(6) Luther-Ives Bedingung

(1)

(6) Luther-Ives Bedingung

Vorlesung

„CV-Integration“

U N I V E R S I T Ä T

„CV-Integration“

S. Müller Draft

Diese Folien enthalten unveröffentlichte Ergebnisse und sind daher bitte nur für den internen Gebrauch zu verwenden.

Speziell die Zahlenwerte sind teilweise noch nicht gegengerechnet!

(2)

Luther-Ives Bedingung

Kameras sind schwierig

KOBLENZ · LANDAU S. Müller - 2 -

(3)

Luther-Ives-Bedingung 1

Nehmen wir eine Kamera mit beliebigen Basisspektren

Dann erhalten wir die rgb- Koordinaten von einem Spektrum in dieser Basis

Aus und

erhalten wir L L

_XYZ ^T

v v = B ⋅

( ^r ^v ^g ^v ^b ^v )

= R

rgb

XYZ

L

v v = M ⋅

L

^T

T

v v

⋅

=

⋅ M R

B

U N I V E R S I T Ä T KOBLENZ · LANDAU

Spektrum in dieser Basis durch

Sind dies ebenfalls Koordinaten im

Normfarbraum, dann

müssten sie durch eine 3x3 Matrix M in XYZ-Koordinaten abgebildet werden können.

und damit:

Das bedeutet: wir können die rgb-Werte nur im

Normfarbraum interpretieren, wenn die Sensorantwortkurve durch Linearkombination aus den Normspektren hervorgeht.

L L

_rgb ^T

v v = R ⋅

L

^T

T

⋅ = M ⋅ R ⋅ B

T

M R

B = ⋅

(4)

Luther-Ives Bedingung 2

Erfüllen die Sensorkurven nicht die Luther-Ives

Bedingung, dann können wir sie wieder zerlegen in

Eine Projektion eines

Dabei liefert der erste Teil den rgb-Wert, den wir mit einer 3x3 Matrix in die Koordinaten des

Normfarbraums überführen können.

Der zweite Teil liefert leider

T T

T

R R

R = ~ + ∆

Eine Projektion eines

Spektrums in diese Basis liefert einen systematischen Farbfehler (Bias):

Der zweite Teil liefert leider einen zusätzlichen rgb-Anteil, den wir – ohne Kenntnis des Eingangsspektrums – nicht korrigieren können.

S. Müller - 4 -

L L

L

^Bias_rgb

v v

v = R ~

^T

⋅ + ∆ R

^T

⋅

Bias rgb rgb

Bias

rgb

L L

L

v v

v = + ∆

Anm.: die fundamentalen Metamere beziehen sich immer auf die XYZ-Basis

(5)

Luther-Ives Bedingung (1915)

Wichtige Voraussetzung für eine farbkonsistente Abbildung von Farben bei Kameras

Eine 3x3 Matrix zur Abbildung von rgb nach XYZ ist nur möglich, wenn die Sensorkurven der Kamera mit der gleichen Matrix aus der CIE-Normbasis

hervorgehen.

Gleiche Aussage: die Sensorkurven müssen

fundamentale Metamere sein.

(6)

Diskussion

Die Luther-Ives Bedingung wurde bereits 1915 formuliert.

Bis heute gibt es meiner Kenntnis nach keine Kamera, die diese Bedingung erfüllt

Damit ist mit keiner Kamera heute eine

farbkonsistente Abbildung möglich; alle Kameras

farbkonsistente Abbildung möglich; alle Kameras haben einen systematischen Farbfehler.

Das ist sehr überraschend, da mir ebenfalls kein Fehlermaß bekannt ist, um die „Farbtreue“ einer Kamera zu beschreiben.

Und dennoch: Kameras werden im ICC Profil durch eine 3x3 Matrix kalibriert.

S. Müller - 6 -

(7)

10°-Beobachter

0 0,5 1

390 610 830

0,1 0,6 1,1 1,6 2,1

] λ [nm

CIE 2007 Cone Fundamentals

10-deg based on the Stiles and Burch 10 deg

B10

10 _

BLMS

U N I V E R S I T Ä T KOBLENZ · LANDAU 1964 wurden weitere Untersuchung mit einem

10°-Gesichtsfeld durchgeführt und genormt.

Mit Hilfe von

Mikroskop-Spektrometern wurden die 3 farbtüchtigen Zapfen (cones) untersucht und 2007 die lms (long, medium, short) Kurven genormt.

Aktuelle Messgeräte beziehen hauptsächliche noch auf die CIE 1931 2°-Beobachter

-0,4

360 595 830

] λ [nm

CIE XYZ 1964, 5 nm, 10 deg, 390-830 nm http://www.cvrl.org/

10-deg based on the Stiles and Burch 10 deg http://www.cvrl.org/

(8)

Vergleich

Beide Kurven beschreiben den gleichen 10°-

Normfarbraum.

Beide Kurven sind

fundamentale Metamere und lassen sich durch eine

Linearkombination mit Hilfe

Es gilt

Und damit auch

T LMS T

10 _

10

M B

B = ⋅

10 _ 10

_ LMS

XYZ

L

v

v = M ⋅

Linearkombination mit Hilfe einer 3x3 Matrix

transformieren.

Berechnung von M

S. Müller - 8 - 10

_ 10

_ LMS

XYZ

10 _ ,

10 p LMS

T

B

M = ⋅

(9)

2

Vergleich

















=

2,07478 0,04023

0,02412 -

0,01375 -

0,33319 0,69863

0,41975 1,32180

- 1,90559 M

T LMS T

10 _

10 M B

B = ⋅ B10

10 _

BLMS

M⋅

0 1

390 610 830

] λ [nm

Beide Kurven sind – bis auf kleine Nuancen – identisch.

(10)

Kamera

Die Sensorantwortkurven von Eingabegeräten (

z.B. Kameras,

Scanner

) müssen fundamentale Metamere sein, um eine

farbtreue Abbildung zu ermöglichen:

Ein Spektrum wird dann auf

Wichtig: es ist egal, ob man das Spektrum L oder dessen fundamentale Metamer

photographiert; der rgb-Wert ist identisch.

L L

Lv_rgb ~ v ~ ~v

⋅

=

⋅

= R^T R^T

Ein Spektrum wird dann auf rgb-Werte abgebildet mit Eine solche ideale Kamera wäre damit ein

Farbmessinstrument.

aus

erhält man die Farbmatrix:

L L_rgb

v

v = R~^T ⋅ ^T ^T ^T ^T

T T

B B R R B

B

R B

B R R

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

p p

p rgb

L L

~ ~

und

~ mit

~

~ ~

~

v v

XYZ p

rgb L L

L

v v

v = R~^T ⋅ ~ = R~^T ⋅B ⋅

Bp

R M⁻₁ = ~^T⋅

rgb

XYZ L

L

v v =M⋅

(11)

Bp

R M⁻1= ~^T⋅

Beispiel (

„Gute“ Kamera

)

0 0,5 1 1,5 2

360 595 830

T

T B

R M⋅ ~ =

L L_rgb

v v =R~^T⋅

0,8 1

1,2 L

v

1,07

 −

  v 









= 0,84 0,74 L

v

-0,005 0 0,005 0,01 0,015

360 595 830

R~T 109

×

0 0,5 1 1,5

360 595 830

L~v

0 0,2 0,4 0,6

360 595 830

10 7

1,07 1,07 ⋅ ⁻





 





XYZ = L

v





 





= 0,65

rgb 0,84 L

v

















= 0,65 0,84 0,74

Lrgb

v

10 7

1,07 1,07 1,07

⋅ −

















=

⋅

= rgb

XYZ L

L

v v

M

L Lv_rgb ~ ~v

⋅

=R^T

L L_rgb _p

v v =R~^T⋅B ⋅B^T⋅

−1

=M

(12)

Transformation rgb-XYZ ( gute Kamera )

Für die Bestimmung der Transformationsmatrix muss die Farbmatrix (9 Unbekannte) bestimmt werden.

Kennt man die Sensorantwortkurven, so kann man die Matrix direkt mit Hilfe der Primaries der CIE XYZ-Kurven berechnen:









=

−

p p

p

z g y

g x

g

z r y

r x

r

o v v o v

v o v

v

o v v o v

v o v

v

M 1

B

p

R M

⁻₁

= ~

^T

⋅

Alternativ sollte man 3 Farben fotografieren, deren XYZ-Werte gleichzeitig gemessen werden. Daraus werden die 9 Unbekannten ermittelt.

S. Müller - 12 -

3 , 1

3 , 2

, 1

2 , 1

, 1

1

, _XYZ

;

_rgb _XYZ

;

_rgb _XYZ

rgb

L L L L L

L = M

⁻

⋅ = M

⁻

⋅ = M

⁻

⋅





 





=

−

p p

p

p p

p

z b y

b x

b

z g y

g x

g

o v v v

o v v

o v

o v v o v

v o v

1 v M

(13)

Transformation rgb-XYZ (

schlechte Kamera

)

Man bestimmt die Farbmatrix analog zur vorherigen Methode, also entweder durch Kenntnis der Sensorantwortkurve oder indem man 3 Farben mit bekannten XYZ-Werten fotografiert und die 3x3-Matrix

bestimmt (die im ICC-Profil auch so vorgesehen ist). Damit rechnet man die (leider falschen) rgb-Werte in fehlerbehaftete XYZ-Werte um.

Den systematischen Farbfehler kann man leider nicht korrigieren, da

B

p

R M

⁻¹

=

^T

⋅

Den systematischen Farbfehler kann man leider nicht korrigieren, da man für jedes Pixels das dazugehörige Spektrum kennen müsste.

L L

L

^Bias_rgb

v v

v = ⋅ ∆ = ∆ ⋅ ∆

∆ R

^T

R

^T

(14)

p

p R B

B R

M⁻1= ^T⋅ = ~^T⋅

Beispiel (

„Schlechte“ Kamera

)

-5 0 5 10 15 20

360 595 830

T

T B

R M⋅ ≠

0,01

0,015 T

R~

109

×

0,1 0,15

0,2 T

∆R

109

×

-0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2

360 595 830

RT 109

×

















 +















 =















=

0,12 -

0,04 -

0,27

0,65 0,84 0,74

0,53 0,80 1,01

Bias

Lrgb

v

Lrgb

= v L^Biasrgb

∆v

=

7 7

7 10

0,19 -

0,05 0,15 10

1,07 1,07 1,07 10

0,88 1,12 1,22

−

− ⋅















 +

⋅















=

⋅















=

Bias

LXYZ

v

LXYZ

= v L^Bias_XYZ

∆v

=

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

360 595 830

L v

10 7

1,07 1,07 1,07

⋅ −

















XYZ = L L v

L L^Bias_rgb

v v

v =R~^T⋅ +∆R^T⋅

Bias rgb rgb

Bias

rgb L L

L

v v

v = +∆

Bias rgb rgb

Bias rgb Bias

XYZ L L L

Lv = ⋅v = ⋅v + ⋅v^∆ M M

M

( ) ^L ( ) ^L

L^Bias_XYZ _p ^Bias_rgb _p

v v

v = ⋅ ⋅∆ = ⋅ ⋅∆ ⋅

∆ R^T B ⁻¹ R^T B ⁻¹ R^T

-0,005 0 0,005

360 595 830

-0,05 0 0,05 0,1

360 595 830

(15)

Bildschirme

Keine Luther-Ives Bedingung für Monitore

Monitore

(16)

Bildschirm

Ein Bildschirm leuchtet mit den Primaries R

_p

(

die linear unabhängig sein müssen

).

Das resultierende Spektrum eines rgb-Werts ist

Wichtig: es ist egal, ob ein Bildschirm mit beliebigen Spektren oder deren

fundamentale Metamere

leuchten; der Farbeindruck ist identisch.

rgb p

Display L

L

v

v = R ⋅ v v ~ v

Der wahrnehmbare

Farbeindruck ist: mit der Farbmatrix

(

Kalibrierungsmatrix

) für das Display:

rgb p

Display L

L = R ⋅

rgb p

Display

XYZ L L

L

v v

v = B^T⋅ =B^T⋅R ⋅

rgb p

XYZ L L

L

v v

v = B^T ⋅R ⋅ = B^T ⋅R~ ⋅

Rp

B M = ^T⋅

rgb

XYZ L

L

v v = M⋅

(17)

15 20

25 Rp

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

360 595 830

Beispiel (

monochr. Primaries bei 435nm, 545nm und 625nm

)

L L _p

v v =B ⋅B^T⋅

~

p

p B R

R B

M= ^T⋅ = ^T⋅~

L v

10 7

1,07 1,07 1,07

⋅ −

















XYZ = L

v

p p

p B B R

R~ = ⋅ ^T⋅

0 0,5 1 1,5

360 595 830

L~v

1 1,5 2 2,5

R~ p

0 5 10

360 595 830

0 0,5 1 1,5

360 595 830

















=

⋅

= ⁻

0,65 0,84 0,74

1 XYZ

rgb L

L

v v

M

0 5 10 15 20

360 595 830

rgb p L

⋅ v R

L~v

-1 -0,5 0 0,5 1

360 595 830

rgb

p L

L

v v =R~ ⋅

~

rgb p

p L

L

v v =B ⋅B^T⋅R ⋅

~ ⁼^M

(18)

Transformation rgb-XYZ (

^Bildschirm

)

Für die Bestimmung der Transformationsmatrix eines Bildschirms muss die Farbmatrix (9 Unbekannte) bestimmt werden.

Dies kann mit Hilfe einer spektralen Vermessung geschehen, wobei die r_p, g_p und b_p Spektren des Bildschirms („rgb voll aufdrehen“) gemessen und mit den CIE XYZ-Kurven gewichtet werden:

R

p

B M =

^T

⋅



x r x g x b

v vo o v

v o v

v

Wie man sieht, ergibt dies gerade die Normfarbwerte der rgb-Primaries.

Die einfacher Methode erhält man, indem man die XYZ-Werte der Primaries vermisst („rgb voll aufdrehen“) . Dies entspricht der

Vermessung der fundamentalen Metamere der Primaries

S. Müller - 18 -

















=

b g

r

b g

r

b g

r

Z Z

Z

Y Y

Y

X X

X M

















=

p p

p

p p

p

p p

p

b z g

z r z

b y g

y r y

b x g

x r x

v vo o v

v o v

v

v vo o v

v o v

v

vo o v

v o v

v

M

(19)

Messgeräte

i1 Spyder3

CS-100A

i1 Pro der Firma X-Rite

Spyder3 Elite der Firma Datacolor CS-100A der Firma Minolta

(20)

XYZ

RGB

Kamera

M

Das Quietscheentchenproblem

XYZ

RGB

− 1 Monitor

M

(21)

Zusammenfassung

Farbe (und Licht) ist in der CG für photorealistische Darstellung essentiell

Für die Simulation genügen rgb-Werte nicht. Stattdessen müssen wir versuchen, die Spektren selbst möglichst gut zu repräsentieren

(spektrales Rendering).

Luther-Ives Bedingung: eine farbkonsistente Interpretation der rgb- Farben einer Kamera ist nur möglich, wenn die Sensorkurven eine

Farben einer Kamera ist nur möglich, wenn die Sensorkurven eine

Linearkombination der Normbasis darstellen. Eine Umrechnung der rgb- Werte mit Hilfe einer 3x3 Matrix weist einen systematischen Fehler auf, der ohne Kenntnis des eingehenden Spektrums nicht korrigiert werden kann.

Für Bildschirme gilt diese Bedingung nicht. Hier können beliebige, linear unabhängige Spektren verwendet werden, da quasi ohnehin nur die fundamentalen Metamere der Spektren wahrgenommen werden.

Damit haben wir die Grundlage, um vertrauenswürdige Bilder zu rendern und darzustellen.

(22)

Literatur

Barnard, Kobus and Funt, Brian V., Camera characterization for color research, Color Research and Application (vol. 27, nr. 3), pages 153-164, 2002

Borges C., Trichromatic Approximation for Computer Graphics Illumination Models, Siggraph 1991

CIE (1931). Commission Internationale de l'Eclairage Proceedings. Cambridge University Press, Cambridge.

Dutré Ph., Bala K., Bekaert Ph., Advanced Global Illumination (2nd ed.), A. K.

Peters Ltd, 2006

Peercy M. S., Linear Color Representation for Full Spectral Rendering, Siggraph 1993

Pharr M., Humphreys G., Physically Based Rendering, Morgan Kaufmann, 2004 Sharma, G., Trussel, H.J., Set Theoretic Estimation on Color Scanner

Characterization, In: Journla of Electronic Imaging, Vol. 5, 1996

Sun Y, Fracchia F.D., Drew M.S., Calvert T.W., A spectrally based framework for realistic image synthesis, Visual Computer, Vol. 17, pages 429-444, 2001

Ward G., Eydelberg-Vileshin E., Greg, Picture Perfect RGB Rendering Using Spectral Prefiltering and Sharp Color Primaries, 13. Eurographics Workshop on Rendering, 2002

Wyszecki G., Stiles W.S., Color Science: Concepts and Methods, Quantitative Data and Formulae (2nd ed.), John Wiley & Sons, Inc., New York 2000.

(23)

Empfehlung

(24)

Anhang:

Rechenregeln für fundamentale Metamere

Es gilt:

Das gleiche gilt auch für jede beliebige Basis aus dem Spektralraum

T p T T

T p

T p T T

T p

L L

B B B

B

B B B

B

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

~

; ~

~

; ~

~

v v

Spektralraum

Und schließlich

S. Müller - 24 -

(

^r^v^, ^g^v^,^b^v

)

= R

T p T T

T p

T p T T

T p

B B R R

R B B R

B B R R

R B B R

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

~

; ~

~

; ~

~

~ ;

~ _T

p T

p B R R

B ⋅ = ⋅ ^R^T ^⋅^R^p ⁼ ^R^~^T ^⋅^R^~ ^p ⁼ ^E ^aber ^R^~^T ^⋅

( )

^R

~

^p ^≠ ^E

(6) Luther-Ives Bedingung