-Vorbereitung- ElektrischeMessverfahren Versuch:P1-81

Physikalisches Anfängerpraktikum 1 Gruppe Mo-16

Wintersemester 2005/06 Julian Merkert (1229929)

Versuch: P1-81

Elektrische Messverfahren

- Vorbereitung -

Vorbemerkung

In diesem Versuch geht es um das Kennenlernen verschiedenster Messverfahren für Gröÿen wie Span- nung, Strom, Widerstand, Induktivität und Kapazität. Die Auswirkungen des Messverfahrens (durch die verwendeten Geräte etc.) auf die Messwerte soll hierbei beobachtet werden. Ziel ist es, durch die Anwendung der am besten geeigneten Methode Messfehler möglichst zu vermeiden bzw. gegebenfalls zu korrigieren.

Inhaltsverzeichnis

1 Versuche mit Gleichspannung (DC) 2

1.1 InnenwiderstandI_i^I des µA-Multizets . . . 2

1.2 Berechnung des InnenwiderstandsR^U_i desAVΩ-Multizets . . . 2

1.3 Bestimmung eines unbekannten WiderstandsRxmittels Strom- und Spannungsmessungen 3 1.3.1 Spannungsrichtige Schaltung . . . 3

1.3.2 Stromrichtige Schaltung . . . 3

1.3.3 Zweite Messreihe . . . 3

1.3.4 Ideale Innenwiderstände von Messgeräten . . . 4

1.4 Wheatstonesche Brückenschaltung . . . 4

1.4.1 Vorteil der Wheatstoneschen Brückenschaltung . . . 4

1.5 Widerstandsmessung perΩ-Messbereich des µA-Multizets . . . 5

1.6 Messung der UrspannungU₀ einer Trockenbatterie mittels Kompensationsschaltung . . 5

1.7 Innenwiderstand der Trockenbatterie bei Belastung . . . 5

2 Versuche mit Wechselspannung (AC) 6 2.1 Gleichstromwiderstand einer Spule . . . 6

2.2 Induktivität und Verlustwiderstand einer Spule . . . 6

2.3 Messungen im Parallelschwingkreis . . . 8

2.4 Wechselstromwiderstände eines Parallelschwingkreises . . . 8

2.5 Innenwiderstand des Sinusgenerators . . . 9

1 Versuche mit Gleichspannung (DC)

1.1 Innenwiderstand I_i^I des µA-Multizets

Das µA-Multizet ist ein Universalmeÿgerät der Firma Siemens, dessen Innenwiderstand in diesem Versuch bestimmt werden soll. Hierzu schalten wir das µA-Multizet, einen Widerstand R₁ = 10kΩ und einen regelbaren Widerstand R_reg = 10kΩ in folgender Weise (AusgangsspannungU₀= 6V):

Vorgehensweise bei der Messung:

• Zunächst die Schaltung ohne Spannungsmeÿgerät (in diesem FallAVΩ-Multizet im 0,3V-Bereich) aufbauen

• Mit dem regelbaren Widerstand Rreg einen Strom von1mA einstellen

• Dann dasAVΩ-Multizet anschlieÿen und die Spannung messen

Nach dem Ohm'schen Gesetz errechnet sich der gesuchte Innenwiderstand R^I_i des Universalmeÿgeräts zu

R^I_i = U

I (1)

1.2 Berechnung des Innenwiderstands R^U_i des AVΩ-Multizets

In Teilaufgabe 1 kann man annehmen, dass sich der Gesamtstrom nach Zuschaltung des Spannungs- meÿgeräts (3.) fast nicht geändert hat. Mit dieser Näherung gilt für den Innenwiderstand des AVΩ- Multizets:

R^U_i = U

∆I = U0

I₀−I (2)

da die Dierenz zwischen dem vorher eingestellten StromI₀ und dem nach Zuschaltung des Spannungs- meÿgeräts gemessenen StromsI gerade durch das Strommeÿgerät ieÿen muss. Der Gesamtwiderstand R_{M ess} der beiden Meÿgeräte berechnet sich als Parallelschaltung zweier Widerstände mit:

1 RM ess

= 1 R^I_i + 1

R^U_i (3)

⇒R_{M ess}= R^I_i ·R^U_i

R^I_i +R^U_i (4)

Der Gesamtwiderstand der Schaltung beträgt also:

R_ges =R₁+R_reg+R_{M ess} = U₀

I (5)

Löst man Gleichung (5) nachI auf, so erhält man folgende Formel, die eine genauere Berechnung des Stromes I ermöglicht:

U₀ U₀ U₀

(6)

Im Iterationsverfahren kann dieser (bessere) Wert für den StromI dann wieder oben eingesetzt werden, so dass nach mehr Durchläufen immer genauere Ergebnisse entstehen.

1.3 Bestimmung eines unbekannten Widerstands R_x mittels Strom- und Span- nungsmessungen

Ein Widerstand R1 = 10kΩsoll in Reihe mit einem unbekannten WiderstandRx (ca.470 Ω) und dem Strommessgerät geschaltet werden (AusgangsspannungU₀ = 6V). Nun gibt es zwei Möglichkeiten, das Spannungsmessgerät in die Schaltung einzubauen:

(1) über R_x (spannungsrichtig)

(2) über der Reihenschaltung von Rx und dem Strommessgerät (stromrichtig)

1.3.1 Spannungsrichtige Schaltung

Bei dieser Messanordnung wird exakt die Spannung gemessen, die überRxabfällt. Das Strommessgerät misst jedoch nicht den Strom, der durch R_x ieÿt, sondern den Gesamtstrom, der durch die Parallel- schaltung von R_x und Spannungsmeÿgerät (Innenwiderstand R_U) ieÿt. Deshalb ergibt sich für den gesuchten Widerstand Rx:

I_x =I−I_U (7)

⇒Rx = U Ix

= U I−_R^U

U

(8) 1.3.2 Stromrichtige Schaltung

Bei dieser Messanordnung wird exakt der Strom gemessen, der durch den Widerstand Rx ieÿt. Die gemessene Spannung ist jedoch die Spannung über der Reihenschaltung aus R_x und Strommessgerät (InnenwiderstandR_I), und nicht die Spannung überR_x allein. Der gesuchte WiderstandR_xleitet sich diesmal folgendermaÿen her:

Ux =U −I·RI (9)

⇒Rx = Ux

I = U

I −RI (10)

1.3.3 Zweite Messreihe

Die Messung soll mit vertauschtem µA- undAVΩ-Multizet wiederholt werden. Insgesamt ergeben sich also vier Strom-Spannungs-Wertepaare. Aus diesen soll anschlieÿend der Wert des Widerstandes Rx

ermittelt werden - zunächst ohne, dann mit Berücksichtigung der Innenwiderstände der Messgeräte.

1.3.4 Ideale Innenwiderstände von Messgeräten

Die Innenwiderstände der Messinstrumente sollten das Ergebnis der Messung natürlich möglichst wenig beeinussen. Deshalb muss man bei der Herstellung der beiden Typen folgendes beachten:

• Spannungsmessgeräte werden parallel geschaltet, weshalb der Innenwiderstand Ri möglichst groÿ gewählt werden sollte. Dann liegt nämlich der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung Ver- braucher / Messgerät

1 Rges

= 1 R + 1

Ri (11)

nahe am WiderstandR der Ausgangsschaltung. Durch das Spannungsmessgerät ieÿt in diesem Fall nur ein geringer Strom, fast die gesamte Spannung bleibt über R erhalten.

• Strommessgeräte werden in Reihe geschaltet. Um eine minimale Beeinussung des Stromkrei- ses zu erreichen, sollte der InnenwiderstandR_i möglichst klein gewählt werden - so fällt nur sehr wenig Spannung am Messinstrument ab.

1.4 Wheatstonesche Brückenschaltung

Jetzt soll zur Bestimmung eines unbekannten Widerstands R_x die Wheatstonesche Brückenschaltung verwendet werden. Diese wird aus 3 bekannten Widerständen (davon 1 verstellbarer) und dem zu messenden R_x aufgebaut. In diesem Versuch soll das Potentiometer als Ersatz für zwei Widerstände dienen. Zwischen den Widerständen wird wie folgt als Strommessgerät ein µA-Multizet geschaltet:

Das Potentiometer wird nun so eingestellt, dass durch das Strommessgerät (Brücke) kein Strom mehr ieÿt. Mit dem bekannten Widerstand R = 1kΩund der Potentiometer-Einstellung (Verhältnis R₁ : R₂) gilt dann fürR_x:

R_x = R₁

R₂ ·R (12)

Vor die Brückenschaltung muss allerdings ein WiderstandR_vor = 220Ωzur Strombegrenzung geschaltet werden!

1.4.1 Vorteil der Wheatstoneschen Brückenschaltung

• Die Wheatstonesche Brückenschaltung erlaubt auch die Verwendung relativ ungenauer Messge- räte, die z.B. einen sehr hohen Innenwiderstand haben. Dies fällt bei dieser Schaltung nicht ins Gewicht, da der Strom sowieso auf Null eingestellt wird.

• Auÿerdem entfällt aus dem gleichen Grund das Herausrechnen des Innenwiderstands der Mess- geräte.

• Des weiteren ist die Berechnung des gesuchten Widerstands R_x unabhängig von der angelegten Spannung (vergleiche hierzu Formel (12)). Schwankende Spannungsquellen und selbst Wechsel- spannungen können als Ausgangsspannung verwendet werden!

1.5 Widerstandsmessung per Ω-Messbereich des µA-Multizets

Stellt man am µA-Multizet den Messbereich Ω ein, so legt das Gerät automatisch eine bekannte Spannung am zu messenden Widerstand an und registriert den ieÿenden Strom. Mit dem ohm'schen Gesetz R = ^U_I kann der Widerstand so direkt berechnet werden. Die Unterschied zwischen linearer und logarithmischer Skalierung ist lediglich in der Darstellungsweise gegeben: auf der logarithmischen Skala kann ein gröÿerer Bereich dargestellt werden.

1.6 Messung der Urspannung U0 einer Trockenbatterie mittels Kompensations- schaltung

Bei der Kompensationsschaltung wird die zu messende Spannung U0 der Trockenbatterie in Reihe mit eine Spannung UH geschaltet. Diese Spannung wird mittels AVΩ-Multizet genau gemessen. Die resultierende Spannung beider Quellen wird mit Hilfe des µA-Multizets gemessen:

Durch Veränderung der SpannungU_H wird die resultierende Spannung auf Null heruntergeregelt. Jetzt sind UH und U0 gleich, somit ist die gesuchte Spannung U0 bekannt. Die Kompensationsschaltung wird angewendet, wenn die Stromquelle einen nicht vernachlässigbaren Innenwiderstand hat - also die Spannung bei zunehmendem Stromuss sinkt.

1.7 Innenwiderstand der Trockenbatterie bei Belastung

Zunächst wird analog zu Aufgabe 1.6 die resultierende Spannung am µA-Multizet auf Null gestellt.

Anschlieÿend wird kurzzeitig ein Lastwiderstand (R = 220 Ω, R = 110 Ω, R = 47 Ω, R = 22 Ω) zur Batterie parallel geschaltet und die Spannung am µA-Multizet als Dierenzspannung∆U notiert. Es gilt dann:

U0−∆U =R·I (13)

∆U =Ri·I (14)

⇒Ri=R ∆U

U₀−∆U (15)

Schaltskizze:

2 Versuche mit Wechselspannung (AC)

2.1 Gleichstromwiderstand einer Spule

Wie in Aufgabe 1.5 messen wir den Widerstand der Spule direkt mit demµA-Multizet imΩ-Messbereich.

2.2 Induktivität und Verlustwiderstand einer Spule

Nachdem wir in 2.1 den Gleichstromwiderstand der Spule bestimmt haben, möchten wir jetzt Mes- sungen bei Wechselstrom (U = 0,2V, f = 30Hz) durchführen. Hierfür schlieÿen wir die Spule mit einem Vorwiderstand RV = 110 Ω an den Sinusgenerator an und messen nacheinander die Spannung am Generator (U_G), am Vorwiderstand (U_V) und an der Spule (U_L).

Zunächst einmal möchte ich festhalten, dass es sich um eine Reihenschaltung handelt, und deshalb der Strom voll am Vorwiderstand abfällt. Das heiÿt:

I = UV

R_V (16)

Die am Generator gemessene GesamtspannungU_Gsetzt sich laut dem Zeigerdiagramm folgendermaÿen zusammen:

• Die Reihenschaltung des ohm'schen Widerstands der Spule (U_R) mit dem Vorwiderstand (U_V) verläuft wie der Strom

• Dazu um 90^◦ Phasenverschoben ist der induktive Widerstand bzw. die zugehörige SpannungUX, die wir allerdings nicht messen können.

Nach dem Satz des Pythagoras folgt für die Spannungen:

U_G² = (UV +UR)²+U_X² (17) Betrachten wir jetzt das kleinere Dreieck im Zeigerdiagramm:

U_L ist die Spannung über der Spule, die wir messen können. Sie setzt sich aus dem Ohm'schen Wi- derstand R der Spule und dem induktiven Widerstand (mit zugehöriger Spannung U_X) zusammen.

Wieder nach dem Satz des Pythagoras gilt:

Lösen wir (17) und (18) nachU_X² auf und setzen die beiden Gleichungen gleich, umUX zu eliminieren:

U_G² −U_V² −2·U_R·U_V −U_R² =U_L²−U_R² (19) (19) +U_R² liefert:

U_G² −U_V² −2·UR·UV =U_L² (20) Aufgelöst nach UR ergibt (20):

U_R= U_G² −U_V² −U_L²

2·U_V (21)

Dies ist die Spannung, die über dem Ohm'schen Widerstand Rder Spule abfällt! Deshalb beträgt der Verlustwiderstand R der Spule nach Formel (21) und (16):

R= UR

I =

U_G²−U_V²−U_L² 2·U_V

UV

RV

= U_G² −U_V² −U_L² 2·U_V ·RV

U_V (22)

Zur Bestimmung der Induktivität betrachten wir noch einmal das zweite Zeigerdiagramm:

Zur Erinnerung: U_L ist die Gesamtspannung, die an der Spule abfällt (wird gemessen), U_R ist die Spannung am Ohm'schen Widerstand der Spule und UX die Spannung, die über dem induktiven Widerstand RX abfällt. Die Formel für den induktiven Widerstand lautet:

RX =ω·L (23)

⇒L= RX

ω = UX

I ·ω = UX

ω ·RV

U_V (24)

wobei I mit (16) ersetzt wurde. Unbekannte Gröÿe ist noch das UX. Aus dem Zeigerdiagramm ist ersichtlich (mit Pythagoras):

UX = q

U_L² −U_R² (25)

(25) eingesetzt in (24) ergibt für die Induktivität L: L= RV

UV ·ω · q

U_L² −U_R² (26)

2.3 Messungen im Parallelschwingkreis

Aus einem Kondensator mit der Kapazität C und einer Spule Lwird ein Parallelschwingkreis gebaut.

Über einen VorwiderstandR_V = 1MΩwird der Schwingkreis an den Sinusgenerator angeschlossen. Mit Hilfe der Skizze der Vorbereitungshilfe wird ein Phasendierenz-Messgerät in die Schaltung eingebaut.

Vorgehensweise bei der Messung:

• Maximale Ausgangsspannung U0 anlegen und messen

• Messung der Spannung am Resonanzkreis (U_R) und ihre Phasenverschiebungϕgegen den Gene- ratorstrom in Abhängigkeit von der angelegten Frequenzω. Hierbei soll in Schritten von20−5Hz (je nach Resonanznähe) im Bereich von100Hz≤ω≤400Hz gemessen werden.

• Aus den sich daraus ergebenden Schaubildern soll die maximale Frequenz ω0 und die Halbwerts- breite ∆ω ermittelt werden. Diese Halbwertsbreite ist die Dierenz der Frequenzen, bei der die Spannung UR halb so groÿ wie im Resonanzfall (U_R^∗) ist. Anschlieÿend soll berechnet werden:

Resonanzwiderstand:R_r=U_R^∗ ·^R_U^V

0

Schwingkreiswiderstand:R= ¹₃R_r

∆ω ω0

2

Kapazität:C=

√ 3

∆ω·Rr

Induktivität: L= _ω2¹

0·C = ^R√r

3 ·^∆ω_ω2 0

2.4 Wechselstromwiderstände eines Parallelschwingkreises

An den Schwingkreis wird jetzt die Resonanzfrequenz ω0 aus Aufgabe 2.3 angelegt. Da in diesem Fall sehr groÿe Ströme entstehen können, wird nicht das Verfahren von Aufgabe 2.2 eingesetzt. Hier werden Strom und Spannung jeweils an den einzelnen Bauteilen gemssen und mitR = ^U_I ihr elektrischer Widerstand bestimmt.

Für den kapazitiven Widerstand gilt:

R_C = 1

ω·C (27)

⇒C = 1

R_C ·ω (28)

I

Zur Bestimmung der Induktivität ziehen wir wieder das Zeigerdiagramm zu Rate, wobei diesmal der Vorwiderstand nicht betrachtet wird.

Bei unserer Messung erhalten wir den Gesamtwiderstand Z_Sp durch die an der Spule gemessenen Gröÿen Spannung US und StromIS:

ZSp= US

IS (30)

Aus dem Zeigerdiagramm ist ersichtlich, dass zwischen ZSp, InnenwiderstandRI (=Gleichstromwider- stand) und induktivem Widerstand R_L=ωLfolgende Relation gilt:

Z_Sp² =R²_I+ω²L² (31) (31) aufgelöst nach Lergibt für die Induktivität:

L= q

Z_Sp² −R_I²

ω (32)

(Bem.: in diesem Fall ist ω=ω0 aus 2.3).

2.5 Innenwiderstand des Sinusgenerators

Zunächst bestimmen wir die Leerlaufspannung des Sinusgenerators. Dann wird ein regelbarer Wider- stand (R1 = 1kΩ-Potentiometer) angeschlossen und die Ausgangsspannung auf die halbe Leerlauf- spannung heruntergeregelt.

Jetzt gilt:

R_I =R₁ (33)

Verdoppeln von R₁ liefert den Innenwiderstand des Sinusgenerators. Nach den Kirchho'schen Regeln gelten in unserer Schaltung folgende Gesetzmäÿigkeiten:

I = U0

R_I+R₁ (34)

U0 =UR+UI (35)

UR=R1·I (36)

Mit P =U_R·I und (34)-(36) gilt nun:

P =U_R·I =R₁·I²=R₁· U₀²

(R_I+R₁)² (37)

Das Maximum erhält man, in dem man von der Ableitung von P(R1) eine Nullstelle bestimmt.

∂P

∂R1

= U₀²

(RI+R1)² +R₁· −2U₀²

(RI+R1)³ =U₀²R_I+R₁−2R₁

(RI+R1)³ =U₀² R_I−R₁

(RI+R1)³ (38) (38) wird gerade fürR_I =R1 Null. Die maximale Leistung erhält man, wenn man dies in (37) einsetzt:

Pmax =RI· U₀²

(2R_I)² = U₀²

4R_I (39)