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Interaktive Arbeitsblätter: Vektorielle Geometrie / Band 1
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Vektorielle Geometrie / Band 1 Grundlagen der vektoriellen Geometrie - Bestell-Nr
. P12 457+
Vorwort 4 Was versteht man unter Vektoren?
1.1 Beispiele aus der Praxis
(Blatt 1-2) vektorielle Größen – skalare Größen 5-6 1.2 Definition des Vektorbegriffes und mathematische Symbolik
(Blatt 1-3) Vektor – Urbildpunkt – Bildpunkt – Startpunkt – Endpunkt –
Betrag – Gegenvektor – Nullvektor 7-9
1.3 Koordinatenschreibweise eines Vektors
(Blatt 1-2) Spaltenvektoren in der Ebene – Koordinaten – Ortsvektor 10-11 (Blatt 3) Punkte im räumlichen Koordinatensystem 12
(Blatt 4) Koordinatenebene – Aufgabe Pyramide 13
(Blatt 5-7) Spaltenvektoren im Raum – Koordinaten – Ortsvektor 14-16
Der Betrag eines Vektors
(Blatt 1-2) Betrag als skalare Größe 17-18
(Blatt 3) Bestimmung einer Koordinate bei bekanntem Betrag –
Abstand zweier Punkte 19
(Blatt 4) Einheitsvektor 20
Einfache geometrische Anwendungen
Vektoren aus Punkten in Quader und Dreieck 21
Rechnen mit Vektoren
4.1 Addition und Subtraktion von Vektoren
(Blatt 1-2) Addition – Kommutativ- und Assoziativgesetz – Nullvektor 22-23 (Blatt 3-6) Subtraktion – Gegenvektor - Gleichungen 24-27 4.2 Vervielfachen von Vektoren
(Blatt 1) Multiplikation mit einer reellen Zahl 28
(Blatt 2) Distributivgesetz 29
Kollineare Vektoren 30
Geometrische Anwendungen
(Blatt 1-2) Quader – Trapez – Punkt und Gerade 31-32
(Blatt 3) Mittelpunkt einer Strecke 33
Linearkombinationen von Vektoren
(Blatt 1-3) komplanare Vektoren 34-36
Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren
(Blatt 1) Nullvektor trivial/nichttrivial linear kombinieren 37 (Blatt 2) Richtungsvektoren der Achsen – Zusammenhänge –
Vektoren im Quader linear kombinieren 38
Blanko-Koordinatensysteme 39-40
Lösungen 41-64
Inhalt
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Vektorielle Geometrie / Band 1 Grundlagen der vektoriellen Geometrie - Bestell-Nr
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Im Unterricht der gymnasialen Oberstufe und folglich auch in den Abiturprüfungsaufgaben stellt die vektorielle Geometrie einen bedeutenden Themenkomplex dar. Der vorliegende erste Band soll dazu beitragen, das Grundverständnis für die Bedeutung von Vektoren, das Operieren mit Vektoren und deren geometrische Anwendungen zu verbessern sowie entsprechendes Übungsmaterial anzubieten.
Um die Definition des mathematischen Objektes Vektor als Größe, welche durch Betrag und Richtung gekennzeichnet ist, anschaulich zu machen, werden im Einführungsteil fachübergreifend Sachverhalte aus der Physik vorgestellt wie beispielsweise der Zusammenhang zwischen der zum Erdmittelpunkt gerichteten Gewichtkraft eines auf der geneigten Ebene transportierten Körpers und seinen Kraftkomponenten Normalkraft und Hangabtriebskraft. Auch werden die Eigenschaften elektrischer und magnetischer Felder zur Motivation für die Bedeutung von Vektoren eingebunden, denn Feldlinien machen deutlich, dass nicht nur der Betrag der Feldkräfte, sondern auch ihre Richtung zur Beschreibung der Eigenschaften des entsprechenden Kraftfelds bedeutsam sind. Als anschauliches ästhetisches Beispiel für die Deutung eines Vektors als Verschiebungspfeil für die Kongruenzabbildung geometrischer Objekte werden Graphiken von M. C. Escher (1898-1972) vorgestellt.
Den Schwerpunkt in diesem Band bilden Übungen zur Koordinatenschreibweise von Vektoren der Ebene und des Raumes mittels Spaltenvektoren, zu ihrer Darstellung im ebenen und räumlichen Koordinatensystem, zur Definition und Berechnung des Betrages eines Vektors sowie zu einfachen Rechenoperationen wie Vervielfachen, Addition und Subtraktion von Vektoren – zeichnerische und rechnerische Lösungen beinhaltend.
Einfache geometrische Anwendungen wie zum Beispiel die Berechnung des Mittelpunktes einer Strecke oder die Untersuchung der Lagebeziehung von Punkt und Gerade zeigen, dass man mit der Vektorrechnung Aufgaben vorteilhaft lösen kann.
Im letzten Abschnitt des Heftes werden die – besonders auch für die später zu behandelnde Beschreibung von Ebenen im Raum bedeutsamen – innermathematischen Begriffe wie Linearkombination von Vektoren, lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit definiert sowie entsprechende Übungen angeboten.
Und zum Schluss für alle Interessenten an der vektoriellen Geometrie die Ankündigung von Band 2 mit Definitionen, Veranschaulichungen, Übungen und Anwendungen zur skalaren und vektoriellen Multiplikation – kurz den Operationen Skalar- und Vektorprodukt.
Viel Erfolg beim Arbeiten mit Vektoren wünschen das Team des Kohl-Verlags und
Vorwort
Barbara Theuer
Vektorielle Geometrie / Band 1 Grundlagen der vektoriellen Geometrie - Bestell-Nr
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Was versteht man unter Vektoren?
1.1 Beispiele aus der Praxis (Blatt 1)
1
Aufgabe 1: Welche physikalische Größe muss bei den Jägern gleichen Typs übereinstimmen, damit sie bei einer Flugshow in Formation fliegen?
Beschreibe die Merkmale dieser Größe. Notiere deine Antwort und ergänze die Abbildung in geeigneter Weise.
Aufgabe 2: Welche vier wesentlichen Kräfte wirken während des Fluges an einem Flugzeug?
Ergänze die Abbildung durch
eine aussagekräftige
Darstellung dieser Kräfte.
1.
2.
3.
4.
Aufgabe 3: Welche Wirkung hat das Magnetfeld eines Hufeisen- magneten auf eine Kompass- nadel (Magnetnadel)?
Zeichne die Kompassnadel in der Umgebung des Hufeisen- magneten an zwei verschiede- nen Stellen ein und beschreibe die Kraftwirkung auf den Nord- pol der Kompassnadel.
Was versteht man unter magnetischen Feldlinien?
N S
S N
Vektorielle Geometrie / Band 1 Grundlagen der vektoriellen Geometrie - Bestell-Nr
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Was versteht man unter Vektoren?
1.1 Beispiele aus der Praxis (Blatt 2)
1
Aufgabe 4: Unter einem elektrischen Feld versteht man den Kraftraum in der Umgebung elektrisch geladener Körper. Die Feldlinien – gedachte Linien – zeigen die Richtung der Kraft, die auf einen in das
elektrische Feld eingebrachten positiv geladenen Probekörper wirkt.
Welche elektrische Ladung tragen
jeweils die Körper im Zentrum des Feldes in Abbildung A und in Abbildung B?
Ergänze die Abbildungen. Begründe.
Aufgabe 5: Wird eine Last entlang einer geneigten Ebene bewegt, wirken die Komponenten FH
und FN der Gewichtskraft FG. Welche Bedeutung haben die Komponenten?
FH:
FN:
Aufgabe 6: Welche Merkmale haben die physikalischen Größen in den Beispielen der Aufgaben 1 bis 5? Wie werden diese Größen veranschaulicht?
→
→
→
→ →
→
→
→
In Physik und Technik sind Größen bedeutsam, die außer ihrem Betrag und ihrer Einheit auch durch ihre Richtung gekennzeichnet sind. Solche Größen nennt man vektorielle Größen. Ein Beispiel dafür ist die Gewichtskraft. Diese gerichteten Größen werden durch Pfeile dargestellt. Über ihr Symbol schreibt man einen Pfeil. Im
Gegensatz dazu werden skalare Größen wie zum Beispiel die Masse nur durch ihren Betrag bestimmt und mit Zahlen beschrieben; sie sind richtungsunabhängig.
A B
Vektorielle Geometrie / Band 1 Grundlagen der vektoriellen Geometrie - Bestell-Nr
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Aufgabe 1: Ornamente und Parkettierungen entstehen durch geometrische Kongruenz- abbildungen (Bewegungen). Nenne drei Kongruenzabbildungen.
Welche Abbildung hat Escher bei vorliegendem Muster angewendet?
Was versteht man unter Vektoren?
1.2 Definition des Vektorbegriffes und mathematische Symbolik (Blatt 1)
1
M. C. Escher (1898 bis 1972) war ein niederländi- scher Künstler und Grafiker, der durch seine nach ihm benannten geometrischen Grafiken und Konstruk- tionen (Parkettierungen, Spiegelungen, optische Verzerrungen, Fraktale, Unendlichkeitsannäherun- gen, unmögliche Figuren)
bekannt wurde. Wandtablett einer Tessellation von M. C. Escher aus dem Keramik- museum Princessehof in Leeuwarden – Eschers Geburtsstadt
Aufgabe 2: Die Verschiebung AA’ bildet den Punkt A auf den Bildpunkt A’ ab.
Der zugehörige Verschiebungspfeil soll als Vektor AA’ = v bezeichnet werden.
→
→ →
A’
A v
→Vektorielle Geometrie / Band 1 Grundlagen der vektoriellen Geometrie - Bestell-Nr
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Was versteht man unter Vektoren?
1.2 Definition des Vektorbegriffes und mathematische Symbolik (Blatt 2)
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Definition des Begriffes „Vektor“
Die Menge aller (gedachter) Pfeile der Ebene und des Raums, die gleiche Länge und gleiche Rich- tung haben, wird in der analytischen Geometrie als Vektor bezeichnet.
Vektoren werden symbolisch durch Kleinbuch- staben, die mit einem Pfeil überschrieben sind, dargestellt.
Umgekehrt kann ein Vektor durch beliebig viele Pfeile repräsentiert werden.
Ein Vektor ordnet jedem Urbildpunkt (Original- punkt) einen Bildpunkt bei einer Verschiebung zu und beschreibt somit eine Parallelverschiebung.
Wenn Vektor a = AB den Punkt A auf den Punkt B abbildet, wird in diesem Fall der Punkt A als Startpunkt (auch Schaft oder Ausgangspunkt) und Punkt B als Endpunkt (oder Spitze) des Vektorpfeils bezeichnet. Den Abstand der Punkte A und B nennt man Länge oder Betrag des Vektors. Der Vektor BA, welcher Punkt B auf Punkt A abbildet, heißt Gegenvektor zu AB. Der Vektor, der einen Punkt auf sich selbst abbildet, wird Nullvektor
→ →
→
→
