NOT FOR QUOTATION WITHOUT PERMISSION OF THE AUTHOR
B A S I C PROBLEMS OF LONG-TEW INFERENCE INTO THE FUTURE
Z b i g n i e w P a w l o w s k i
J a n u a r y 1 9 8 0 F P - 8 0 - 1 1
W o r k i n g P a p e r s a r e i n t e r i m r e p o r t s o n work o f t h e I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o r A p p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s a n d h a v e r e c e i v e d o n l y l i m i t e d r e v i e w . V i e w s o r o p i n i o n s e x p r e s s e d h e r e i n d o n o t n e c e s s a r i l y r e p r e - s e n t t h o s e of t h e I n s t i t u t e o r of i t s N a t i o n a l Member O r g a n i z a t i o n s .
INTERNATIONAL INSTITUTE FOR APPLIED SYSTEMS ANALYSIS A-2361 L a x e n b u r g , A u s t r i a
THE AUTHOR
Z b i g n i e w P a w l o w s k i i s a P r o f e s s o r o f e c o n o m e t r i c s a t t h e E c o n o m e t r i c I n s t i t u t e i n Katowice, P o l a n d .
PREFACE
W a t e r r e s o u r c e s y s t e m s h a v e b e e n a n i m p o r t a n t p a r t o f r e s o u r c e s a n d e n v i r o n m e n t r e l a t e d r e s e a r c h a t IIASA s i n c e i t s i n c e p t i o n . A s demands f o r w a t e r i n c r e a s e r e l a t i v e t o s u p p l y , t h e i n t e n s i t y a n d e f f i c i e n c y o f w a t e r r e s o u r c e s management m u s t b e d e v e l o p e d f u r t h e r . T h i s i n t u r n r e q u i r e s a n i n c r e a s e i n t h e d e g r e e o f d e t a i l a n d s o p h i s t i c a t i o n o f t h e a n a l y s i s , i n c l u d i n g e c o n o m i c , s o c i a l a n d e n v i r o n m e n t a l e v a l u a t i o n o f w a t e r r e s o u r c e s d e v e l o p m e n t a l t e r n a t i v e s a i d e d b y a p p l i c a t i o n o f m a t h e m a t i c a l m o d e l l i n g t e c h n i q u e s , t o g e n e r a t e i n p u t s f o r p l a n n i n g , d e s i g n , a n d o p e r a t i o n a l d e c i s i o n s .
D u r i n g t h e y e a r o f 1978 i t was d e c i d e d t h a t p a r a l l e l t o t h e c o n t i n u a t i o n o f demand s t u d i e s , a n a t t e m p t w o u l d b e made t o i n - t e g r a t e t h e r e s u l t s o f o u r s t u d i e s o n w a t e r demands w i t h w a t e r s u p p l y c o n s i d e r a t i o n s . T h i s new t a s k w a s named " R e g i o n a l W a t e r Management" ( T a s k 1 , R e s o u r c e s a n d E n v i r o n m e n t A r e a ) .
A l t h o u g h t h i s p a p e r d o e s n o t r e f e r e x p l i c i t l y t o w a t e r r e s o u r c e s , it i s c o n c e r n e d w i t h t h e p r o b l e m s o f p r i m a r y i m p o r - t a n c e t o w a t e r r e s o u r c e s p l a n n i n g . I n s e v e r a l c o u n t r i e s v e r y s i g n i f i c a n t c a p i t a l i n v e s t m e n t s a r e b e i n g made a n d c o n t e m p l a t e d
f o r t h e f u t u r e f o r w a t e r s u p p l y p r o j e c t s o f i n c r e a s i n g s i z e . The p u r p o s e o f t h e s e p r o j e c t s i s t o s a t i s f y f u t u r e w a t e r demands w h i c h o f t e n a r e e s t i m a t e d ( p r e d i c t e d ) o n t h e b a s i s o f s t a t i s - t i c a l l y d e r i v e d demand r e l a t i o n s h i p s .
The p a p e r e x a m i n e some o f t h e m a j o r p r o b l e m s a n d d i f f i c u l - t i e s i n v o l v e d i n t h e u s e o f s t a t i s t i c a l l y d e r i v e d r e l a t i o n s h i p s f o r l o n g - t e r m i n f e r e n c e i n t o t h e f u t u r e .
J a n u s z K i n d l e r T a s k L e a d e r
CONTENTS
1 . THE D E F I N I T I O N O F LONG-TERM I N F E R E N C E I N T O THE FUTURE
2 . SOME MAJOR PROBLEMS AND D I F F I C U L T I E S
3. TERMINOLOGY
4 . V A R I A B I L I T Y O F STRUCTUFViL PARAMETERS
4 . 1 R e g u l a r S h i f t s o f P a r a m e t e r s i n T i m e
4 . 2 R a n d o m V a r i a t i o n o f S t r u c t u r a l P a r a m e t e r s 4 . 3 V a r i a t i o n I n d u c e d b y a T h i r d V a r i a b l e
5 . UNCERTAINTY ABOUT THE FUNCTIONAL
FORM O F THE MODEL
6 . UNCERTAINTY ABOUT THE VALUES O F EXPLANATORY V A R I A B L E S O F THE MODEL 7 . THE E F F E C T O F NON-STATIONARITY O F
THE P R O B A B I L I T Y D I S T R I B U T I O N O F C t
8 . EMERGENCE O F NEW FACTORS 9 . HORIZON O F P R E D I C T I O N REFERENCES
BASIC PROBLEMS OF LONG-TERM INFERENCE I N T O THE FUTURE Zbigniew Pawlowski
1 . THE DEFINITION OF LONG-TERM
INFERENCE I N T O THE FUTURE
W e s h a l l c o n s i d e r t h e s r o b l e n o f l o n g - t e r m i n f e r e n c e i n t o t h e f u t u r e . L e t
b e t h e model which i s t o b e u s e d f o r t h i s p u r p o s e . I n ( 1 ) Y d e n o t e s t h e endogenous v a r i a b l e whose v a l u e a t t h e f u t u r e t i m e
T i s t o b e f o r e s e e n w h i l e t h e X i ' s a r e t h e e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s and [ i s t h e random component o f t h e model. L e t t l d e n o t e t h e p r e s e n t t i m e p e r i o d and l e t To b e t h e t i m e i n t e r v a l from which s t a t i s t i c a l d a t a w e r e u s e d f o r t h e e s t i m a t i o n o f model ( 1 )
.
I t must b e o b s e r v e d t h a t t h e problem o f l o n g - t e r m i n f e r e n c e i n t o t h e f u t u r e o c c u r s n o t o n l y when t h e d i f f e r e n c e T
-
t l i s l a r g e b u t s u c h may b e a l s o t h e s i t u a t i o n when T-
t l i s r e l a t i v e - l y s m a l l , p r o v i d e d T i s v e r y d i s t a n t from To. I n t h e l a t t e r c a s e w e a r e c o n f r o n t e d by a s p e c i a l c a s e o f l o n g - t e r m i n f e r e n c e i n t ot h e f u t u r e due t o t h e f a c t t h a t t h e model t o b e u s e d i s o u t d a t e d . - 1 -
Long-term i n f e r e n c e i n t o t h e f u t u r e c r e a t e s s p e c i a l prob- lems b e c a u s e v e r y o f t e n o n e can d o u b t i f i n f a c t i t w i l l
f u l f i l l t h e b a s i c p r e c o n d i t i o n s f o r s u c h i n f e r e n c e . F o r t h e s a k e o f c l a r i t y o f e x p o s i t i o n l e t us remind t h e r e a d e r t h e s e f i v e p r e c o n d i t i o n s (see Pawlowski ( 7 973a) )
.
1 ) I f p r e d i c t i o n o r f o r e c a s t 1 ) f o r Y i s s o u q h t t h e n a model must be h a d , s u c h t h a t Y p l a y s t h e r o l e o f t h e endogenous v a r i a b l e o f t h a t model.
2 ) The model must be v a l i d n o t o n l y f o r To b u t f o r t h e whole t i m e i n t e r v a l from t h e b e g i n n i n g o f To up t o t h e e n d o f T .
3) The p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f
5
must be t h e same i nTo and i n t i m e T.
4 ) The v a l u e s o f t h e e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s X , , X 2 , - . . , % a t t i m e T must b e known a t t i n e t
7 '
5 ) The model u s e d f o r i n f e r e n c e i n t o t h e f u t u r e c a n be , e x t r a p o l a t e d o u t s i d e t h e sample-observed r a n g e o f
v a r i a t i o n o f i t s e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s .
O b v i o u s l y , when t h e d i s t a n c e between T and To i s l a r g e ,
i t i s q u i t e l i k e l y t h a t a number o f t h e s e p r e c o n d i t i o n s 2 ) w i l l n o t be m e t , and t h i s i s e s p e c i a l l y t r u e o f p r e c o n d i t i o n s ( 2 ) , ( 3 ) and ( 4 ) . A s i t w i l l be shown i n t h e s u b s e q u e n t s e c t i o n s o f t h i s p a p e r , l o n g - t e r m i n f e r e n c e i n t o t h e f u t u r e i s s t i l l
I ) The d i s t i n c t i o n between a p r e d i c t i o n and a f o r e c a s t i s c o n n e c t e d w i t h t h e t y p e o f model u s e d f o r i n f e r e n c e i n t o t h e f u t u r e and w i l l b e e x p l a i n e d i n s e c t i o n 3 .
2, L e t us n o t e t h a t t h e s e p r e c o n d i t i o n s c a n b e l o o k e d upon a s the n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r making any i n f e r e n c e i n t o t h e f u t u r e . While t h e y do n o t g u a r a n t e e a good r e s u l t , o n e c a n see t h a t t h e i n f e r e n c e w i l l b e v o i d o f l o g i c a l a n d p r o b a b i l - i s t i c grounds i f a t l e a s t o n e o f t h e s e p r e c o n d i t i o n s i s n o t f u l f i l l e d .
p o s s i b l e i f t h e model g e t s o b s o l e t e i n a s l o w way, i . e . when t h e c h a n g e s which o c c u r i n t h e t r u e r e l a t i o n between Y and X I
,
X 2 , .. . ,
X a n d i n t h e d i s t r i b u t i o n o f5
a r e r a t h e r r e g u l a rk
and smooth. A l s o t h e problem o f p r e c o n d i t i o n ( 4 ) r e q u i r i n g a n e x a c t knowledge o f t h e v a l u e s o f e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s a t t i m e
T c a n b e c i r c u m v e n t e d . F o r t h i s r e a s o n i t i s sometimes s a i d t h a t t h e l o n g - t e r m i n f e r e n c e i n t o t h e f u t u r e from a model c a n be made u n d e r r e l a x e d b a s i c p r e c o n d i t i o n s .
2. SOME MAJOR PROBLEMS AND DIFFICULTIES
T h e r e i s a number o f s i t f a l l s a s t a t i s t i c i a n i s c o n f r o n t e d w i t h when u s i n g a model o f t y p e ( 1 ) f o r l o n g - t e r m i n f e r e n c e i n t o t h e f u t u r e . R e s t r i c t i n g o u r a t t e n t i o n t o t h e most impor- t a n t o n e s , o n e must t a k e i n t o a c c o u n t t h e f o l l o w i n g p o s s i b i l i t i e s :
a ) The f u n c t i o n a l form o f t h e model, i . e . t h e t y p e o f f u n c t i o n f , may change i n t i m e .
b ) While t h e t y p e o f f u n c t i o n r e p r e s e n t e d by f r e m a i n s t h e same from To up t o t i m e T I t h e r e a r e c h a n g e s i n t h e v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r s which e n t e r f u n c t i o n f . c ) The v a l u e s o f t h e e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s X 1 , X 2 ,
...,
Xk ( o r o f some o f them) a r e n o t known a t t i m e f l when i n f e r e n c e i s made. 3 )
d ) The p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e random component
5
o f t h e model may change i n t i m e , c h a n g i n g t h u s t h e d e g r e e o f a c c u r a c y w i t h which t h e model d e s c r i b e s t h e b e h a v i o r o f Y .
'
) L e t u s o b s e r v e t h a t t h i s p r e c o n d i t i o n i s a u t o m a t i c a l l y s a t i s f i e d when ( 1 ) r e p r e s e n t s a t r e n d model s i n c e t h e o n l y e x p l a n a t o r y v a r i a b l e i s t h e n t i m e v a r i a b l e whose v a l u e a tt i n e T i s o b v i o u s l y known.
e ) New f a c t o r s may a r i s e and i n f l u e n c e Y w h i l e some o f t h e e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s a p p e a r i n g i n t h e model may c e a s e t o b e r e l e v a n t .
I n any p r a c t i c a l c i r c u m s t a n c e s t h e s t a t i s t i c i a n may be c o n f r o n t e d w i t h j u s t o n e o f t h e d a n g e r s e l i c i t e d h e r e o r h e may be f a c e d w i t h a c o m b i n a t i o n o f a number o f them. Unfor- t u n a t e l y , one c a n n o t t e l l i n advance which o f t h e s i t u a t i o n s i s most l i k e l y t o o c c u r n o r i t would be c o r r e c t t o c l a i m t h a t t h e r e i s any g e n e r a l r e l a t i o n between t h e s i z e o f p r o b a b i l i t y o f s u c h a d a n g e r and t h e d i s t a n c e between To a n d T. T h e r e a r e v a r i a b l e s whose b e h a v i o r i n t i m e i s v e r y r e g u l a r and t h e r e a r e
so e r r a t i c t h a t i t i s most d i f f i c u l t t o f o r e s e e t h e i r v a l u e s even i n t h e c a s e o f s h o r t - r u n i n f e r e n c e .
3 . TERMINOLOGY
B e f o r e w e s t a r t t o d i s c u s s t h e f i v e c a s e s l i s t e d i n t h e s r e v i o u s s e c t i o n , w e s h a l l i n t r o d u c e a number o f t e r m i n o l o g i c a l d e f i n i t i o n s which w i l l f a c i l i t a t e o u r e x p o s i t i o n .
By p r e d i c t i o n o r f o r e c a s t w i l l be d e n o t e d h e n c e f o r t h t h e n u m e r i c a l r e s u l t o f i n f e r e n c e i n t o t h e f u t u r e , t h e term " p r e d i c - t i o n " r e f e r r i n g t o t h e c a s e when t h e model ( 1 ) i s a c a u s a l one and t h e t e r m " f o r e c a s t " r e f e r r i n g t o a l l o t h e r t y p e s o f
models. ') A c c o r d i n g l y , t h e v a r i a b l e t o which r e f e r s t h e pro- c e s s o f i n f e r e n c e i n t o t h e f u t u r e w i l l b e c a l l e d t h e p r e d i c t e d
( o r t h e f o r e c a s t ) v a r i a b l e .
~ h e s e may b e , f o r i n s t a n c e , t r e n d - and periodic-movement models, s t o c h a s t i c p r o c e s s models, a d a p t i v e models, e t c .
F u t u r e t i m e p e r i o d T f o r w h i c h ? r e d i c t i o n o r f o r e c a s t i s s o u g h t w i l l b e r e f e r r e d t o a s t h e p r e d i c t e d t i m e p e r i o d .
The d i s t a n c e b e t w e e n t h e p r e d i c t e d t i m e p e r i o d a n d t h e p r e s e n t o n e , i . e . t h e d i f f e r e n c e T
-
t l,
i s known a s t h e p r e d i c - t i o n ( o r f o r e c a s t ) l e a d w h i l e t h e d i s t a n c e b e t w e e n T a n d To w i l l b e t e r m e d t h e p r e d i c t i v e d e l a y o f t h e m o d e l . 54 . VARIABILITY OF STRUCTURAL PARAMETERS
F i r s t , w e s h a l l d i s c u s s t h e p r o b l e m o f v a r i a b i l i t y o f s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s o f t h e model. T h r e e t y p i c a l s i t u a t i o n s m u s t b e c o n s i d e r e d , namely: a ) s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s e x h i b i t c o n t i n u o u s a n d r a t h e r r e g u l a r s h i f t s i n t i m e , b ) t i m e - c h a n g e s o f p a r a m e t e r s a r e s o e r r a t i c t h a t t h e y can b e c o n s i d e r e d random, c ) s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s c h a n g e i n t i m e , i n r e l a t i o n t o c h a n g e s o f a t h i r d ( o b s e r v a b l e ) v a r i a b l e .
4 . 1 . R e g u l a r S h i f t s o f P a r a m e t e r s i n T i m e
F o r t h e s a k e o f e a s i e r a r g u m e n t l e t u s assume model ( 1 ) t o b e a l i n e a r o n e , s o t h a t t h e r e i s
The s i m p l e s t way t o c o p e w i t h t h i s t y p e o f p a r a m e t e r s h i f t s i s t o assume Bi's t o b e some e x p l i c i t f u n c t i o n o f t i m e . Plost o f t e n l i n e a r c h a n g e s a r e assumed
5 ) ~ o s h o r t e n t h e a r g u m e n f w e s h a l l u s e h e n c e f o r t h o n l y t h e t e r m p r e d i c t i o n u n l e s s t h e model e x p l i c i t l y h a s t h e f o r m which p e r m i t s u s i n g i t f o r f o r e c a s t i n g o n l y .
where t d e n o t e s t i m e v a r i a b l e . S u b s t i t u t i n g ( 3 ) i n t o ( 2 ) l e a d s t o a new model
A s i s e a s i l y s e e n , t h i s i s a g a i n a l i n e a r model i n w h i c h , b e s i d e s t h e o r i g i n a l e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s X i ' s , a p p e a r new o n e s , namely t X i t s w h i c h c a n b e i n t e r p r e t e d a s i n t e r a c t i o n o f
t i m e a n d Xi. Once t h e model (5) i s e s t i m a t e d , t h e e s t i m a t e s bi
'
s o f Bi s p r o v i d e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e d i r e c t i o n a n d mag-n i t u d e o f s t r u c t u r a l p a r a m e t e r c h a n g e s .
F o r p r e d i c t i o n p u r p o s e t h e s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s m u s t b e a d j u s t e d f o r t i m e T a n d h e n c e , p r e d i c t i o n v a l u e i s c o q u t e d f r o m t h e model
w h e r e XiT d e n o t e s t h e v a l u e o f Xi assumed f o r p e r i o d T . I f t h e p r i n c i p l e o f u n b i a s e d p r e d i c t i o n i s u s e d 6 ) t h e n p r e d i c t i o n i s e q u a l t o t h e r i g h t - h a n d s i d e o f ( 6 ) i n w h i c h
5
h a s b e e n p u t e q u a l t o z e r o .Sometimes o n e d o e s n o t h a v e e n o u g h a p r i o r i g r o u n d s t o assume l i n e a r ( o r a n y o t h e r s p e c i f i c ) t i m e v a r i a t i o n o f p a r a - meters. I f t h e l e n g t h o f t i m e s e r i e s u s e d f o r e s t i m a t i o n o f
6 ) ~ h e p r i n c i p l e o f u n b i a s e d p r e d i c t i o n c o n s i s t s i n s e t t i n g p r e d i c t i o n e q u a l t o t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e p r e d i c t e d v a r i a b l e i n t i m e T .
t h e model i s l a r g e enough one c a n i n f e r a b o u t t h e c h a r a c t e r o f s u c h c h a n g e s by a n a l y z i n g sample d a t a .
L e t n be t h e n u n b e r o f s a m p l e o b s e r v a t i o n s and l e t m b e a p o s i t i v e i n t e g e r much s m a l l e r t h a n n . The e x i s t i n g t i m e s e r i e s d a t a a r e t h e n u s e d t o g e n e r a t e n-m+l s u b s a m p l e s . The f i r s t sub- s a m p l e i n c l u d e s t h e d a t a r e f e r r i n g t o m p e r i o d s o f t i m e
-
fromt h e f i r s t t o t h e m-th sample y e r i o d , t h e s e c o n d s u b s a m p l e i n c l u d e s t h e d a t a from t h e s e c o n d t i l l - t h e ( m + l ) t h sample p e r i o d , e t c . , and t h e l a s t s u b s a m p l e i s b a s e d on t h e d a t a from t h e (n-m+l ) t h p e r i o d up t o t h e l a s t s a m p l e p e r i o d .
Each s u b s a m p l e i s u s e d t o e s t i m a t e t h e model ( 2 ) . Thus, f o r e v e r y p a r a m e t e r Bi t h e r e a r e n-m+l e s t i m a t e s o r d e r e d i n t i m e . P l o t t i n g t h e s e e s t i m a t e s a g a i n s t t i m e c a n u s u a l l y g i v e a n i d e a a s t o how t h e v a r i o u s Bils c h a n g e i n t i m e
-
i f t h e y c h a n g e a t a l l . 74 . 2 . Random V a r i a t i o n o f S t r u c t u r a l P a r a m e t e r s
Such v a r i a t i o n c a n b e s t be d e t e c t e d by u s i n g t h e a p p r o a c h o f c o n s e c u t i v e s u b s a r n p l e s , d e s c r i b e d a b o v e . I f t h e s e q u e n c e o f p a r a m e t e r e s t i m a t e s i s e r r a t i c a n d t h e v a r i a n c e o f o b s e r v e d
e s t i m a t e s i s h i g h 8 ) t h e n o n e c a n c o n c l u d e t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g s t r u c t u r a l p a r a m e t e r c h a n g e s i t s v a l u e from p e r i o d t o p e r i o d i n
a random way.
' ) ~ t i s q u i t e c o n c e i v a b l e t h a t w h i l e some s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s v a r y i n t i m e o t h e r r e m a i n c o n s t a n t .
* ) T h e a s s u m p t i o n o f h i g h v a r i a n c e i s e s s e n t i a l . I n t h e c a s e o f s m a l l d i f f e r e n c e s o f c o n s e c u t i v e e s t i m a t e s one s h o u l d r a t h e r c o n c l u d e t h a t t h e s e e s t i m a t e s v a r y i n a random way w h i l e t h e t r u e p a r a m e t e r v a l u e r e m a i n s c o n s t a n t i n t i m e .
P r e d i c t i o n c a n t h e n be made u s i n g o n e o f t h e f o l l o w i n g two a p p r o a c h e s : 1 ) a v e r a g i n g p r e d i c t i o n w i t h r e s p e c t t o random v a r i a t i o n o f p a r a m e t e r s , 2 ) u s i n g t h e o p t i m i s t i c and p e s s i m i s t i c p r e d i c t i o n s . The two a p p r o a c h e s w i l l be b r i e f l y o u t l i n e d i n
s e c t i o n 6 o f t h i s p a p e r . 3
4 . 3 . V a r i a t i o n I n d u c e d by a T h i r d V a r i a b l e
T h e r e a r e c a s e s when a s t r u c t u r a l p a r a m e t e r i s a f u n c t i o n ( d e t e r m i n i s t i c o r s t o c h a s t i c ) o f a t h i r d v a r i a b l e . I n p r a c t i c e , s u c h v a r i a b l e c a n b e u s u a l l y i d e n t i f i e d by t h e o r e t i c a l argument u s i n g a v a i l a b l e s u b j e c t - m a t t e r knowledge o r e m p i r i c a l e v i d e n c e r e f e r r i n g t o t h e a r e a t o which b e l o n g s t h e p r e d i c t e d v a r i a b l e . Once s u c h t h i r d v a r i a b l e h a s been i d e n t i f i e d
-
l e t u s d e n o t e it by Z-
t h e problem r e d u c e s t o a s i m p l e o n e .One may e i t h e r u s e t h e a p p r o a c h s i m i l a r t o t h a t d e s c r i b e d i n ( a ) u s i n g , i n s t e a d o f e q u a t i o n ( 3 ) a s i m i l a r model, namely
which e v e n t u a l l y l e a d s t~ t h e ?.ode1 w i t h i n t e r a c t i o n s o f X i ' s w i t h Z
A l t e r n a t i v e l y
-
and t h i s i s e s p e c i a l l y u s e f u l i n n o n - l i n e a r models-
o n e c a n a s s u n e a s t r u c t u r a l 2 a r a m e t e r t o b e p r o p o r -t i o n a l t o v a r i a b l e Z . A s a n example, we p r e s e n t a s i m p l e
he method o f b u i l d i n g o p t i n i s t i c and p e s s i m i s t i c p r e d i c t i o n s h a s been d e s c r i b e d i n a d e t a i l e d way i n Pawlowski ( 1 9 7 8 a ) .
m o d i f i c a t i o n o f Cobb-Douglas p r o d u c t i o n f u n c t i o n (see Pawlowski, 1 9 7 0 ) where t h e r e a r e two a u x i l i a r y v a r i a b l e s Z 1 and Z 2 :
where Q d e n o t e s o u t p u t , L i s l a b o r i n p u t , K s t a n d s f o r c a p i t a l , Z y f o r t e c h n i c a l e q u i p m e n t o f l a b o r and Z 2 i s a v a r i a b l e m e a s u r i n g
t h e l e v e l o f m a n a g e r i a l a b i l i t y . A s i s s e e n , c o n t r a r y t o t h e c l a s s i c a l Cobb-Douglas p r o d u c t i o n f u n c t i o n , t h e e x p o n e n t s o f L and K a r e n o t c o n s t a n t b u t v a r y a c c o r d i n g t o c h a n g e s o f Z l a n d . Z 2 .
A s i n t h e c a s e o f t i m e - v a r i a t i o n o f p a r a m e t e r s f w h e n making p r e d i c t i o n , o n e must s e t t h e v a l u e s o f t h i r d - v a r i a b l e - d e p e n d e n t p a r a m e t e r s a t t h e l e v e l c o r r e s p o n d i n g t o t h e v a l u e assumed f o r
Z v a r i a b l e i n t i n e T .
5 . UNCERTAINTY ABOUT THE FUNCTIONAL
FORM OF THE MODEL
While t h e r e a r e u s u a l l y few r e a s o n s why t h e f u n c t i o n a l form o f t h 2 model ( i . e . t h e c l a s s o f f f u n c t i o n ) s h o u l d change i n t i m e , o n e i s v e r y o f t e n c o n f r o n t e d w i t h t h e s e r i o u s problem o f u n c e r t a i n t y if t h e e s t i m a t e d f u n c t i o n a l form i s . r e a l l y t h e c o r r e c t o n e . The problem i s e v e r p r e s e n t i n any e c o n o m e t r i c a n a l y s i s b u t i t i s e s p e c i a l l y i n p o r t a n t when a l o n g - t e r m i n f e r - e n c e i n t o t h e f u t u r e i s s o u g h t . With l a r g e p r e d i c t i o n ( o r f o r e - c a s t i n g ) l e a d e v e n s m a l l e s t i m a t i o n e r r o r s o f f u n c t i o n f w i t h i n t h e o b s e r v e d s a m p l e v a r i a t i o n o f e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s may become
v e r y s u b s t a n t i a l when u s i n g t h e model w e l l o u t o f t h e o b s e r v e d r e g i o n o f v a r i a t i o n o f e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s . 1 0 )
' O ) ~ n d t h i s p r e c i s e l y ha?penn q u i t e o f t e n when l o n g - t e r m i n f e r - e n c e i s n e e d e d . A s most o f t h e e x 2 l a n a t o r y v a r i a b l e s e x h i b i t monotonic t r e n d s , t h e i r v a l u e s c o r r e s p o n d i n g t o p e r i o d s i n a d l s t a n t f u t u r e w i l l o b v i o u s l y c o i n c i d e w i t h v a l u e s o b s e r v e d in the s a n n l ~
S i n c e t h e s i t u a t i o n i s e s p e c i a l l y t y p i c a l when a t r e n d model i s u s e d t h e f o l l o w i n g a r g u m e n t s w i l l assume t h e model t o h a v e t h e form
G e n e r a l i z a t i o n o f t h e r e s u l t s t o o t h e r c l a s s e s o f m o d e l s i s s t r a i g h t f o r w a r d .
Two a p p r o a c h e s a t l e a s t c a n b e recommended t o c o p e w i t h t h e problem. The f i r s t o f them c o n s i s t s i n c o n s t r u c t i n g t h e r e g i o n o f f u n c t i o n a l u n c e r t a i n t y o f i n f e r e n c e . L e t u s s u p p o s e t h a t u s i n g s a m p l e d a t a i t i s p o s s i b l e t o f i n d a number o f t r e n d f u n c t i o n s which f i t t h e s e d a t a w i t h r o u g h l y t h e same d e g r e e o f a c c u r a c y . L e t t h e s e t r e n d f u n c t i o n s b e f , ( t )
,
f 2 ( t ), . . . ,
f s ( t ).
The n e x t s t e p i s t o s e e k among t h e s e t r e n d f u n c t i o n s s u c h a o n e which g i v e s t h e h i g h e s t f o r e c a s t o f Y a t t i m e T a n d
a n o t h e r t r e n d f u n c t i o n w h i c h , f o r t h e same p r e d i c t e d t i m e p e r i o d , g i v e s t h e l o w e s t f o r e c a s t . S i n c e t h e way t h e f i ( t ) f u n c t i o n s a r e a l l o t t e d t h e i r numbers i s a r b i t r a r y , w e c a n assume t h e
f u n c t i o n g i v i n g t h e h i g h e s t f o r e c a s t t o be f
,
( t ) a n d t h a t g i v i n g* *
t h e l o w e s t o n e t o b e f, ( t ) . L e t u s now p u t f , (T)
= yT a n d
* * **
f s (T) = yT
.
The i n t e r v a l [ y T , yT ] i s t h e r e g i o n o f f u n c t i o n a l u n c e r t a i n t y o f i n f e r e n c e I ) a n d ~ r o v i d e s t h e r a n g e o f v a l u e s o f t h e p r e d i c t e d v a r i a b l e w h i c h o n e m u s t t a k e i n t o a c c o u n t b e c a u s e o f d o u b t s a s t o t h e r i g h t form o f t h e t r e n d f u n c t i o n . O b v i o u s l y , t h e s i t u a t i o n i s t h e b e t t e r a s t h e i n t e r v a l i s n a r r o w e r .'"The t e r m " r e g i o n o f u n c e r t a i n t y " i s due t o t h e f a c t t h a t , g e n e r a l l y s p e a k i n g , o n e may c o n s i d e r a number o f p r e d i c t e d t i m e 2 e r i o d s T , , T
...,
Ts a n d o n e i s l e a d t o c o n s i d e r t h e n a r e g i o n c o m p r l s e d f b e t w e e n t h e g r a p h s o f f u n c t i o n s y i v i n gf o r T , , T 2 , - . . t T p t h e h i g h e s t a n d t h e l o w e s t v a l u e s o f f o r e c a s t s .
L e t
yT
d e n o t e t h e a v e r a g e f o r e c a s t 1 2 ) computed by u s i n g t h e f u n c t i o n s f i ( t ) . The r a t i oc a n be r e g a r d e d a s a measure o f a c c u r a c y o f i n f o r m a t i o n . The s e c o n d a p p r o a c h a p p l i e s a g a i n t o t r e n d f u n c t i o n s
f ( t )
,
f 2 ( t ), . . . ,
f s ( t ).
F o r e a c h o n e o f them, t h e c o r r e s p o n d i n g d i f f e r e n c e o r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i s o b t a i n e d . Once t h i s i s d o n e , s u c h e q u a t i o n i s s u b j e c t t o t h e o r e t i c a l and e m p i r i c a l a n a l y s i s . The p u r p o s e o f t h e f i r s t o n e i s t o f i n d i f t h ee q u a t i o n i s c o n s i s t e n t w i t h t h e e x i s t i n g t h e o r e t i c a l knowledge a b o u t t h e p r e d i c t e d v a r i a b l e . T h i s t h e o r e t i c a l a n a l y s i s i s
s u p p l e m e n t e d by an e m p i r i c a l o n e , t h e aim o f which i s t o p r o v i d e i n f o r m a t i o n i f t h e e m b i r i c a l d a t a a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e dy- namic c h a r a c t e r i s t i c s r e s u l t i n g from t h e c o r r e s p o n d i n u d i f f e r e n c e
( o r d i f f e r e n t i a l ) e q u a t i o n .
Two s h o r t examples w i l l s u p p l e m e n t t h e t h e o r e t i c a l argument.
F i r s t , l e t u s s u p p o s e t h e t r e n d f u n c t i o n t o b e e x p o n e n t i a l . A well-known p r o p e r t y o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n i s t h a t f o r A t = c o n s t a n t , t h e c o r r e s p o n d i n g r e l a t i v e c h a n g e s o f f ( t ) a r e a l s o c o n s t a n t . Hence, t h e e m p i r i c a l a n a l y s i s s h o u l d c o n s i s t i n t h e a p p l i c a t i o n o f a n a p p r o p r i a t e s t a t i s t i c a l t e s t f o r t h e h y p o t h e s i s t h a t t h e o b s e r v e d r e l a t i v e c h a n g e s o f t h e endoqenous v a r i a b l e o f t h e n o d e l d i f f e r among e a c h o t h e r o n l y i n a ran do^. way.
1 2 ) 0 n t h e o t h e r hand
7,
can be t h o u g h t o f a s s y n t h e t i c f o r e c a s t b a s e d on t h e v a r i o u k c o n s i d e r e d t r e n dfunctions
f i ( t ) .The s e c o n d example r e f e r s t o power f u n c t i o n Y = a t B
.
A sc a n e a s i l y b e v e r i f i e d f o r t h i s c l a s s o f f u n c t i o n , t h e r e i s
Hence, t o c h e c k i f t h e t r e n d i s r e p r e s e n t e d by t h i s t y p e o f
f u n c t i o n o n e may t e s t i f t h e r e l a t i v e c h a n g e s o f Y a r e i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e v a l u e o f t i m e v a r i a b l e .
The a p p r o a c h c o n s i s t i n g i n t h e a n a l y s i s o f dynamic p r o p e r - t i e s o f v a r i o u s f u n c t i o n s , d e r i v e d from t h e i r d i f f e r e n c e o r d i f - f e r e n t i a l e q u a t i o n , r e s u l t s i n a n a p r i o r i e l i m i n a t i o n o f a num- b e r o f f i ( t ) f u n c t i o n s . T h i s u s u a l l y l e a d s t o n a r r o w e r r e g i o n o f f u n c t i o n a l u n c e r t a i n t y o f i n f e r e n c e .
6 . UNCERTAINTY ABOUT THE VALUES OF
EXPLANATORY VARIABLES OF THE MODEL
H e r e , a number o f d i f f e r e n t a p p r o a c h e s a r e p o s s i b l e , t h e i r c h a r a c t e r v a r y i n g a c c o r d i n g t o t h e amount o f i n f o r m a t i o n a v a i l - a b l e a b o u t t h e p r e d i c t e d t i r i l e p e r i o d and t o t h e d e s i r e d l e v e l o f s o p h i s t i c a t i o n o f t h e a n a l y s i s .
The s i m p l e s t p r o c e d u r e which c a n b e u s e d when t h e e x a c t v a l u e s o f t h e e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s a r e n o t known c o n s i s t s i n computing a s e t o f p r e d i c t i o n s , e a c h o f them c o r r e s p o n d i n g t o a d i f f e r e n t a s s u m p t i o n a b o u t X i T t s . A l t h o u g h v e r y s i m p l e , t h i s p r o c e d u r e i s n o t t o b e h i g h l y recommended s i n c e , i n f a c t , i t d o e s n o t p r o v i d e a s t r a i g h t f o r w a r d answer t o t h e q u e s t i o n : what w i l l b e t h e v a l u e o f t h e p r e d i c t e d v a r i a b l e a t t i m e T?
I n s t e a d , t h i s a p p r o a c h p r o v i d e s a number d f a n s w e r s l e a v i n g open t h e q u e s t i o n o f t h e d e t e r m i n i n g c o n d i t i o n s f o r YT.
A n o t h e r s i m p l e a p p r o a c h , u s e d o f t e n i n e c o n o m e t r i c s , i s t o r e l y on t h e o b s e r v e d t r e n d s o f e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s . 1 3 ) ~ e t g1 ( t )
,
g 2 ( t ), . . . ,
gk ( t ) be t h e o b s e r v e d t r e n d s o f t h e v a r i a b l e s Xi e n t e r i n g model ( 1.
By e x t r a p o l a t i n g t h e s e t r e n d s f o rt = T I o n e g e t s t h e a p p r o x i m a t e v a l u e s o f X i T 1 S . O b v i o u s l y , t h e e f f i c i e n c y o f t h i s method d e p e n d s on t h e f i t o f t r e n d func- t i o n s g i ( t ) w i t h r e a l d a t a a n d on t h e v a l i d i t y o f s u c h t r e n d s a l s o f o r p e r i o d s p o s t e r i o r t o sample i n t e r v a l T and t h i s i n t u r n
0
'
depends on t h e p r e d i c t i v e d e l a y o f t h e model.
I n c o u n t r i e s w i t h p l a n n e d economies o n e u s e s sometimes p l a n t a r g e t s a s XiT v a l u e s . A b e t t e r a p p r o x i m a t i o n , however, i s
p r o v i d e d by p r o d u c t s ciXiT
,
where XiT d e n o t e s p l a n t a r g e t f o r p e r i o d T and c i i s a p o s i t i v e c o e f f i c i e n t e x p r e s s i n g t h e e x p e c t e d d e g r e e o f f u l f i l l n e n t o f such t a r g e t .I f t h e e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s ( o r a t l e a s t some o f them) c a n b e c o n s i d e r e d a s random 1 4 ) and t h e i r p r o b a b i l i t y d i s t r i b u - t i o n s i n t i m e T i s known, i t i s p o s s i b l e t o b u i l d t h e s o - c a l l e d p r e d i c t i o n s a v e r a g e d w i t h r e s p e c t t o t h e d i s t r i b u t i o n o f e x - p l a n a t o r y v a r i a b l e s . F o r t h e s a k e o f s i m p l i c i t y , l e t u s assume t h e model t o b e l i n e a r ia:ld h e n c e o f form ( 2 ) ) and l e t GT ( x ) b e t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h e e x p l a n a t o r y
3 , The r e l a t i v e l y common u s e o f t h i s a p p r o a c h i n e c o n o m e t r i c s s t e m s from t h e f a c t t h a t economic v a r i a b l e s v e r y o f t e n e x h i b i t w e l l pronounced t r e n d s .
l 4 ) I n p a r t i c u l a r , o n l y some o f t h e e x g l a n a t o r y v a r i a b l e s nay b e random. L e t u s n o t e a l s o t h a t , a s a r u l e , a l a g g e d endo- genous v a r i a b l e a p p e a r i n g a s e x p l a n a t o r y must b e t r e a t e d a s a random o n e s i n c e i n t i m e t - L i t i s i n f l u e n c e d by
-
by d e f i n i t i o n a random v a r i a b l e .v a r i a b l e s i n t i m e T. P r e d i c t i o n a v e r a g e d w i t h r e s p e c t t o t h i s d i s t r i b u t i o n i s d e f i n e d a s ( s e e Pawlowski ( 1968) )
where A x d e n o t e s t h e r e g i o n o f p o s s i b l e v a r i a t i o n o f t h e ex- p l a n a t o r y v a r i a b l e s o f t h e model. A f t e r a number o f e a s y t r a n s f o r m a t i o n s ( 1 3 ) c a n b e e x p r e s s e d i n t h e f o l l o w i n g s i m p l e form
T h i s m e a n s t h a t g e t t i n g a n u n b i a s e d p r e d i c t i o n i n t h e
1 p r e s e n c e o f random e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s c o n s i s t s i n s u b s t i - t u t i n g f o r t h e s e v a r i a b l e s t h e i r e x p e c t e d v a l u e s a t t i m e T and e q u a t i n g t h e random component t o z e r o . I t c a n b e shown a l s o
( s e e Pawlowski ( 1973b) ) t h a t t h e v a r i a n c e o f p r e d i c t i o n ( 1 4 ) i s e q u a l t o
2 2
I n t h i s f o r m u l a D ( X i T ) s t a n d s f o r t h e v a r i a n c e o f X i T I D ( b i ) i s t h e v a r i a n c e o f t h e e s t i m a t e o f
Bi
w h i l e t h e symbol c o v ( - )L e
d e n o t e s c o v a r i a n c e . F i n a l l y oT r e p r e s e n t s t h e v a r i a n c e o f t h e random component 5 i n t i m e T .
BY s i m i l a r a r g u m e n t a s t h a t L e a d i n g t o p r e d i c t i o n ( 1 3 ) o n e c a n a l s o b u i l d p r e d i c t i o n s i n t h e c a s e when X i T 1 s a r e known w h i l e t h e s t r u c t u r a l 2 a r a m e t e r s a r e random. I f H ( B ) i s t h e p r o b - a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s t h e n p r e d i c t i o n a v e r a g e d w i t h r e s p e c t t o v a r i a t i o n o f p a r a m e t e r s i s d e f i n e d a s
which f i n a l l y l e a d s t o t h e f o r m u l a
The v a r i a n c e o f p r e d i c t i o n i n t h i s c a s e i s p r o v i d e d by t h e o b v i o u s m o d i f i c a t i o n o f ( 1 5 ) . One n i g h t c o n s i d e r a l s o p r e d i c - t i o n s a v e r a g e d b o t h w i t h r e s p e c t t o random v a r i a t i o n o f s t r u c - t u r a l p a r a m e t e r s a n d o f e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s
The s e a r c h f o r t h e v a r i a n c e o f p r e d i c t i o n l e a d s n o s , h o w e v e r , t o a v e r y c o m p l i c a t e d f o r m u l a .
F i n a l l y , two o t h e r a p p r o a c h e s c a n b e m e n t i o n e d . I f t h e v a l u e s o f t h e e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s i n t i m e T a r e unknown when p r e d i c t i o n i s made, o n e c a n a l s o make u s e o f t h e c o n c e p t o f o p t i m i s t i c a n d p e s s i m i s t i c p r e d i c t i o n o r t h a t o f a l t e r n a t i v e
he s i t u a t i o n o f random v a r i a t i o n o f p a r a m e t e r s h a s a l r e a d y been i n t r o d u c e d i n s u b s e c t i o n 4b o f t h i s p a p e r .
p r e d i c t i o n s . These two methods h a v e been d e s c r i b e d i n d e t a i l by Pawlowski ( 1 978b) s o t h e r e seems no p o i n t t o r e p e a t t h e r e s p e c t i v e a l g o r i t h m s i n f u l l d e t a i l s .
I t must b e p o i n t e d , however, t h a t t h e r a t i o n a l e o f o p t i m i s t i c a n d p e s s i m i s t i c p r e d i c t i o n s c a n a l s o b e u s e d i n t h e c a s e o f r a n - don s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s . To t h i s g e n e r a l i z a t i o n , w e s h a l l d e v o t e now some s p a c e .
S i n c e t h e e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s assume p o s i t i v e v a l u e s t h e r e i s no n e e d
-
a s i n t h e c l a s s i c a l case o f p e s s i m i s t i c a n d o p t i m i s t i c p r e d i c t i o n s-
t o s u b d i v i d e t h e s e t o f e x p l a n a t o r yv a r i a b l e s i n t o two s u b s e t s . I n o r d e r t o b u i l d a n o p t i m i s t i c p r e d i c t i o n s u c h v a l u e s are s u b s t i t u t e d f o r s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s which a r e f a v o r a b l e from t h e v i e w p o i n t o f f o r m a t i o n o f t h e
p r e d i c t e d v a r i a b l e , t h e p r o b a b i l i t y o f g e t t i n g s t i l l " b e t t e r "
v a l u e s f o r e a c h o f t h e s e p a r a m e t e r s b e i n g e q u a l t o a p r e d e t e r - mined number E : . S i m i l a r l y , f o r b u i l d i n g a p e s s i m i s t i c
p r e d i c t i o n s u c h v a l u e s a r e s u b s t i t u t e d f o r s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s t h a t t h e p r o b a b i l i t y o f g e t t i n g s t i l l w o r s e v a l u e f o r e a c h
p a r a m e t e r i s e q u a l t o E
.
F o r t h e s a k e o f example l e t u s assume t h e model
i n which B 1 and B 2 a r e assumed t o b e random v a r i a b l e s w i t h r e c t a n g u l a r p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n s o v e r t h e i n t e r v a l s
( 0 . 4 , 0 . 8 ) and ( 1 - 0 , 2 . 0 ) , r e s p e c t i v e l y . L e t u s assume f u r t h e r t h a t E = 0 . 1 and t h a t t h e v a l u e o f X f o r t i m e T i s assumed t o b e e q u a l t o 5 . 0 and t h a t u t i l i t y i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f y .
S i n c e u n d e r t h e assumed d i s t r i b u t i o n s t h e r e i s
P{B
::
0 . 7 6 1 = 0 . 1 and p { a 2 2 1 . 9 1 = 0 . 1 1 1h e n c e , t h e o p t i m i s t i c p r e d i c t i o n i s
On t h e o t h e r h a n d , a s o n e f i n d s t h a t
P{Bl i 0 . 4 4 ) = 0 . 1 a n d ~ ! B ~ $ 1 . 1 ) = 0 . 1
,
s o t h e p e s s i m i s t i c p r e d i c t i o n i s
T h u s , t h e i n t e r v a l o f u n c e r t a i n t y o f ? r e d i c t i o n i s ( 3 . 3 , 5 . 7 ) .
7 . THE EFFECT OF NON-STATIONARITY OF
THE PROBABILITY DISTRIBUTION OF
S t
A n o t h e r d i f f i c u l t y o n e i s l i k e l y t o come a c r o s s when m a k i n g a l o n g - t e r m i n f e r e n c e i n t o t h e f u t u r e i s t h e r i s k o f c o m i n g a c r o s s t h e n o n - s t a t i o n a r i t y o f d i s t r i b u t i o n o f t h e random c o m p o n e n t o f t h e
m o d e l . T h i s n o n - s t a t i o n a r i t y d o e s n o t p r e c l u d e c o m p u t i n g a p r e - d i c t i o n b u t i n t e r f e r e s w i t h g e t t i n ? a c o r r e c t i n f o r n a t i o n a b o u t t h e l e v e l o f i t s a c c u r a c y . E s p e c i a l l y s e r i o u s i s t h e s i t u a t i o n when t h e v a r i a n c e o f
S t
i n c r e a s e s i n t i m e s i n c e t h i s means t h a tt h e a c c u r a c y o f p r e d i c t i o n w i l l d e c r e a s e s t e a d i l y a s t h e p r e - d i c t i v e d e l a y o f t h e m o d e l becomes g r e a t e r .
I f , f o r some r e a s o n , t h e model c a n n o t b e c h a n g e d s o a s t o a c h i e v e t h e s t a t i o n a r i t y o f d i s t r i b u t i o n o f
S t ,
o n e s h o u l d a t l e a s t a t t e m p t t o e s t i m a t e how t h e m a i n d i s t r i b u t i o n c h a r a c t e r - i s t i c s d e p e n d o n t i m e . S i n c e among t h e s e c h a r a c t e r i s t i c s t h e m o s t i m p o r t a n t o n e i s t h e v a r i a n c e o f5
w e s h a l l c o n c e n t r a t et
o n v a r i o u s m e t h o d s o f a n a l y s i s o f t i m e - d e p e n d e n c e o f D 2 ( S t ) . The f i r s t m e t h o d c o n s i s t s i n o b s e r v i n q t h e r e s i d u a l s
u = y t - A y t , w h e r e y t d e n o t e s o b s e r v e d v a l u e o f Y v a r i a b l e i n t
A
t i m e t E To and y t i s t h e c o r r e s p o n d i n g t h e o r e t i c a l v a l u e com- p u t e d from t h e model. Once t h e r e s i d u a l s a r e computed a n d o r d e r e d a c c o r d i n g t o t h e i r s e q u e n c e i n t i m e , t h e i r a b s o l u t e v a l u e s a r e t h e n c o n s i d e r e d
I f t h e s e q u e n c e ( 2 0 ) c a n b e a c c e p t e d a s a random o n e 1 6 ) t h e r e i s no ground t o r e j e c t t h e h y p o t h e s i s t h a t D 2
(ct)
i s c o n s t a n t . I f on t h e c o n t r a r y , t h i s s e q u e n c e shows a n i n c r e a s i n g t r e n d o n e n u s t c o n c l u d e t h a t t h e v a r i a n c e i n c r e a s e s i n t i m e . Time t r e n d f i t t e d t o t h e e l e m e n t s o f ( 2 0 ) p r o v i d e s t h e n i n f o r m a t i o n a b o u t t h e r e l a t i o n o f s t a n d a r d d e v i a t i o n o fct
w i t h r e s p e c t t o t i m e v a r i a b l e . E x t r a p o l a t i o n o f t h i s r e l a t i o n p r o v i d e s a n e s t i m a t e o f D( S t )
f o r t h e p r e d i c t e d t i m e p e r i o d .The s e c o n d p o s s i b l e a p p r o a c h t o t h e a n a l y s i s o f t i m e b e h a v i o r o f t h e v a r i a n c e D 2 ( 5 ) c o n s i s t s i n u s i n g c o n s e c u t i v e s u b s a n p l e s ,
t
a s i t was e x p l a i n e d i n s u b s e c t i o n 4a. S i n c e t h e model i s e s t i m a t e d f o r e a c h s u b s a m p l e , a n e s t i m a t e o f D 2 ( S t ) i s a l s o a v a i l a b l e
2 2
and t h e s t a t i s t i c i a n g e t s a s e q u e n c e s l , s 2 ,
...,
s n-m+ 2 1 o fs u c h e s t i m a t e s . An a p p r o p r i a t e a n a l y s i s o f t h i s s e q u e n c e p e r - m i t s t o i n f e r i f t h e s e q u e n c e c a n b e r e g a r d e d a s a random o n e o r i f i t e x h i b i t s a time-dependence o f subsample v a r i a n c e s . 1 7 ) D i s c o v e r y o f s u c h d e p e n d e n c e a l l o w s f o r e x t r a p o l a t i o n o f t h e v a r i a n c e f o r t i m e p e r i o d T.
1 6 ) T h e r e a r e many t e s t s f o r t e s t i n g t h e h y p o t h e s i s o f random- n e s s o f a s e q u e n c e o f o b s e r v a t i o n s , s u c h a s , f o r i n s t a n c e ,
t h e v a r i o u s r u n t e s t s (see A.M. Mood [I9401 o r any m a j o r t e x t - b o o k o f m a t h e m a t i c a l s t a t i s t i c s ) .
2 2
') When l o o k i n g f o r a t r e n d i n t h e s l
,
s 2 ,. . . ,
s n-m+ 2 1 s e q u e n c e i t i s soinetimes more a d v i s a b l e t o c o n s i d e r t h e s e q u e n c e o f s t a n d a r dd e v i a t i o n s s 1 , s 2 , . . . 'n-m+l s i n c e t h e l a t t e r i s l e s s s u b j e c t
I f D 2 (6 ) d o e s i n c r e a s e i n t i m e i t may sometimes happen t
t h a t D 2
(5
) w i l l p r o v e t o be s o l a r g e t h a t t h e p r e d i c t i o n i s tv i r t u a l l y u s e l e s s . T h i s c a l l s f o r a change o f t h e model and f o r s u b s t i t u t i o n o f t h e f o r m e r o n e by a n o t h e r w i t h s m a l l e r random v a r i a n c e .
8 . EMERGENCE O F NEW FACTORS
T h i s i s c e r t a i n l y t h e most d i f f i c u l t problem s i n c e i t can- n o t be d e a l t w i t h by s t a t i s t i c a l methods. The b e s t method
known s o f a r t o cope w i t h i t i s t o u s e e x p e r t s ' judqer2ents and t o i n t r o d u c e a c c o r d i n g l y a n a p p r o p r i a t e c o r r e c t i o n t o t h e
p r e d i c t i o n o b t a i n e d from t h e f o r m a l model.
The weak p o i n t o f t h i s method c o n s i s t s i n t h e i m p o s s i b i l i t y t o measure a p r i o r i t h e d e g r e e o f a c c u r a c y o f s u c h c o r r e c t e d p r e d i c t i o n which may p r o v e l a t e r
-
when t h e periozd T o c c u r s-
t o b e v e r y p o o r . I f a p r a c t i c a l a c t i o n i s b a s e d on p r e d i c t i o n t h e d a n g e r of s u c h s i t u a t i o n i s o b v i o u s .
From t h e f o r m a l p o i n t o f view t h e c o r r e c t e d p r e d i c t i o n i s d e f i n e d a s
( c o r r ) -
Y~~
-
Y T ~ + e c o r r Iwhere y 'Orr d e n o t e s t h e c o r r e c t e d p r e d i c t i o n ,
TP Y~~ i s t h e p r e -
d i c t i o n computed by u s i n g t h e model and e c o r r s t a n d s f o r ex- p e r t s ' judgements a b o u t t h e i m p a c t o f t h e new f a c t o r which i s t o
i n f l u e n c e t h e b e h a v i o r o f t h e p r e d i c t e d v a r i a b l e . A l t e r n a t i v e l y , i f e x p e r t s f o r m u l a t e t h e i r o p i n i o n w i t h r e f e r e n c e t o r e l a t i v e c h a n g e s , t h e c o r r e c t e d p r e d i c t i o n i s d e f i n e d a s
c o r r - -
Y~~ Y T ~ ( ' + e c o r r )
9. H O R I Z O N OF PREDICTION
TO c o n c l u d e t h e a r g u m e n t a b o u t l o n g - t e r m i n f e r e n c e i n t o t h e f u t u r e , o n e s h o u l d e m p h a s i z e t h e f a c t t h a t s u c h i n f e r e n c e c a n n o t go i n d e f i n i t e l y f a r i n t o t h e f u t u r e . To have any p r a c - t i c a l meaning p r e d i c t i o n s must h a v e a n a d e q u a t e l e v e l o f
a c c u r a c y . A l t h o u g h t h e r e a r e many ways t o measure t h i s a c c u r a c y , t h e most commonly u s e d method o f measurement i n t h e c a s e o f u n b i a s e d p r e d i c t i o n c o n s i s t s i n u s i n g t h e v a r i a n c e o f p r e d i c t i o n d e f i n e d a s
I n most p r a c t i c a l c a s e s t h i s v a r i a n c e i n c r e a s e s w i t h p r e d i c t i o n l e a d and f o r most t y p e s o f corrm.only u s e d models i t i s found t h a t
2 i n c r e a s e s a s f a r a s t h e s q u a r e o f p r e d i c t i o n l e a d . 1 9 ) ('Tp)
I n consequence
,
b e g i n n i n g w i t h a f u t u r e t i m e p e r i o d t 2 , t h e v a r i a n c e i s l a r g e r t h a n a p r e d e t e r m i n e d number d c o r r e s p o n d i n g t o t h e l i m i t i n g a d m i s s i b l e o r d e r o f p r e d i c t i o n e r r o r . B e s i d e s , f o r v e r y d i s t a n t f u t u r e t i m e p e r i o d s a l s o t h e b a s i c p r e c o n d i - t i o n s o f p r e d i c t i o n , e v e n i n t h e i r r e l a x e d form, a r e n o t m e t , p r e c l u d i n g t h u s t h e p o s s i b i l i t y o f r a t i o n a l i n f e r e n c e i n t o t h ef u t u r e . These two l i m i t a t i o n s c a l l , t h e r e f o r e , f o r a c a r e f u l c h o i c e o f t h e model t o be u s e d f o r p r e d i c t i o n . Such model must n o t o n l y i n c l u d e a l l t h e r e l e v a n t ( o r d e c i s i o n ) f a c t o r s b u t must be t i m e - r o b u s t i n t h e s e n s e o f e n s u r i n g t h e p o s s i b i l i t y o f p r e d i c t i o n even f o r d i s t a n t t i m e p e r i o d s .
1 8 ) T h i s l e v e l i s o b v i o u s l y d e t e r m i n e d a p r i o r i by t h e u s e r o f prediction.
" T h i s i s , f o r i n s t a n c e , t h e c a s e o f p o l y n o m i a l t r e n d m o d e l s .
The s e t o f a l l s u c h f u t u r e t i m e p e r i o d s f o r which s i n u l - t a n e o u s l y two c o n d i t i o n s a r e f u l f i l l e d , namely: a ) t h e b a s i c p r e c o n d i t i o n s o f p r e d i c t i o n a r e t r u e , b ) t h e d e g r e e o f a c c u r a c y o f p r e d i c t i o n i s a d m i s s i b l e , d e t e r m i n e s t h e s o - c a l l e d
h o r i z o n o f p r e d i c t i o n ( s e e Pawlowski, 1978b)
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