Matr.Nr.:
PlatzNr.:Klausur zur Numerischen Mathematik im Maschinenbau Prof. Dr. Arnold Reusken
Dienstag 29. März 2016
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
Zugelassene Hilfsmittel:
• Die vom Institut zur Klausur verteilte Formelsammlung, die Sie mit Namen und Matrikelnum- mer versehen.
• Ein Taschenrechner, der explizit vom Institut zugelassen wurde und auf der PositivListe steht, die zu Klausurbeginn auch auiegt.
ACHTUNG: Die Benutzung eines anderen Taschenrechners gilt als Täuschungsversuch!
Benutzter Taschenrechner
(genaue Typenbezeichnung) :Sie haben insgesamt 120 Minuten Zeit zur Bearbeitung. Zum Bestehen der Klausur müssen mindestens 50% der Gesamtpunktzahl erreicht werden. Sie können Ihre Klausur am Mittwoch, dem 06. April 2016 im Raum 149 ein- sehen und sich (nur!) dort gegebenenfalls zur mündlichen Prüfung anmelden. Eine Einteilung zur Einsicht erfolgt zusammen mit der Bekanntgabe der Ergebnisse.
Bitte beginnen Sie mit der Bearbeitung der Aufgabe direkt unter der Aufgabenstellung. Sollte der Platz unterhalb der Aufgabe nicht ausreichen, so setzen Sie die Aufgabe bitte auf der rechten Seite fort. Wenn auch das noch nicht ausreicht, so fahren Sie auf einem der hinteren Leerblätter fort und geben dies bitte vorne mit einem Hinweis an.
Bitte kennzeichnen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer auch die benutzten Blanko Blätter.
Die Klausur kann nach einer Aufbewahrungsfrist von 3 Jahren (ab Januar 2020) innerhalb von drei Wochen am Institut abgeholt werden.
Die/der Studierende erklärt hiermit auch, dass sie/er sich aktuell gesund fühlt. Im Falle eines Prüfungsabbruchs wegen Krankheit gilt Folgendes: Die/der Studierende sucht unverzüglich, d. h. direkt im Anschluss an den Prü- fungsabbruch eine Ärztin bzw. einen Arzt auf und lässt sich ein Attest ausstellen, auf dem Befundtatsachen sowie Datum und genaue Uhrzeit der Untersuchung aufgeführt werden. Dieses Attest ist unverzüglich beim ZPA einzu- reichen und wird von dort an den zuständigen Prüfungsausschuss weitergeleitet. Der Prüfungsausschuss entscheidet über die Anerkennung des Attestes. Bei Feststellung der vermeintlichen Prüfungsunfähigkeit nach Beendigung der Prüfung gilt zusätzlich: Aus dem Attest muss sich ergeben, warum die/der Studierende nicht in der Lage war, die Beeinträchtigung früher zu erkennen. Der Prüfungsausschuss entscheidet ggf. unter Einbeziehung einer/eines Vertrauensärztin/-arztes über die Anerkennung des Attestes.
Ich versichere mit meiner Unterschrift auch, dass ich nur den oben eingetragenen Taschenrechner benutze, der sich zudem auf der Positiv-Liste bendet und dass ich keine sonstigen elektronischen Geräte wie Handy, Tablet, MP3-Player usw. bei mir habe.
Name:
Vorname:
Unterschrift:
VFr: A1: A2: A3: A4: A5: BP: X
:
IGPM RWTHAachen NumaMB F16
Verständnisfragen-Teil (30 Punkte)
Jeder der 6 Verständnisfragenblöcke besteht aus 10 Verständnisfragen. Werden alle 10 Fragen in einem Verständ- nisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es dafür 5 Punkte. Für 9 richtige Antworten gibt es 4 Punkte; für 8 richtige 3, für 7 richtige 2 und für 6 richtige Antworten gibt es einen Punkt. Werden weniger als 6 Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block 0 Punkte.
Beantworten Sie alle Fragen mit wahr oder falsch bzw. geben Sie das Ergebnis numerisch als Dezimalzahl mit mindestens 5 signikanten Ziern an.
Original - d.h. unvertauschte Reihenfolge
VF-1: Es seien xMIN bzw. xMAX die kleinste bzw. gröÿte (strikt) positive Zahl sowie eps die relative Maschinengenauigkeit in der Menge M(b, m, r, R) der Maschinenzahlen gemäÿ Vorlesung/Buch und D :=
[−xMAX,−xMIN]∪[xMIN, xMAX]. Ferner beschreibefl : D → M(b, m, r, R) die Standardrundung. Alle Zahlen sind im Dezimalsystem angegeben.
1. Für jedesx∈Dexistiert eine Zahlmit ||= epsundfl(x) =x(1 +).
2. Für jedesx∈Dexistiert eine Zahlmit || ≤eps, so dass gilt:|fl(x)−x| ≤|x|. 3. Die Anzahl der Elemente in der Menge M(b, m, r, R)hängt nicht vonb ab.
4. Die Zahl 21 ist in M(4,2,−8,8) exakt darstellbar.
5. Geben Sie die nicht-normalisierte Darstellung der Zahl16inM(3,8,−8,8)an.
6. Die Funktionf(x, y) =yex is für alle(x, y)mit|x| ≤1gut konditioniert.
7. Je besser die Kondition eines Problems, desto stabiler sind Algorithmen zur Lösung dieses Problems.
8. Die Addition zweier Zahlen mit demselben Vorzeichen ist immer gut konditioniert.
9. Es seienx= 2undy= 2 + 10−10. Bei der Berechnung vonex−ey tritt Auslöschung auf.
10. Berechnen Sie die Konditionκrel(x)der Funktionf(x) =ex3 an der Stellex= 2.
VF-2: Es seienA∈Rn×n beliebig aber regulär,b∈Rn und gesucht sei die Lösungx∈Rn von A x=b. 1. Es seiB:=D A die zeilenäquilibrierte Matrix zuA. Dann gilt kBk∞= 1.
2. Es seiA=L ReineL R-Zerlegung vonA. Dann gilt: det(A) = det(R).
3. Es seiκ(A)die Konditionszahl bzgl.k · k. Bei Störung der Eingabedatenb ist der relative Fehler in der Lösung k˜x−xkkxk immer um einen Faktor κ(A)gröÿer als der relative Eingabefehler k˜b−bkkbk . 4. Für die Konditionszahl der MatrixA giltκ(A2) =κ(A)2.
5. Es seiA∈R4×4 symmetrisch, mit Eigenwerten2,3,5,8. Berechnen Sieκ2(A). 6. Pivotisierung verbessert die Kondition des GleichungssytemsA x=b.
7. Es seix˜eine Annäherung der Lösungxundr:=b−A˜xdas zugehörige Residuum. Es gilt:kx−xk ≤˜ kA−1kkrk.
8. Es existiert stets eine PermutationsmatrixP, eine normierte untere DreiecksmatrixLund eine obere Dreiecksmatrix R, so dassP A=L Rgilt.
9. Es sei A eine untere Dreiecksmatrix. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Lösung des Glei- chungsssytemsA x=büber Vorwärtseinsetzen beträgt etwa 12n2Operationen.
10. Berechnen SiekAk1 fürA=
−2 4 2
0 4 −1
.
Numerik MB F16 IGPM RWTH Aachen VF-3: Cholesky- undQ R-Zerlegung
1. Es seiA=L D LT die Cholesky-Zerlegung einer symmetrisch positiv deniten MatrixA. Dann ist det(A)>0.
2. Es seiAeine symmetrisch positiv deniten×n-Matrix. Dann existieren stets eine normierte untere Dreiecksmatrix Lund eine DiagonalmatrixD, so dassA=L D LT gilt.
3. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Cholesky-Zerlegung einer symmetrisch positiv deniten n×n-Matrix über das Cholesky-Verfahren beträgt etwa 16n3Operationen (gem. Vorlesung).
4. Das Cholesky-Verfahren zur Bestimmung der Cholesky-Zerlegung einer symmetrisch positiv deni- ten Matrix ist nur dann stabil, wenn man Pivotisierung benutzt.
5. Es seienv∈Rmmitv6= 0undQv=I−2vvvTTv eine Householder-Transformation. Geben Siedet(Qv) an.
6. Es seiA=QReineQ R-Zerlegung einer MatrixA∈Rn×n. Dann gilt: det(A) = det(R).
7. Für jede Matrix A∈Rm×n existiert eine orthogonale MatrixQ∈Rm×m und eine obere Dreiecks- matrixR∈Rm×n so dassA=QR gilt.
8. Für jede orthogonale MatrixQgiltQ−1=Q.
9. Für jede orthogonale Matrix Q gilt κ2(Q) = 1, wobei κ2(Q) die Konditionszahl der Matrix Q bezüglich der 2-Norm ist.
10. Es seien v ∈ Rm mit v 6= 0 und Qv = I−2vvvTTv eine Householder-Transformation. Weiter sei y=Qv 1
5
!
. Geben Siekyk22an.
VF-4: Es seien A ∈Rm×n, mit Rang(A) = n < m, und b ∈ Rm. Weiter seien Q∈ Rm×m eine orthogonale Matrix undR∈Rn×n eine obere Dreiecksmatrix so, dassQ A= R
0
!
gilt. Weiter seienx∗∈Rn die eindeutige Minimalstelle des Minimierungsproblemsminx∈RnkA x−bk2undΘ∈
0,π2der Winkel zwischenA x∗ undb. 1. Es giltdet(R)6= 0.
2. Je kleiner der Winkel Θ, desto besser ist die Stabiliät der Householder Methode zur Bestimmung vonx∗.
3. Es giltkA x−bk2=kR x−Q bk2für beliebiges x∈Rn.
4. Die MatrixR kann man über Householder Transformationen angewandt aufAbestimmen.
5. Bestimmen SiekAT(Ax∗−b)k2.
6. Es seiQ=Hk . . . H2H1 ein Produkt vonkHouseholder Transformationen. Es gilt Q=QT. 7. Die Gauÿ-Newton Methode zur Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems ist lokal quadratisch
konvergent.
8. Bei der Gauÿ-Newton Methode zur Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems muss in jeder Iteration dieser Methode ein lineares Ausgleichsproblem gelöst werden.
9. Beim Levenberg-Marquardt-Verfahren zur Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems ist die Sy- stemmatrix des linearisierten Ausgleichsproblems in jedem Schritt stets symmetrisch positiv denit.
10. Es seienm= 3, n= 1,A=
1 0 0
,b=
2 3 4
. Bestimmen Siex∗.
3
Numerik MB F16 IGPM RWTH Aachen VF-5: Es seien Φ : Rn → Rn stetig dierenzierbar und x∗ so, dass Φ(x∗) = x∗ gilt. Für x0 ∈ Rn wird die Fixpunktiterationxk+1= Φ(xk), k= 0,1,2, . . .deniert.
1. Das Newton-Verfahren ist eine Fixpunktiteration.
2. Falls kΦ0(x∗)k = 0 gilt, so konvergiert die Fixpunktiteration für alle Startwerte mit kx0−x∗k hinreichend klein und die Konvergenzordnung ist mindestens zwei.
3. Es seienn= 1undΦ(x) = 1 +12cos(x). Alle Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes sind fürΦauf dem Intervall[0,1]erfüllt.
4. Es seienn= 1undΦ(x) = 0.1 +12sin(x). Die Fixpunktiteration konvergiert für beliebigesx0∈R.
5. Es sei0<kΦ0(x∗)k<1. Geben Sie die Konvergenzordnung an, mit der die Fixpunktiteration lokal konvergiert.
6. Es sei f : R → R zweimal stetig dierenzierbar mit f(x∗) = 0 und f0(x∗) 6= 0. Weiter sei x0 so gewählt, dass die Newton Methodexk+1=xk−ff(x0(xkk)) mit Startwertx0gegenx∗ konvergiert. Dann gilt für hinreichend groÿek:|x∗−xk| ≈(xk−xk+1)2.
7. Fürf : Rn →Rnseixk+1=xk−(f0(xk))−1f(xk), mitdet(f0(xk))6= 0, eine Iteration des Newton- Verfahrens. Es gilt: xk+1 ist die Nullstelle der linearen Taylor-Annäherung vonf an der Stellexk. 8. Das vereinfachte Newton-Verfahren ist lokal quadratisch konvergent.
9. Eine Dämpfungsstrategie beim Newton-Verfahren dient dazu, den Einzugsbereich der Methode zu erweitern.
10. Es sei f(x) =x3−12. Wir betrachten die Bisektionsmethode zur Annährung der Nullstelle dieser Funktion, mit Startwertenx0= 0,x1= 1. Berechnen Siex3.
VF-6: Es sei P(f|x0, . . . , xn)das LagrangeInterpolationspolynom zu den Daten (x0, f(x0)), . . . ,(xn, f(xn)) mit a =x0 < . . . < xn =b. Es sei [x0, . . . , xn]f die dividierte Dierenz der Ordnungn von f. Weiterhin soll zu f ∈ C[a, b] das Integral I(f) = Rb
a f(x)dx durch eine QuadraturformelIm(f) = (b−a)Pm
j=0wjf(ˆxj) mit a≤ˆx0< . . . <xˆm≤b numerisch approximiert werden. Ferner seiImn(f)die ausIm(f)konstruierte summierte Quadraturformel auf den Teilintervallen[tj−1, tj],j= 1, . . . , n, mittj=a+jh,j= 0,1, . . . , n,h= b−an . 1. Es giltP(f|x0, . . . , xn)(x) = (x−xn−1)[x0, . . . , xn]f+P(f|x0, . . . , xn−1)(x)für allex.
2. Der Fehlermaxx∈[a,b]|P(f|x0, . . . , xn)(x)−f(x)|hängt von der Wahl der Stützstellen ab.
3. Für allex∈RgiltP(f|x0, x1, . . . , xn)(x) =P(f|xn, xn−1, . . . , x0)(x).
4. Bei der Gauss-Quadratur giltIm(f) =I(f), fallsf ein Polynom vom Grad2m+ 1 ist.
5. Es seif(x) = 5x3+x2+ 2. Bestimmen Sie[x0, x1, x2, x3]f. 6. Bei den Newton-Cotes-Formeln giltxˆj=a+jb−am .
7. Es seiI1(f)die Trapezregel. Dann gilt|I1n(f)−I(f)| →0 fürn→ ∞. 8. Bei der Gauss-Quadratur hängen die Stützstellen ˆxj von der Funktionf ab.
9. Bei der Gauss-Quadratur giltwj≥0für alle j. 10. Berechnen SieR1
0 3 sin(π x)dxapproximativ mit der Simpsonregel für die Schrittweiteh= 1.
Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB F16
5
Numerik MB F16 NAME: MATR:
Aufgabe 1 (6 Punkte)
Es seiα∈Reine Konstante, sowie
A=
4 1 −3
4 −1 −1
12 3−2α 3α−10
, b=
5
−1 14−5α
.
Ziel dieser Aufgabe ist die Lösung des GleichungssystemsAx=b.
a) Bestimmen Sie die L R-Zerlegung von A in Abhängigkeit von α (ohne Pivotisierung). Geben Sie L und R explizit an.
b) Berechnen Sie die Determinante vonAmit Hilfe derL R-Zerlegung. Ist das GleichungssystemA x=bfür alle α∈Reindeutig lösbar? Geben Sie jeneαan, für welche dies der Fall ist.
c) Lösen Sie das Gleichungssystem mittels Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen, wobei angenommen wird, dassA nicht singulär sei.
Fortsetzung Aufgabe 1 Numerik MB F16
7
Numerik MB F16 NAME: MATR:
Aufgabe 2 (7 Punkte)
yi 0 1 0.5 zi 1 0 0.5
Die Werte in der oben gegebenen Tabelle gehorchen näherungsweise dem Gesetz y2
a +z2 b = 1.
Ziel dieser Aufgabe ist die Bestimmung optimaler Parameter (im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate)aundb. a) Formulieren Sie dazu das entsprechende nichtlineare AusgleichsproblemkF(x)k2→min. Geben SieF undx
explizit an.
b) Für das Gauÿ-Newton-Verfahren ist der Startwert (a0, b0) = (1,1) gegeben. Stellen Sie das zugehörige linea- risierte Ausgleichsproblem für den ersten Schritt auf und bestimmen Sie(a1, b1).
c) Ein optimaler Wert füraundb ista=b= 0.9. Geben Sie das Residuum für diesen Wert an.
Fortsetzung Aufgabe 2 Numerik MB F16
9
Numerik MB F16 NAME: MATR:
Aufgabe 3 (9 Punkte)
Die Lösungen des Gleichungssystems
x2+ 2x+y = 4
y2−x2 4 +x
2 = 33 4
sollen iterativ mit dem Newton- und dem vereinfachten Newton-Verfahren für Systeme bestimmt werden.
a) Fertigen Sie zunächst eine Skizze an, aus der die Lage aller Nullstellen hervorgeht, und geben Sie geeignete Startwerte an (Genauigkeit±0.5).
b) Benutzen Sie dann als Startwert für die Nullstelle im 4. Quadranten für beide Verfahren x0=
x0
y0
= 1
−2
,
und führen Sie je zwei Iterationen durch.
Bem.: Die übrigen Nullstellen müssen nicht berechnet werden.
−5 5
−5 5
x y
Fortsetzung Aufgabe 3 Numerik MB F16
11
Numerik MB F16 NAME: MATR:
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Für die Funktion
F(x) = Z x
0
esin(t)dt
ist eine Wertetabelle gegeben.
x -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
F(x) -0.18133 0 0.22132 0.49037 0.81355 1.1944 1.6319
a) Gesucht ist eine Näherung für F(0.25) mit der Hilfe eines Polynoms zweiten Grades. Berechnen Sie den entsprechenden Näherungswert mit dem Neville-Aitken-Schema und begründen Sie die Wahl der Stützstellen.
b) Geben Sie eine möglichst gute Fehlerabschätzung für den in Aufgabenteil a) berechneten Näherungswert an.
Hinweis: Es geltenF(2)(x) =esin(x)cos(x),F(3)(x) =esin(x)(cos2(x)−sin(x)),F(4)(x) =−esin(x)cos(x)(sin2(x) + 3 sin(x)).
Fortsetzung Aufgabe 4 Numerik MB F16
13
Numerik MB F16 NAME: MATR:
Aufgabe 5 (4 Punkte)
Gesucht ist eine Näherung für das Integral
I(f) = Z 1
0
sin(ex)dx.
Berechnen Sie mit der summierten Mittelpunktsregel eine Näherung, die vom exakten Wert um höchstens 0.12 abweicht. Geben Sie den berechneten Näherungswert explizit an.
Hinweis: Im Intervall[0,1]hatf(3)(x)genau eine Nullstelle beixE= 0.92606.
Fortsetzung Aufgabe 5 Numerik MB F16
15
Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB F16 NAME: MATR:
Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB F16 NAME: MATR:
17
Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB F16 NAME: MATR:
