(M) eine glatte Funktion undX ∈ X(M) ein Vektorfeld mit Fluss σ_t. Analog zur Lieableitung eines Vektorfeldes definiert man die Lieableitung vonf entlang (des Flusses) von X:

L_Xf := d dt

_t=0

(f ◦σ_t)

Da σ_t der Fluss von X ist, erf¨ullt er _dt^dσ_t =X ◦σ_t; σ₀ =id_M und es gilt:

L_Xf =Xf ∈ F(M) bzw. L_X =X ∈ X(M) .

(30)

Definition (Erstes Integral)

Eine Funktion f ∈ F(M) heißt Erstes Integraldes Vektorfeldes X ∈ X(M) bzw. der zugeh¨origen Differentialgleichung, wennf entlang des Flusses von X konstant ist:

∀p∈M: (L_Xf)_p= d dt t=0

f(σt(p)) =Xpf = 0 (Wir betrachten ab jetzt nur noch das 2n-dimensionale

Kotangentialb¨undel als Mannigfaltigkeit.)

Beispiel: Die HamiltonfunktionH∈ F(M) ist ein erstes Integral des Hamiltonschen Vektorfeldes X_H.

(31)

Definition (Poissonklammer zweier Funktionen)

Seienf,g ∈ F(M). Wir w¨ahlen lokale Koordinaten (q¹, . . . ,qⁿ,p₁, . . . ,p_n) auf M und definieren die Poissonklammer von f mitg:

{f,g}:=

n

X

i=1

∂f

∂p_i

∂g

∂qⁱ − ∂f

∂qⁱ

∂g

∂p_i

∈ F(M).

Antisymmetrie: {f,g}=−{g,f}

Mit dem zu f geh¨origen Hamiltonschen Vektorfeld X_f :=

n

X

i=1

∂f

∂p_i

∂

∂qⁱ − ∂f

∂qⁱ

∂

∂p_i

−→ {f,g}=X_fg. Daher:

X_fg ={f,g}=−{g,f}=−X_gf.

(32)

g isterstes Integral von X_f ⇐⇒

0 =L_X_fg =X_fg ={f,g} ⇐⇒

{f,g}={g,f}.

Bemerkung: Mit der Poisson-Klammer {·,·}:F(M)× F(M)→ F(M) wird (F(M),+,·,{·,·}) zu einer Poisson-Algebra, d.h.:

(F(M),+,·,{·,·}) ist eine Lie-Algebra:

{·,·}istbilinear

{·,·}istantisymmetrisch: {f,g}=−{g,f}

Jacobi-Identit¨at: {{f,g},h}+{{g,h},f}+{{h,f},g}= 0 {·,·}ist eine Derivation, d.h. es gilt dieLeibnizregel:

{fg,h}=f{g,h}+g{f,h}

(33)

Satz von Poisson

Seien f,g,H∈ F(M) und f,g erste Integrale des hamiltonschen Vektorfeldes X_H, dann ist{f,g}ebenfalls erstes Integralvon X_H.

Weiter l¨asst sich zeigen:

Sind f,g ∈ F(M) und Xf,Xg die zugeh¨origen hamiltonschen Vektorfelder, dann ist [X_f,Xg] einebenfalls Hamiltonsches Vektorfeld zur

Hamiltonfunktion {f,g}:

[X_f,Xg] =X_{f_,g_}.

(34)

Poissonklammern der Koordinatenfunktionen

Seien (q¹, . . . ,qⁿ,p₁, . . . ,p_n) :U →V ⊂R²ⁿ lokale Koordinaten aufM (U ⊂M;V ⊂R²ⁿ offen). Wegen

∂qⁱ

∂q^j =δ_jⁱ = ∂p_j

∂pi

; ∂qⁱ

∂pj

= 0 = ∂pi

∂q^j erhalten wir:

qⁱ,q^j = 0 ={p_i,pj} ;

qⁱ,pj =−δ_jⁱ.

(35)

Arnold VI. Mathematical Methods of Classical Mechanics. New York;

Heidelberg [u.a.]: Springer; 1978.

Moser J, Zehnder E. Notes on Dynamical Systems. Providence, RI:

American Mathematical Soc.; 2005.

Silva AC. Lectures on Symplectic Geometry. 2nd ed. Berlin;

Heidelberg [u.a.]: Springer; 2008.