Wahrscheinlichkeitstheorie für Informatiker und Lehramt GS Tutorium, WS 2013/14, M. Marohn
Beispiel Kombinatorik (Wörter)
Aufgabe: Wie viele (nicht notwendig sinnvolle) Wörter kann man aus dem Wort
R O K O K O K O M M O D E
bilden?
Lösung:
Die Überlegung dazu kommt vom allgemeinen Multinomialkoeffizienten. Es gibt zunächst allgemein 𝑛!
𝑘1! ⋅ 𝑘2! ⋅ … ⋅ 𝑘𝑟!
Möglichkeiten, Wörter der Länge 𝑛 aus 𝑟 verschiedenen Buchstaben zu bilden, von denen der 1.
Buchstabe 𝑘1-mal, der 2. Buchstabe 𝑘2-mal, ..., der 𝑟. Buchstabe 𝑘𝑟-mal vorkommt. Demnach muss (das Wort hat die Länge 𝑛) die Summe
𝑘1+ 𝑘2+. . . +𝑘𝑟 = 𝑛 sein.
In obigem Wort ist die Wortlänge 𝑛 = 13 und es gibt 𝟏 × 𝑅, 𝟓 × 𝑂, 𝟑 × 𝐾, 𝟐 × 𝑀, 𝟏 × 𝐷, 𝟏 × 𝐸.
Daher ist die Lösung
13!
1! ⋅ 5! ⋅ 3! ⋅ 2! ⋅ 1! ⋅ 1!= 4324320
Die Überlegung: grundsätzlich gibt es 13! Möglichkeiten, Wörter aus 13 Buchstaben zu bilden. Nun kommen aber davon einige mehrmals vor. Es gibt nur 6 verschiedene Buchstaben, wobei die Anordnung gleicher Buchstaben (z.B. an welcher Stelle welches O) nicht unterschieden werden kann.
Daher müssen die Möglichkeiten (13!) noch durch etwas dividiert werden, nämlich durch die Möglichkeiten, jeweils gleiche Buchstaben anzuordnen. (z.B. 5! für O und 3! für K).
