3 Komplexe Vektorraumbtindel tiber schwach fast-komplexen

(1)

§ 3 Komplexe Vektorraumbtindel tiber schwach fast-komplexen und orientierten Mannigfaltigkeiten

3.1. Definition. Ftir jede Partition Q= (i 1,i2, ... ,is) ,s

i 1 " i 2 ^4, ^••• is' sei n(c.J) = s und d(",,) =

L

i)r. Unter den

v =1

Partitionen wird eine Oranung eingeftihrt: Es sei wenn a) d(",) c::

oder b) d(c:;)) oder c) d(CD)

d(t' )

d(r-) und n(G))

< net')

d(r-) und n(<.:» = und von den ersten beiden Zahlen aus und

r '

die verschieden sind, die groBere in liegt.

Auf den Paaren von Partitionen (J2) wird folgendermaBen eine Ordnung erklart:

oder b) (".,)2

=

""2 ^und ⁰⁰1^<: 1'-1·

Aus ("'1; ^G.:r2)

c

(j1 ; ""2) ^und <

r!2)

^folgt

(CU1

I , I

+

r!2)·

+""1 ; co2 ⁺ "'2) < (r1 +/1 ;

r«

Ein Element heiBt vom Typ (bzw. mod p

vom Typ (GJ;r)' peine Primzahl), wenn

(bzw. 0 mod p),und wenn ftir alle Paare von Partitionen

mit <. (x;>..) gilt, daB = 0 (bzw. =: 0

mod p). Dabei sind rund

A

nattirlich Partitionen mit hochstens k na ttirlichen Zahlen.

[i.IJ

heiBt vom Typ Go>, wenn

(M, triviales vom Typ «(;0;0) ist, ent-

sprechend mod p. Ahnliche Definitionen werden ftir die Elemente aus den tibrigen Gruppen {lG(BH) benutzt.

"*

(2)

,.2.

Satz (Conner-Floyd

[6] ).

Wenn yom Typ

(W;w')

(bzw. mod p yom Typ

(W;W'),

p eine ist und

[N]

^{yom Typ} (bzw. mod p vom Typ

I'- )

ist, dann ist

[NUM,S]

E: yom Typ (p+W ;W') ( bzw.

mod p yom Typ

(P

^{HAJ ;}W') ).

Beweis. Es ist ..

... F

Ts_(e )[N]'(JsA(e »)(_- _c _C »I"M,'g] •

0 e . -

Wenn (1;

r') >

^(W+,u ;w'), dann ist entweder IX

>,u

oder

> (W;W')

und

JSa:.(ec)[N].(.lst3(ec) x s;,(ec»)(M,s] .. 0 (bzw.

=.

0 mod p ).

Wenn (l;t) - (W+,u;W'), dann oder

f3

^W, und der einzige Ausdruck auf dar rechten Seite der ersten Gleichung, der nicht verschwindet, ist

Ein ahnlicher Satz gilt naturlich auch fur l1;(BH), wo G

f

U oder H U(k).

" U,U(k) ,.,.

,.,. Es S. das ganzzahlige Dual von und AU,U(k)_n

=

SU,U(k) 1'\ Hn(BUXBU(k);Q), das ist die Menge der

It

x EH (BUXBU(k);Q), die auf den n-dimensionalen Komponenten_n aller Potenzreihen der Form

Tar)

e c) x (e c) ganzzahlige Werte annehmen. Es istr12U(BU(k» C AU,U(k), und AU,U(O) ist

Q n n n

der bei-Stong

[21]

definierte Z-Modul BU. Stong hat in_n

[21]

das folgende Ergebnis bewiesen.

(3)

3.4.

Satz ([21] Proposition

3).

FUr jede Primzahl p und jede naturliehe Zahl i gibt es komplexe Mannigfaltigkeiten

(dim Mi _'"' 2i )

,

so daB gilt:

(a) ist mod ^{p vom} Typ (i), ^wenn i +

f

^p^s

,

^und

(b) ist mod P vom Typ (p8-1,

-

1 , Ps-1

^-

1, ••• , P8-1 -1) p mal

fur i + 1 '"' pS mit 8 1. FUr i + 1 = P heiBt das, daB Mi mod p vom Typ (0) ist. (vgl. aueh Conner-Floyd

[6] ).

3.5.

Satz. ZU jeder Partition w= (i 1,i2, ••• ,is) von n mit s k gibt es ein Paar

(Nw'Sw)'

bestehend aus einer 2n-dimensio- Dalen komplexen Mannigfaltigkeit N

w

und einem komplexen Vektorraumbundel

Sw

^uber ^N_w mit Faser Ck, 80 daB

1 und fur jedes Paar von Partitionen

mit

A> w

gilt ;Tsil-(ee) X

""

0, d. h.

ist vom Typ

(o;w).

Eeweis. Man wahle Nw ⁼ ^cp(w) ^0: CP(i1) XCP(i2)

x ...

_{X CP(is)}

und bezeichne mit W. : _NW -. CP(i.) die Projektion auf den j-ten

J J

Faktor. sei das ausgezeiehnete Geradenbundel uber CP(i.)

J J

mit erster Chernseher Klasse = x

j ' und es sei

';w '"' ^{e ...}

^(E)^1C;Ss

^e

(k - s)IC' wo I C das triviale komplexe

Geradenbundel CP(W) XC _ Cp(w) bezeiehnet. Mit dieser Definition reehnet man die Behauptung leieht naeh.

Mit Rilfe dieser beiden Siitze zeigt man leicht, daB fur jedes n die Voraussetzungen des Satzes 2.5 erfullt. Denn fur jedes Paar von Partitionen mit new) k, dVu) + = n

(4)

(w .p,W

^p ^'tP) ^-- J ^x )( MP )( (N 'J:)

1 J

2 ••• Ii jr w')w

Die so auftretenden (W_jI-,w'^p _)wr) sind aIle mod P von verschiedenem Typ, und daher sind ihre Bilder unter

1

in Zp linear unabhangig und bilden aus Dimensionsgrtinden eine Basis.

Damit ist der folgende Satz bewiesen.

3.6. Satz. ".0U(BU(k» = AU,U(k). D. h. alle Relationen

IJ n n

zwischen den charakteristischen Zahlen einer schwach fast-komplexen Mannigfaltigkeit und eines U(k)-Bundels werden durch die Riemann-Roch-Formel

mit

gegeben.

'.7.

Der Z-Modul ASO,U(k)n

C

H (BSO XBU(k);Q) wird definiert alsn das ganzzahlige Dual von und der Z-Modul

U(k) C H

n(BSOx BU(k);Q) wird definiert als das ganz-

1\ *1(' n

zahlige Dual von (asSO,U(k») • Da fUr die zu den Klassen

tr

und

or

1\ homogenen Polynome A_m und

1

_m vom Grade

4m

in den Pontrjaginschen Klassen (s. dazu Hirzebruch [101 und [21 II) gilt

ist fur jede ungerade Primzahl p ASO, U(k)@ Z .. ASpl.n, U(k)® Z .n p n p Der Z-Modul ASpi n,1 ist gleich dem von Stong inn [21] definierten BSpi n .. BSO• Der folgende Satz von Stong bleibt auch fUr dien n

(5)

ASO,1 richtig. FUr jede ungerade Primzahl p spielt eine

n

Zweier-Potenz als Faktor keine Rolle. Flir p = 2 ist das von Stong in [21) Proposition 4 definierte immer vom Typ (i),

1

A 2 2 2

d. h. es ist (/(s.(e )tN.l= s.(p)[N.l=Ots.(e )[N.J= 1 mod 2,₁ _P ₁ ₁ ₁ ₁ _P _{1 -} und fUr jede Partition p.'>(i) ist d(p.) > i, so daB

.1\ 2 2

as

_,--p^M.^{(e )}

IN. 1

⁼^lJtab.^{(e ) [N .}

J

⁼ ⁰ ^aus Dimensionagriinden.

1 r P 1

3.8.

Satz «(21] Proposition 4). Zu jeder Primzahl p und jeder natUrlichen Zahl i gibt es orientierte Mannigfaltigkeiten

der Dimension 4i, so daB gilt:

1

(a) 1 ist mod p ^yom Typ (i) , ^wenn 2i+1

l-

^p^s ^und

Ps-1- 1 ) 2 p ma.l

()b N. ist mod p vom Typp₁ (p"'-_":::"'_ _s-12 ' .•.-1 ""::"' __

wenn 2i + 1 = pS.

3.9.

Satz.

=

, d. h. die Relationen

werden in diesem FaIle gegeben durch

fUr alle

Beweis. Mit

3.5

und

3.8

sieht man, daB es zu jeder Primzahl p und zu jedem Paar von Parti tionen (p;

o )

mi t n(W) k und

2d(.«) + d(W) = n ein Element E: gibt,

so daB aIle auftretenden

[y

^p ^,.,P

1

dieser Art mod p von ,JL,tIJ l W

verschiedenem Typ sind. Da

r.Q

C U(k) ) sind die Yoraussetzungen von 2.5 erfUllt und die Behauptung folgt.

(6)

Aus den Satzen 3.5 und 3.8 tiber orientierte Mannigfaltigkeiten kann man mit der folgenden Verallgemeinerung einer Bemerkung von Stong {211 Ergebnisse ftir Spin-Mannigfaltigkeiten herleiten.

3.10. Satz. Es sei X ein endlicher CW-Komplex, dann gibt es zu jeder Klasse [M,f]

£..0

_nSO(X) eine nattirliche Zahl k , so daB 2k[M,r] n:Pi n(x).

Beweis. Der Standard-Homomorphismus H*(BSpin(k)x X;Z)

x X;Z) ist ein

C

2- I s omor phi smus , wo

t

₂ ^{die Serre-}

Klasse der 2-Gruppen bezeichnet. Daher ist H.(MSpin(k)A X/¢;Z) H ein

G

2- I s omor phi smus . Aus der Verallge- meinerung des Satzes von Whitehead ( Serre [18];Spanier [19] ) folgt, daB It/t(MSpin(k) /\ X/¢) _ ltlt(MSO(k) A x/¢) ein

C

2- I s omor -

phismus ist. Deshalb ist zu

Man kann aber auch den endlichen CW-Komplex durch einen der klassifizierenden Raume BU(k) oder BSO(k) ersetzen, da die stetigen Abbildungen von Mannigfaltigkeiten BU(k) (bzw.

Mn-+ BSO(k» immer schon homotop sind zu einer Abbildung in eine endlich-dimensionale Grassmannsche Mannigfaltigkeit.

Bekanntlich ist ftir eine Spin-Mannigfaltigkeit M und ein komplexes Vektorraumbtindel

f

tiber M

so daB v!1SPin(BU(k»o n

C

ASpin,U(k). Aus 3.10 und dem Beweisn

(7)

zu 3.9 folgt dann, daB fur jede ungerade Primzahl p gilt

() Spin(BU(k» = ASpi n, U(k)@ Z

OP

ⁿ ⁿ ^p

10'0 V

p die Abbildung

n

^Spin(BU(k» ASPin,U(k) _ ASpi n, Z

/J n n n p

bezeichnet.

3.11. Satz. flSpin(BU(k)) = Z fur aIle

'1p n n p

ungeraden Primzahlen p. Deshalb liefert der Ganzzahlig- keitssatz

...

^.

zOt [M,

'0 c

Z _{fur aIle z} E SSO,U(k)

aIle Relationen zwischen den charakteristischen Zahlen einer Spin-Mannigfaltigkeit und eines U(k)-Bundels modulo pI fur aIle ungeraden Primzahlen p, d.h.

ASpi n, U(k)_{n O n}

j"n

Spin(BU(k») ist eine 2-Gruppe.

Beweis. Die noch nicht bewiesenen Aussagen folgen wie in 2.5.

+) s2n+1 se1'd'1e E' h1n e1 ssp are 1nit ha , Cn+1, und S1 oper1ere au, f S2n+1 ..

durch ... ,zn+1;w) = •• Das komplexe

2n+1 / 1 () ,

Geradenbundel 2n

=

S

xes

n solI das ausgeze1chnete

(z_o

=

0) ist aus H2n_ 2(CP(n);Z).

ein CP(n-1) und reprasentiert ein Element

Geradenbundel uber tP(n) heiBen. 2n wird in [101 zur Axiomatisie- rung der Chernschen Klassen benutzt und durch den Kozykel {fijJ

beschrieben, ^10'0 (z ,z1" •• 'z ) die homogenen Koordinaten

l. J ¹ ⁰ n

von CP(n) sind. Die naturlich orientierte Hyperebene

Die duale Kohomologieklasse bezuglich der naturlichen Orientierung von CP(n) sei gn' Dann ist c('{n) = 1 + gn (s. [10] 4.2).

3 Komplexe Vektorraumbtindel tiber schwach fast-komplexen

L

< net')

r '

=

c

r!2)

r!2)·

r«

A

[i.IJ

,.2.

[6] ).

(W;w')

(W;W'),

[N]

I'- )

[NUM,S]

(P

... F

r') >

>,u

> (W;W')

=.

f3

f

=

Tar)

[21]

[21]

3.4.

3).

,

f

,

-

-

[6] ).

3.5.

(Nw'Sw)'

w

Sw

A> w

""

(o;w).

x ...

';w '"' e ...

e

(w .p,W

1

'.7.

C

tr

or

1

4m

as

IN. 1

J

3.8.

l-

3.9.

=

3.5

3.8

o )

[y

1

r.Q

£..0

C

t

G

C

f

C

OP

n

...

'0 c

^-

';w '"' ^{e ...}

^e