Biomathematik & Spieltheorie

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Biomathematik & Spieltheorie

Vorlesung 2020

Joachim Hermisson

Mathematics and Biosciences Group

Mathematik & MPL, Universität Wien

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Übungsaufgaben

Aufgabe 3.2: Biologische Schädlingsbekämpfung Aufgabe 4.1: Hassell Modell

Aufgabe 4.2: Ricker Harvesting Modell

Aufgabe 5.2: Verzweigungsprozess in kontinuierlicher Zeit

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Übungsaufgaben

Aufgabe 3.2: Biologische Schädlingsbekämpfung

je 𝑚_𝑛 Weibchen und fruchtbare Männchen, 𝑠 sterile Männchen pro Generation, 2𝑟 Nachkommen je fruchtbarer Paarung (𝑟 > 1)

a) Reproduktionsfunktion

b) Fixpunkte und Stabilität

𝑚

_𝑛+1

= 𝐹 𝑚

_𝑛

= 2𝑟 𝑚

_𝑛

𝑚

_𝑛

𝑚

_𝑛

+ 𝑠

1 2 = 𝑟 𝑚

_𝑛²

𝑚

_𝑛

+ 𝑠

𝑚

^∗(1)

= 0 𝑚

^∗(2)

= 𝑠

𝑟 − 1

𝐹

^′

𝑚 = 𝑟𝑚(𝑚 + 2𝑠) 𝑚 + 𝑠

²

𝐹

^′

0 = 0

𝐹

^′

𝑚

^∗(2)

= 2𝑟 − 1

𝑟 > 1

stabil

instabil

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Übungsaufgaben

Aufgabe 3.2: Biologische Schädlingsbekämpfung

je 𝑚_𝑛 Weibchen und fruchtbare Männchen, 𝑠 sterile Männchen pro Generation, 2𝑟 Nachkommen je fruchtbarer Paarung (𝑟 > 1)

a) Reproduktionsfunktion

c) minimales 𝑠:

𝑚

_𝑛+1

= 𝐹 𝑚

_𝑛

= 2𝑟 𝑚

_𝑛

𝑚

_𝑛

𝑚

_𝑛

+ 𝑠

1 2 = 𝑟 𝑚

_𝑛²

𝑚

_𝑛

+ 𝑠

𝑚

^∗(2)

= 𝑠

𝑟 − 1 > 𝑚

₀

𝑠 > 𝑚

₀

(𝑟 − 1)

_𝑚∗(2) = 𝑠 𝑟 − 1 𝑚^∗(1) = 0

(5)

Übungsaufgaben

Aufgabe 4.1: Hassell Modell

a) Fixpunkte und Stabilität

𝑁

_𝑡+1

= 𝐹 𝑁

_𝑡

= 𝜆𝑁

_𝑡

1 + 𝛼𝑁

_𝑡 ^𝛽

𝑁^∗(1) = 0

𝐹

^′

𝑁 = 𝜆 − 𝛼𝜆 𝛽 − 1 𝑁 1 + 𝛼𝑁

^𝛽+1

𝑁^{∗ 2} =

𝛽 𝜆 − 1

𝛼 > 0 (immer instabil für 𝜆 > 1)

𝑁_𝑡+1𝛼 𝑁_𝑡+1𝛼

𝑁_𝑡𝛼 𝑁_𝑡𝛼

𝛽 > 1 𝛽 ≤ 1

(6)

Übungsaufgaben

Aufgabe 4.1: Hassell Modell 𝐹 𝑁 = 𝜆𝑁 1 + 𝑁

^𝛽

𝐹^′ 𝑁^∗(2) = 𝜆 − 𝜆 𝛽 − 1 (^𝛽 𝜆 − 1) 1 + ^𝛽 𝜆 − 1 ^𝛽+1

= 𝛽 − ^𝛽 𝜆(𝛽 − 1)

𝛽 𝜆

⇒ 𝜆 > 𝛽 𝛽 − 2

𝛽

𝜆

𝛽 oszillierend

stabil

instabil 𝑁^∗(2) instabil für

𝐹^′ 𝑁^∗(2) < −1 𝑁^∗(2) oszillierend für

𝐹^′ 𝑁^∗(2) < 0

⇒ 𝜆 > 𝛽 𝛽 − 1

𝛽

mo- noton

stabil

(7)

Übungsaufgaben

Aufgabe 4.1: Hassell Modell 𝐹 𝑁 = 𝜆𝑁 1 + 𝑁

^𝛽

𝐹

²

𝑁 = 𝜆

²

𝑁/(1 + 𝑁)

^𝛽

1 + 𝜆𝑁/(1 + 𝑁)

^{𝛽 𝛽}

= 𝜆

²

𝑁

1 + 𝑁 + 𝜆𝑁 1 + 𝑁

^{1−𝛽 𝛽}

𝜆 = 60 β = 4

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Übungsaufgaben

Aufgabe 4.1: Hassell Modell 𝐹 𝑁 = 𝜆𝑁 1 + 𝑁

^𝛽

𝐹

²

𝑁 = 𝜆

²

𝑁/(1 + 𝑁)

^𝛽

1 + 𝜆𝑁/(1 + 𝑁)

^{𝛽 𝛽}

= 𝜆

²

𝑁

1 + 𝑁 + 𝜆𝑁 1 + 𝑁

^{1−𝛽 𝛽}

𝜆 = 70 β = 4

(9)

Übungsaufgaben

Aufgabe 4.2: Ricker Harvesting Modell 𝐹 𝑁 = 𝑁 exp 𝑟 1 − 𝑁 − 𝑌

𝑟 = 0.8 𝑟 = 1.5 𝑟 = 2.5

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Übungsaufgaben

Aufgabe 4.2: Ricker Harvesting Modell

𝐹

^′

𝑁

^(𝑌)

= (1 − 𝑟𝑁

^(𝑌)

) exp 𝑟 1 − 𝑁

^(𝑌)

= 1 𝑀𝑆𝑌 = 𝐹 𝑁

^𝑌

− 𝑁

^(𝑌)

!

(11)

𝐻 𝑁^∗

Schematisches Bifurkationsdiagramm Ricker mit Harvesting

Sattel-Knoten Bifurkation Perioden-

verdopplungs- bifurkation

grün: stabil rot: instabil strichliert:

Grenzzyklus

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Übungsaufgaben

Aufgabe 5.2: Verzweigungsprozess in kontinuierlicher Zeit

gegeben: Geburtenrate 𝑏, Todesrate 𝑑

a) Wahrscheinlichkeit für Geburt oder Tod als nächstes Ereignis

b) Aussterbewahrscheinlichkeit

Rekursion:

𝑝_𝑏 = 𝑏

𝑏 + 𝑑 ; 𝑝_𝑑 = 𝑑 𝑏 + 𝑑 𝑝_𝑏

𝑝_𝑑 = 𝑏

𝑑 ; 𝑝_𝑏 + 𝑝_𝑑 = 1 ⇒

𝜋

_∞

= 𝑝

_𝑑

+ 𝑝

_𝑏

∙ 𝜋

_∞²

𝜋_∞ = 1 ± 1 − 4𝑝_𝑑𝑝_𝑏 2𝑝_𝑏 =

1 ± 1 − 4𝑝_𝑏 + 4𝑝_𝑏²

2𝑝_𝑏 = 1 ± 1 − 2𝑝_𝑏 2𝑝_𝑏

𝜋

_∞⁽¹⁾

= 1; 𝜋

_∞⁽²⁾

= 1 − 𝑝

_𝑏

𝑝

_𝑏

= 𝑑 𝑏

(Aussterbewahrscheinlichkeit für 𝑑 < 𝑏)

(13)

Übungsaufgaben

Aufgabe 5.2: Verzweigungsprozess in kontinuierlicher Zeit

gegeben: Geburtenrate 𝑏, Todesrate 𝑑

a) Wahrscheinlichkeit für Geburt oder Tod als nächstes Ereignis

b) Aussterbewahrscheinlichkeit

Rekursion:

𝑝_𝑏 = 𝑏

𝑏 + 𝑑 ; 𝑝_𝑑 = 𝑑 𝑏 + 𝑑 𝑝_𝑏

𝑝_𝑑 = 𝑏

𝑑 ; 𝑝_𝑏 + 𝑝_𝑑 = 1 ⇒

𝜋

_𝑛

= 𝑝

_𝑑

+ 𝑝

_𝑏

∙ 𝜋

_𝑛−1² ^𝜋^𝑛

𝜋_𝑛−1

𝜋_∞⁽²⁾ = 𝑑 𝑏