Formale Beweise und Boolesche Logik

(1)

Formale Beweise und Boolesche Logik Konditionale Korrektheit und Vollst¨andigkeit

Logik f¨ ur Informatiker Logic for computer scientists

Till Mossakowski

Wintersemester 2014/15

Till Mossakowski Logik 1/ 39

(2)

Korrektheit und Vollst¨andigkeit

Formale Beweise und Boolesche Logik

(3)

Formale Beweise in Fitch

Wir haben eine wohldefinierte Menge formaler Beweisregeln.

Formale Beweise in Fitch k¨onnenmechanisch gepr¨uft werden.

F¨ur jeden Junktor gibt es

eineEinf¨uhrungsregel, z. B. “vonP schließe aufP∨Q”, eineBeseitigungsregel, z. B. “vonP∧Q schließe aufP”.

(4)

Konjunktions-Einf¨ uhrung

Summary of Rules

Propositional rules ( F

^T

)

Conjunction Introduction (∧ Intro)

P₁

⇓ P_n

...

. P₁∧. . .∧P_n

Conjunction Elimination (∧ Elim)

P₁∧. . . ∧P_i∧. . .∧P_n ...

. P_i

Disjunction Introduction (∨ Intro)

P_i ...

. P₁∨. . .∨P_i∨. . .∨P_n

Disjunction Elimination (∨ Elim)

P₁∨. . . ∨P_n ...

P₁ ... S

⇓ P_n

... S ...

. S

557

(5)

Konjunktions-Beseitigung

Summary of Rules

Propositional rules ( F

^T

)

Conjunction Introduction (∧ Intro)

P1

⇓ P_n

...

. P₁∧. . .∧P_n

P1∧. . . ∧Pi∧. . .∧Pn

... . P_i

Disjunction Introduction (∨ Intro)

Pi

...

. P₁∨. . .∨P_i∨. . .∨P_n

P1∨. . . ∨Pn

... P₁

... S

⇓ Pn

... S ...

. S

557

(6)

Disjunktions-Einf¨ uhrung

Summary of Rules

Propositional rules ( F

^T

)

Conjunction Introduction (∧Intro)

P₁

⇓ P_n

...

. P₁∧. . .∧P_n

P₁∧. . . ∧P_i∧. . .∧P_n ...

. P_i

Disjunction Introduction (∨Intro)

P_i ...

. P₁∨. . .∨P_i∨. . .∨P_n

P₁∨. . . ∨P_n ...

P₁ ... S

⇓ Pn

... S ...

. S

557

(7)

Disjunktions-Beseitigung

Summary of Rules

Propositional rules ( F

^T

)

P1

⇓ Pn

...

. P1∧. . .∧Pn

Conjunction Elimination (∧Elim)

P1∧. . .∧Pi∧. . .∧Pn

...

. Pi

Pi

...

. P1∨. . .∨Pi∨. . .∨Pn

Disjunction Elimination (∨Elim)

P1∨. . .∨Pn

... P1

... S

⇓ Pn

... S ...

. S

557

(8)

⊥ -Einf¨ uhrung

Negation Introduction (¬ Intro)

P ...

⊥

. ¬P

Negation Elimination (¬ Elim)

¬¬P ...

. P

⊥Introduction (⊥ Intro)

P...

¬P ...

. ⊥

⊥Elimination (⊥Elim)

⊥...

. P

Conditional Introduction (→ Intro)

P ... Q

. P→Q

Conditional Elimination (→Elim)

P→Q ... P...

. Q

Summary of Rules

(9)

⊥ -Beseitigung

558 /Summary of Rules

Negation Introduction (¬Intro)

P ...

⊥

. ¬P

¬¬P ...

. P

⊥Introduction (⊥Intro)

P...

¬P ...

. ⊥

⊥Elimination (⊥ Elim)

⊥...

. P

Conditional Introduction (→Intro)

P ... Q

. P→Q

Conditional Elimination (→ Elim)

P→Q ... P...

. Q

Summary of Rules

(10)

Negations-Einf¨ uhrung

P ...

⊥

. ¬P

¬¬P ...

. P

P...

¬P ...

. ⊥

⊥...

. P

P ... Q

. P→Q

P→Q ... P...

. Q

Summary of Rules

(11)

Negations-Beseitigung

P ...

⊥

. ¬P

¬¬P ...

. P

P...

¬P ...

. ⊥

⊥...

. P

P ... Q

. P→Q

P→Q ... P...

. Q

Summary of Rules

(12)

Strategie und Taktik in Fitch

1 Machen Sie sich klar, was die S¨atze besagen.

2 Uberlegen¨ Sie, ob die Konklusion aus den Pr¨amissen folgt.

3 Wenn Sie meinen, dass die Konklusion nicht folgt oder sich nicht sicher sind, versuchen Sie, einGegenbeispielzu finden.

4 Wenn Sie meinen, dass die Konklusion folgt, versuchen Sie, einen informellen Beweis zu f¨uhren.

5 Falls einformaler Beweis gefordert ist, lassen Sie sich bei der Auffindung dessen vom informellen Beweisleiten.

6 Vergessen Sie nicht die Taktik des R¨uckw¨arts-Arbeitens, falls Sie formal oder informell nachweisen, dass ein Satz aus anderen folgt.

7 Wenn Sie rückwärts arbeiten, übreprüfen Sie stets, ob die

Beweisziele Ihrer Zwischenschritteaus den gegebenen Informationen folgen.

(13)

Strategie und Taktik in Fitch (Fortsetzung)

Versuchen Sie stets, die Situation in Ihrem Beweis mit den Beweisregeln zu vergleichen(im Anhang des Buches gibt es die komplette Liste der verf¨ugbaren Regeln, ebenso im internen Bereich auf der Webseite der Vorlesung).

Orientieren Sie sich am Hauptjunktor einer Prämisseund wenden die entsprechende Beseitigungsregel an (vorwärts), oder Sie orientieren sich am Hauptjunktor der Konklusion und wenden die entsprechende Einführungsregel an (rückwärts).

(14)

Konditionale

(15)

Konditionale 178 /

Conditionals

do, however, make it much easier to say and prove certain things, and so are valuable additions to the language.

Section 7.1

Material conditional symbol: →

The symbol → is used to combine two sentences P and Q to form a new sentence P → Q, called a material conditional. The sentence P is called the antecedent of the conditional, and Q is called the consequent of the conditional.

We will discuss the English counterparts of this symbol after we explain its meaning.

Semantics and the game rule for the conditional

The sentence P → Q is true if and only if either P is false or Q is true (or both). This can be summarized by the following truth table.

P Q P → Q

t t

T

t f

F

f t

T

f f

T

truth table for →

A second’s thought shows that P → Q is really just another way of saying

¬ P ∨ Q. Tarski’s World in fact treats the former as an abbreviation of the latter. In particular, in playing the game, Tarski’s World simply replaces a

game rule for →

statement of the form P → Q by its equivalent ¬ P ∨ Q.

Remember

1. If P and Q are sentences of fol, then so is P → Q.

2. The sentence P → Q is false in only one case: if the antecedent P is true and the consequent Q is false. Otherwise, it is true.

English forms of the material conditional

We can come fairly close to an adequate English rendering of the material conditional P → Q with the sentence If P then Q. At any rate, it is clear that

if . . . then

Chapter 7

Spielregel:P →Q wird durch ¬P∨Q ersetzt.

(16)

Formalisierung von Konditionals¨ atzen

Die folgenden deutschen Ausdr¨ucke werden alle alsP →Q

¨ubersetzt:

WennP,dannQ.

Q wennP.

P nur dann, wennQ.

Gegeben dassP,dann Q.

P impliziertQ.

Die folgenden S¨atze werden als ¬P →Q ¨ubersetzt:

Sofern nichtP,Q.

Q,es sei denn dass P.

(17)

Logische Folgerung und Konditionale

Theorem

Ein Satz Q ist einelogische Folgerung aus P₁, . . . ,Pn, genau dann wenn

(P1∧ · · · ∧Pn)→Q eine logische Wahrheit ist.

(18)

Konditional-Beseitigung

P ...

⊥

. ¬P

¬¬P ...

. P

P...

¬P ...

. ⊥

⊥ Elimination (⊥Elim)

⊥...

. P

Conditional Introduction (→Intro)

P ... Q

. P→Q

P→Q ... P...

. Q

Summary of Rules

(19)

Konditional-Einf¨ uhrung

P ...

⊥

. ¬P

¬¬P ...

. P

P...

¬P ...

. ⊥

⊥...

. P

P ... Q

. P→Q

P→Q ... P...

. Q

Summary of Rules

(20)

Bikonditionale

means of the biconditional: P ↔ Q. A sentence of the form P ↔ Q is true if and only if P and Q have the same truth value, that is, either they are both true or both false. In English this is commonly expressed using the expression if and only if. So, for example, the sentence Max is home if and only if Claire

if and only if

is at the library would be translated as:

Home(max) ↔ Library(claire)

Mathematicians and logicians often write “iff” as an abbreviation for “if

iff

and only if.” Upon encountering this, students and typesetters generally con- clude it’s a spelling mistake, to the consternation of the authors. But in fact it is shorthand for the biconditional. Mathematicians also use “just in case” as a

just in case

way of expressing the biconditional. Thus the mathematical claims n is even iff n

²

is even, and n is even just in case n

²

is even, would both be translated as:

Even(n) ↔ Even(n

²

)

This use of “just in case” is, we admit, one of the more bizarre quirks of mathematicians, having nothing much to do with the ordinary meaning of this phrase. In this book, we use the phrase in the mathematician’s sense, just in case you were wondering.

An important fact about the biconditional symbol is that two sentences P and Q are logically equivalent if and only if the biconditional formed from them, P ↔ Q, is a logical truth. Another way of putting this is to say that P ⇔ Q is true if and only if the fol sentence P ↔ Q is logically necessary.

So, for example, we can express one of the DeMorgan laws by saying that the following sentence is a logical truth:

¬ (P ∨ Q) ↔ ( ¬ P ∧ ¬ Q)

This observation makes it tempting to confuse the symbols ↔ and ⇔ . This

↔ vs. ⇔

temptation must be resisted. The former is a truth-functional connective of fol, while the latter is an abbreviation of “is logically equivalent to.” It is not a truth-functional connective and is not an expression of fol.

Semantics and the game rule for ↔

The semantics for the biconditional is given by the following truth table.

P Q P ↔ Q

t t

T

t f

F

f t

F

f f

T

truth table for ↔

Chapter 7

Spielregel:P ↔Q wird durch (P →Q)∧(Q →P) ersetzt.

(21)

Bikonditionale und logische ¨ Aquivalenzen

Theorem

P und Q sindlogisch ¨aquivalent(P⇔Q) genau dann, wenn

der Satz P↔Q einelogische Wahrheit ist.

Bemerkung:

P ⇔Q ist kein Satz in PL1, sondern eine Meta-Aussage.

“↔” istJunktor, Operationin der Menge der PL1-S¨atze,

“⇔” ist eineRelation in der Menge der PL1-S¨atze.

(22)

Konversationale Implikatur

“Max ist zu Hause, es sei denn, Claire ist in der Bibliothek.” kann formalisiert werden als

¬Library(claire)→Home(max) aber manchmal wird der Satz formalisiert als

¬Library(claire)↔Home(max) Die zus¨atzliche Behauptung

¬Library(claire)←Home(max)

heißtkonversationale Implikatur. Sie ist möglich aber nicht notwendig gemäß des ursprünglichen deutschen Satzes.

Folgende Fortsetzunghebtdie Implikatur auf:

“Wenn Claire allerdings in der Bibliothek ist, dann weiß ich nicht, wo Max sein k¨onnte.”

(23)

Wahrheitsfunktionale Vollst¨ andigkeit

Definition

Ein logischer Junktor heißtwahrheitsfunktional, wenn der

Wahrheitswert eines komplexen Satzes, der mittels dieses Junktors gebildet wird, nur von den Wahrheitswerten der einfacheren S¨atze, aus denen er aufgebaut ist, abh¨angt.

Wahrheitsfunktionale Junktoren:∧,∨,¬,←,↔

Nicht wahrheitsfunktional: da, nachdem, notwendigerweise Definition

Eine Menge von Junktoren heißtwahrheitsfunktional vollständig, wenn sich mit ihr jede Wahrheitsfunktion ausdrücken lässt.

Theorem

Die Menge{∧,∨,¬} ist wahrheitsfunktional vollst¨andig.

(24)

Beispiel: ein zweistelliger wahrheitsfunktionaler Junktor

P Q WederP nochQ

T T F

T F F

F T F

F F T ¬P ∧ ¬Q

“WederP nochQ” kann durch¬P∧ ¬Q ausgedr¨uckt werden.

(25)

Beispiel: ein dreistelliger wahrheitsfunktionaler Junktor

P Q R ♣(P,Q,R)

T T T T P∧Q∧R

T T F T P∧Q∧ ¬R

T F T F

T F F F

F T T T ¬P∧Q∧R

F T F F

F F T T ¬P∧ ¬Q∧R

F F F F

♣(P,Q,R) kann ausgedr¨uckt werden durch

(P∧Q∧R)∨(P ∧Q∧ ¬R)∨(¬P ∧Q∧R)∨(¬P∧ ¬Q∧R).

(26)

Logische ¨ Aquivalenzen des Konditionals und Bikonditionals

P →Q ⇔ ¬Q → ¬P P →Q ⇔ ¬P ∨Q

¬(P →Q) ⇔ P ∧ ¬Q

P ↔Q ⇔ (P →Q)∧(Q →P) P ↔Q ⇔ (¬P∨Q)∧(P∨ ¬Q) P ↔Q ⇔ (P∧Q)∨(¬P∧ ¬Q)

(27)

Bikonditional-Beseitigung

First-order rules (F)/ 559

Biconditional Introduction (↔ Intro)

P ... Q Q ... P

. P↔Q

Biconditional Elimination (↔ Elim)

P↔Q(or Q↔P) ...

P...

. Q

Reiteration (Reit)

P...

. P

First-order rules ( F )

Identity Introduction (=Intro)

. n=n

Identity Elimination (= Elim)

P(n)... n=m

...

. P(m)

First-order rules (F)

(28)

Bikonditional-Einf¨ uhrung

First-order rules (F)/ 559

Biconditional Introduction (↔ Intro)

P ... Q Q ... P

. P↔Q

Biconditional Elimination (↔ Elim)

P↔Q(orQ↔P) ...

P...

. Q

Reiteration (Reit)

P...

. P

First-order rules ( F )

Identity Introduction (=Intro)

. n=n

Identity Elimination (=Elim)

P(n)... n=m

...

. P(m)

First-order rules (F)

(29)

Korrektheit und Vollst¨ andigkeit

(30)

Objekt- und Metatheorie

Objekttheorie = Beweiseinnerhalb eines formalen Beweissystems (z. B. Fitch)

Metatheorie = Beweise¨uberein formales Beweissystem

(31)

Tautologische Folgerungen

S ist einetautologische Folgerung aus einer Menge T von S¨atzen, geschrieben als

T |=T S,

genau dann, wenn f¨ur alle Belegungen der atomaren Formeln mit Wahrheitswerten, die alle S¨atze vonT wahr machen, auch S wahr ist.

(32)

Aussagenlogische Beweise

Ein SatzS istFT-beweisbar vonT, in Zeichen T `T S,

wenn fürS ein formaler Beweis mit Prämissen aus T existiert, der allein die Beseitigungs- und Einführungsregeln für∨,∧,¬,→,↔ sowie⊥ benutzt.

Wir bemerken erneut, dassT auch unendlich sein kann.

(33)

Korrektheit

Theorem

Das BeweissystemFT ist korrekt, d. h., wenn T `T S

gilt, dann auch

T |=T S. Beweis.

Im Buch als Widerspruchsbeweis, unter Ausnutzung des ersten ung¨ultigen Schrittes.

Hier durch vollständige Induktion über die Länge des Beweises (siehe Lemma).

(34)

Korrektheit

Das Theorem folgt aus folgendem Lemma:

Lemma

F¨ur m≥1 sei Tm die Menge der Pr¨amissen, die in Beweisschritt m in Kraft sind. Dann folgt die Formel in Zeile m logisch ausTm. Beweis.

Induktionsanfang: die erste Zeile ist immer eine Pr¨amisse, und damit sogar Element vonT1.

Induktionsschritt: Das Lemma gelte f¨ur die erstenm Zeilen eines Beweises. Wir betrachten die Formel in derm+ 1-ten Zeile. Falls sie eine Pr¨amisse ist, ist sie sogar Element vonTm+1. Falls nicht, wurde eine Regel angewandt. Wir machen eine Fallunterscheidung nach der angewandten Regel.

(35)

Beweis-Fall: Disjunktions-Einf¨ uhrung

Summary of Rules

Propositional rules ( F

^T

)

P1

⇓ P_n

...

. P₁∧. . .∧P_n

P1∧. . . ∧Pi∧. . .∧Pn

... . P_i

Pi

...

. P₁∨. . .∨P_i∨. . .∨P_n

P1∨. . . ∨Pn

... P₁

... S

⇓ P_n

... S ...

. S

557 Seik die Zeile des Support-Steps Pi. Nach

Induktionsvoraussetzung folgt Pi logisch aus Tk ⊆ Tm+1. Damit folgt auch P1∨ · · · ∨Pn ausTm+1

(36)

Beweis-Fall: Disjunktions-Beseitigung

Propositional rules (F^T)

P1

⇓ Pn

...

. P1∧. . .∧Pn

Conjunction Elimination (∧Elim)

P1∧. . .∧Pi∧. . .∧Pn

...

. Pi

Pi

...

. P1∨. . .∨Pi∨. . .∨Pn

Disjunction Elimination (∨Elim)

P1∨. . .∨Pn

... P1

... S

⇓ Pn

... S ...

. S

557

Zur Vereinfachung nehmen wir an, dassn = 2. Seien k₁,s₁,k₂,s₂ die Zeilen f¨ur P1, das erste S, P2 und das zweite S. Nach

Induktionsvoraussetzung ist f¨ur i = 1,2 S eine logische Folgerung aus Tki =Tm+1∪ {Pi}, und P1∨P2 eine logische Folgerung aus Tm+1. Eine Belegung, die Tm+1 wahr macht, muss daher P1∨P2 wahr machen, und somit auch eines der Pi. Damit ist Tki

wahr, und somit auch S.

(37)

Korrektheit

(38)

Vollst¨ andigkeit

Theorem 2(Bernays, Post). Das BeweissystemFT ist vollst¨andig, d. h., wenn

T |=T S gilt, dann auch

T `T S.

Der Beweis erfolgt sp¨ater in dieser Lehrveranstaltung.

(39)