Stabilisierung und Kontrolle komplexer Dynamik durch mehrfach zeitverzögerte Rückkopplung

Dissertation

zur Erlangung des Doktorgrades

der MathematishNaturwissenshaftlihen Fakultäten

der GeorgAugustUniversität zu Göttingen

vorgelegtvon

Alexander Ahlborn

aus Göttingen

Göttingen 2007

Korreferent Prof. Dr. Eberhard Bodenshatz

Tag der mündlihen Prüfung:

1 Einleitung 7

2 Regelung von haotishen Systemen 11

2.1 Konventionelle Regelungsmethoden . . . 11

2.2 Chaoskontrolle . . . 14

2.3 MultipleDelay Feedbak Control . . . 16

2.4 LineareStabilitätsanalyse . . . 17

2.5 Beispiel- der Colpitts-Oszillator . . . 19

2.6 Vergleihzu anderen Regelungsmethoden . . . 24

2.7 Wirkungsweise im Fourierraum . . . 26

2.8 Parameterwahl . . . 29

2.8.1 Rükkopplungohne Totzeit . . . 29

2.8.2 RükkopplungmitTotzeit . . . 38

2.9 Koexistierende Fixpunkte: Anfangswertproblem . . . 43

2.10 RealisierungenvonZeitverzögerungen . . . 45

2.11 Weitere Details . . . 47

3 Von MDFC zu NFF 49 3.1 Übergang vom Zeit- inden Frequenzbereih . . . 49

4 Kontrollierbarkeitvon Fixpunkten 55

4.1 Allgemeines . . . 55

4.2 MultipleDelay Feedbak Control . . . 55

4.3 NothFilter Feedbak und Hohpasslter . . . 58

4.4 Periodishe Orbits . . . 62

5 Kontrolle haotisher Laserdynamik 63 5.1 Holograshe Displays . . . 63

5.2 Frequenzverdopplung . . . 64

5.3 Lasermodell . . . 66

5.4 Der experimentelle Aufbau . . . 70

5.5 Laser-Stabilisierung . . . 73

5.6 Regelungdes Lasers in der Praxis . . . 75

5.7 Regelungdes Lasers in der Simulation . . . 78

5.8 Phasensynhronisation . . . 83

6 Räumlih ausgedehnte Systeme 89 6.1 Allgemeines . . . 89

6.2 Die Ginzburg-Landau-Gleihung . . . 93

6.3 Stabilisierungebener Wellen . . . 93

6.4 Inhomogene Rükkopplung . . . 95

6.5 LokaleRükkopplung . . . 97

6.6 Synhronisation . . . 105

7 Zusammenfassung und Ausblik 111 7.1 Zusammenfassung . . . 111

7.2 Ausblik . . . 113

A Chaos-Kontrollmethoden ohne Zeitverzögerung 115 A.1 OGY-Kontrolle . . . 115

B Kontrollierbarkeitskriteriumim allgemeinsten Fall 121

C Räumlih ausgedehnte Systeme 125

C.1 Ginzburg-Landau-Gleihung (Stabilitätsanalyse) . . . 125

C.2 Ginzburg-Landau-Gleihung (Fixpunkt) . . . 125

C.3 Fitzhugh-Nagumo-System . . . 127

Einleitung

Die Welt, in der wir leben, ist nihtlinear. Beispiele für diesen Sahverhalt gibt es zahl-

reih, überall, jeden Tag. Viele dieser komplexen Vorgänge lassen sih durh Formeln

beshreiben und dennoh können für diese an sih rein deterministishen Systeme kei-

ne Langzeitvorhersagen vorgenommen werden. Vielmehr ist eine sensitive Abhängigkeit

von den Anfangswerten festzustellen, die zu extrem untershiedlihen Dynamikverläu-

fen führen kann. Solh haotishes Verhalten resultiert in vielen Fällenaus nihtlinearen

Kopplungen der Systemvariablenuntereinander.

Eine besondere Klasse nihtlinearer Systeme unterliegt zudem zeitverzögerter Dynamik,

derenBeshreibung übliherweise durh sogenannteDelay DierentialEquations(DDEs)

vorgenommen werden muss. Beispiele für diesen Zusammenhang ndet man in vielfäl-

tiger Art in der Biologie, Medizin und Tehnik [32,38,52,87,90,132,135,154,156℄. Die

angesprohene Zeitverzögerung ist das Ergebnis einer endlihen Signalausbreitungsge-

shwindigkeit einer oder mehrerer Systemvariablen.Oft ist mit dem Vorhandensein zeit-

verzögerter Gröÿen periodishe oder u.U. hohdimensionale haotishe Dynamik ver-

knüpft [10,44,65,139,153℄. Allerdings sind die erwähnten periodishen oder haotishen

Oszillationenin Anwendungen häug unerwünsht und stellen sih alswidrigeBegleiter-

sheinungeneines gewünshten Eektes, der lediglihdurh denEinsatz nihtlinearerSy-

steme erreiht werdenkann, heraus.Die dafürbenötigten Systemekönnenohne den Ver-

lust ihrergewünshten Eigenshaften nihtmehrwie bisher üblihauf einenlinearenund

damitvorhersagbaren Arbeitsbereiheingeshränkt werden. Insolhen Fällenmuss dann

eine geeignete Regelungimplementiertwerden,um dieNihtlinearitätnihtzu zerstören,

sondern um diebenötigten (haotishen)Systeme zu stabilisierenund fürzukünftige An-

wendungen handhabbarzu mahen. Dabeibesitzt dieStabilisierungvonFixpunkten, auf

diein dieserArbeithauptsähliheingegangen wird, eine besondere Bedeutung. Erreiht

wird dieses Ziel durh eine geeignete Veränderung eines zugänglihen Systemparame-

ters oder einer Systemvariablen. Aufgrund der internen Kopplung der Systemvariablen

reiht bei einem nihtlinearenSystem die Beeinussung einer einzigenVariablenoder ei-

nes Parameters aus, um alle Variablen zu verändern. Dieses Vorgehen führt bei falshen

Regelparametern zu einer komplizierteren Dynamik bzw. bei geeigneter Parameterwahl

zudergewünshten einfahenZieldynamik(indiesemFalleinemFixpunkt).DasProblem

besteht allerdings darin, dass die Dynamik des zu regelnden Systems wegen der sensiti-

ven Abhängigkeit von den Anfangswerten u.U. nur sehr shwer vorhersagbar ist, womit

sih natürlihauh eine Vorausberehnung des für dieZieldynamik nötigen Regelsignals

u.U. kompliziertgestaltet. Besondere ShwierigkeitenbereitenindiesemZusammenhang

shnelle und/oder hohdimensionale(raum-)zeitlihhaotishe Systeme.

Um deren komplexe Dynamik zu zähmen, wurden in den letzten 15 Jahren groÿe An-

strengungenunternommen. ZumEinsatz kamdabeineben Steuerungen [62℄ und konven-

tionellen Regelungen (z.B. PID-Regelung [150℄) eine Vielzahl alternativer Kontrollme-

thoden, die z.B. auf lokalen Approximationen einer geeignet gewählten Poinaré-Ebene

beruhen [136℄.Daneben wurden Methodeneingesetzt, dieaufder Verwendung einerZeit-

verzögerungbasieren [117,141℄,wasinAnbetrahtdervorherigenAusführungenzunähst

kontraintuitiv wirkt, aber dennoh erfolgreih ist.Unglükliherweise sind die genannten

RegelungennihtuniversellfüralledynamishenSystemeanwendbar,sondernunterliegen

ernsthaften Beshränkungen.

ZurUmgehungdieserBeshränkungenhabeihdiebeidenneuartigenRegelungsmethoden

Multiple Delay Feedbak Control (MDFC) [46,9℄ und Noth Filter Feedbak (NFF) [8℄

vorgeshlagen. Während bei MDFC die Wirkung gewihteter Dierenzen mehrerer un-

tershiedlih lang verzögerter Signale und deren unverzögerter Gröÿen ausgenutzt wird,

basiert NFF auf der Verwendung von mehreren Kerbltern untershiedliher Resonanz-

frequenz. Im Zuge dieser Arbeit werden sih MDFC und NFF allen anderen bisherigen

Regelungsmethoden wie (E)TDAS, NTDAS, P(roportional)- und PD-Regelungals über-

legen herausstellen. Das gilthinsihtlih der Güte der Fixpunktstabilisierungals auh in

Bezug auf die Einsatzfähigkeit und Ezienz. Zudem ist aufgrund einer starken Erweite-

rung der Stabilitätsgebiete im Vergleih zu alternativen Regelungsmethoden eine erfolg-

reihe Stabilisierung von Fixpunkten in Gegenwart langer Verzögerungszeiten möglih.

Erreiht werden diese Vorteile für MDFC durh die individuelle Gewihtung der einzel-

nen verzögerten und unverzögerten Terme. Dadurh kann das Regelsignal besser an das

zu regelnde dynamishe System angepasst werden, als es bei bisherigen Regelungen mit

vergleihbarem Aufwand der Fallist.Diese Sahverhalte werden imanshlieÿenden zwei-

tenKapitelanhandvonSimulationenuntermauert. Dadieanalytishe Untersuhung von

Delay DierentialEquationsshwierigbzw. fürmehrere unabhängigeVerzögerungszeiten

unmöglihist,muss siheinTeilder Untersuhungen allerdingsSpezialfällenwidmen, um

analytishexakte Lösungen zu liefern.

Vergleihbare Ergebnisse wie mit MDFC im Zeitbereih können durh das sogenannte

Noth Filter Feedbak (NFF) [8℄ im Fourierraum erzielt werden. Dabei wird die MDFC-

Übertragungsfunktion lokal durh parallel angeordnete und individuellgewihtete Kerb-

lterapproximiert.ImRahmendesdrittenKapitelswirdsihdieEzienzdieserMethode

Ähnlih wie bei periodishen Orbits unterliegen die bekannten Zeitverzögerungsregelun-

gen(E)TDASauhallgemeinenBeshränkungen beiderFixpunktstabilisierung.Solassen

sihimGegensatz zu (E)TDASinstabileSattelpunktemitMDFCund NFFkontrollieren

bzw. stabilisieren. Diese vorteilhafte Eigenshaft der beiden zuletzt genannten Regelun-

gen wird imviertenKapitelmathematishbewiesen, durhSimulationen veranshauliht

undzeigtdieÜberlegenheitvonNFFundMDFCgegenüberdenanderenbekanntenRege-

lungsmethoden.DieserSahverhaltspiegeltsihauhbeidererfolgreihenexperimentellen

Stabilisierungeineskompakten,internfrequenzverdoppeltenNd:YAGLasersaufeinekon-

stante Ausgangsintensität mit Hilfe von MDFC oder NFF wider. Dieser Lasertyp wird

häug zur Erzeugung vongrünem oder blauem Laserliht verwendet. Unglükliherweise

treten dabei (haotishe) Intensitätsshwankungen auf, wenn z.B. der Pumpstrom des

Lasers einen bestimmten kritishen Wert übershreitet. Dieses seit 20 Jahren bestehen-

de green problem [64,65℄ zeihnet sih durh eine äuÿerst shwer zu zähmende Dynamik

aus, die bisher den Einsatz derartiger frequenzverdoppelter Laser in Anwendungen wie

holograshenDisplaysoderderDatenübertragungundCodierungbehindert.Sowohlmit

MDFCalsauhmitNFF konntedas greenproblemsehr starkreduziert werden.Die ent-

sprehenden Resultate, die auh durh ausgedehnte Simulationen an einem geeigneten,

detaillierten Lasermodell bestätigt wurden, sind dem fünften Kapitel zu entnehmen. In

diesemZusammenhangwirdauhdietehnishrelevanteMöglihkeiteinerlangsamenpe-

riodishen Modulationdes stabilisierten Lasers zum Zwek der Informationsübertragung

untersuht, was z.B. für die Realisierung von farbigen holograshen Displays entshei-

dend ist. Diese Modulation stellt zusätzlih zu der aktivierten Regelung eine Steuerung

des Lasers dar. Wird nun die Regelung bei aktivierter Steuerung abgeshaltet, tritt bei

geeigneterParameterwahl(haotishe)Phasensynhronisationauf,dieimZugedieserAr-

beit experimentell bei dem untersuhten Lasersystem nahgewiesen werden konnte. Die

entsprehenden Ergebnisse sind ebenfalls dem fünftenKapitel zu entnehmen.

Der Übergang zu räumlih ausgedehnten Systemen wird shlieÿlih im sehsten Kapitel

vorgenommen. Im Vordergrund steht hierbei die Kontrolle der komplexen zweidimensio-

nalen Ginzburg-Landau-Gleihung (GLE), die je nah Parameterwahl Spiralhaos oder

turbulente Dynamik oenbart. Dabei liegt neben der Unterdrükung haotisher Oszil-

lationen ein Fokus auf der Umwandlung von Spiralwellen oder turbulenter Dynamik in

laufende ebene Wellen, waslediglihmit globaloder lokalangewendetem MDFC für alle

GLE-Parameter möglih ist. Die Geshwindigkeit dieser ebenen Wellen kann wiederum

durhdieMDFC-Parameterverändertwerden,diezudembeilokalerAnwendungnohdie

Möglihkeitweiterer Manipulationenwie sektorgerihteter oder gesherter ebener Wellen

oder Spiralfallenbieten. Die Betrahtung der für die lokaleAnwendung des Regelsignals

erforderlihen Kontrollzellen führt für Spiralfallen wiederum auf den Vorgang der Syn-

hronisation, der imsehsten Kapiteluntersuht wird.

AlsAbshlussumfasstdassiebteKapiteleinekurzeZusammenfassungderbisdahinvorge-

stelltenErgebnissesowie einenkleinenAusblikaufdarausresultierendeFragestellungen.

Chaos-Kontrollmethoden, allgemeinen Kontrollierbarkeitskriterien von Fixpunkten mit

Hilfe von MDFC sowie weitere Ausführungen zur Kontrolle von raum-zeitlihem Chaos.

Unter anderem kann dabeidas bekannte Fitzhugh-Nagumo-SystemmitHilfe vonMDFC

undNFFauflaufendeWellenstabilisiertwerden,waswiederumRelevanzfüreinemöglihe

Vermeidung von Herz-Rhythmus-Störungen immenshlihen Herzgewebehaben kann.

Regelung von haotishen Systemen

2.1 Konventionelle Regelungsmethoden

Die heutige Welt istohne den Einsatz von Regelungenund Steuerungen niht mehr vor-

stellbar.MandenkehierbeianübliheHeizungen (Zweipunktregelung 1

),Niveauregelun-

gen (Dreipunktregler) oder auh die Stabilisierung von Motordrehzahlen, Shrittmotor-

steuerung et.. AllgemeinsollmitHilfe einer Regelungoder Steuerung eine physikalishe

GröÿekonstantgehaltenoderineinerbestimmtenArtundWeiseverändertwerden.Dabei

bedientsihdieSteuerungimGegensatzzueinerRegelungeinereinseitigen,d.h.unidirek-

tionalenSignalübertragung,ohne ständigdenSystemzustand inForm einerMessgröÿe zu

detektieren.EineRegelungbzw.RegelstrekehingegenbestehtauseinerMesseinrihtung,

einer geeignet gewählten Regelgröÿe sowie dem eigentlihen Regler, der das notwendige

RegelsignalgeneriertundentsprehendeAbweihungeninFormeinerGegenkopplungkor-

rigiert.DiewohlamhäugstenverbreiteteRegelungstopologieistderPID-Regler[86,150℄.

Dabei wird der momentane Systemfehler

e(t) = r(t) − y(t)

^{zwishen der Sollgröÿe}

r(t)

und dem Messsignal

y(t) = g(x(t))

^des Systemzustandes

x

festgestellt und mittels eines Proportionalanteils (P), eines Integralanteils (I) sowie eines Dierenzierungsanteils (D)

wieder dem dynamishen System zugefügt. Insgesamt ergibtsihdas Regelsignal

u(t) = k p e(t) + k i

Z t

−∞

e(t) dt + k d

de(t)

dt ,

^(2.1)

1

KonventionelleReglerkönnenin stetige undunstetigeRegler eingeteiltwerden.StetigeRegelungen

sindbeispielsweiseP-,PD-,PIoderPID-Kontroller,diejedenbeliebigenWertdesKontrollsignalsanneh-

menkönnen,wohingegenZwei-,DreioderMehrpunktreglerunstetigeVertretervonRegelungensind.So

besitztderZweipunktreglernurzweiZuständedesRegelsignals,waseinemShaltermit denStellungen

AN undAUS entspriht.Sind entsprehendmehruntershiedliheShalterstellungenmöglih, wirdvon

einem Dreipunkt-oderMehrpunktreglergesprohen.Eingesetzt wird dieseRegeltopologiein Systemen,

indenen groÿeZeitkonstantenderRegelstrekeauftreten [144℄.

wobei die Verstärkungsfaktoren

k p

^,

k i

^und

k d

^{so zu wählen sind, dass die gesamte Re-}

gelstrekeniht selbständigzu shwingen anfängt.ZudiesemZwek wurden vershiedene

Strategien entwikelt [85℄, die im Zuge der optimalen Kontrolle zudem versuhen, die

Regelparameter entsprehend einer zu minimierenden system- und dynamikbezogenen

Kostenfunktion anzupassen.Häug wird dazu noh eine adaptiveKomponente benötigt,

die die Regelparameter in Gegenwart von Systeminstationarität entsprehend nahführt

und den untershiedlihen Dynamikbereihen anpasst.

Neben dem PID-ReglergibteszudemRegelungen, dieauf sogenannten Zustandsrükfüh-

rungen basieren. Hierbei handelt es sih um Mehrgröÿenregelungen, bei denen der Zu-

standsvektor

x(t)

^{mittels geeigneter Parameter wieder auf das System} zurükgekoppelt wird. Die verbreitetste Ausführungsform hierfür ist das in den 1950er Jahren entwikel-

te Pole Plaement [136℄, für das im Gegensatz zum PID-Regler vor dem Generieren des

Regelsignals eine Systemanalyse vorgenommen werden muss. Um die für die beabsih-

tigte ZieldynamiknotwendigenKontrollparameter zu ermitteln, wirdan dieserStelle das

zeitdiskrete System

˙

x _n = f (x n , p n ), x _n ∈ R ^N

(2.2) mitderglattenVektorfunktion

f (x n , p n )

^{sowie demextern}zugänglihenSystemparameter

p n

^{betrahtet. Da nur kleine Störungen zur Änderung der} Systemdynamik zum Einsatz kommen sollen (d.h.

| p n − p 0 | ≤ δ

^{), wird}

p n − p 0 = 0

^{gesetzt, wenn die} Systemdynamik noh weitvonder Zieldynamikentfernt ist.

p 0

^{bezeihnet den zu} variierenden Systempa- rameterbeiErreihender beabsihtigtenZieldynamik,z.B. amFixpunkt

x ₀ (p 0 )

^.Ineiner

kleinenUmgebungumdiesenFixpunktkanndasVektorfeldlinearisiertwerden,wasunter

Verwendung der

N × N

-Jaobi-Matrix

D x f

^{und dem}

N

-dimensionalenSpaltenvektor

D p f

auf

x _n+1 − x ₀ (p 0 ) = D x f (x n , p)

 

  _x

0 (p 0 )

(x n − x ₀ (p 0 )) + D p f (x n , p)

 

 

p 0

(p n − p 0 )

^(2.3)

führt. Die zeitabhängigeStörung berehnet sihunter diesemGesihtspunkt zu

p n − p 0 = − k ^tr · (x n − x ₀ (p 0 )) , k ^tr ∈ 1 × N

^(2.4)

mitdemzuermittelnden(transponierten)Verstärkungsvektor

k ^tr

^{.EinsetzenvonGl.(2.4)}

in Gl.(2.3) resultiert in

x _n+1 − x ₀ (p 0 ) = D x f (x n , p n )

 

  _x

0 (p 0 )

− D p f (x n , p)

 

 

p 0

· k ^tr

!

(x n − x ₀ (p 0 )).

^(2.5)

Ziel ist es nun, durh Anpassung von

k ^tr

^{an das} Kontrollproblem den betrahteten Fix- punkt zu stabilisieren, d.h. alleEigenwerte von

A − B k ^tr

^mit

A = D x f (x n , p) | ^x 0 (p 0 )

^und

B = D _p f (x _n , p) | _p 0

vomBetrag kleiner alseins zu gestalten. Unter der Annahme, dass die

Matrix

C = B | AB | A ² B | · · · | A ^N−1 B

(2.6)

vollen Rang hat, lässt sih dieLösung dieses Kontrollproblemszu

k ^tr = (α N − a N , . . . , α 1 − a 1 )E ⁻¹ , E = CW

^(2.7)

mit

W =



 

 

 

a N−1 a N −2 · · · a 1 1 a N−2 a N −3 · · · 1 0

.

.

.

.

.

. .

.

. .

.

. .

.

.

a ₁ 1 · · · 0 0 1 0 · · · 0 0



 

 

 

(2.8)

angeben [136℄.

a 1 , . . . , a N

^{bezeihnet indiesem} ZusammenhangdieKoezienten des ha- rakteristishen Polynoms von

A

^,und

α ₁ . . . α _N

^{inanalogerWeise die}entsprehenden Ko- ezienten des gewünshten harakteristishen Polynoms von

(A − Bk ^tr )

^.

Mit dem Beginn der Chaosforshung wurden die bisher genannten und für die Beein-

ussung von linearen Systemen entwikelten Regelungsstrategien eingesetzt, um auh

haotishe Systeme 2

für praktishe Anwendungen handhabbar zu mahen. Im Zuge der

Chaoskontrolle wird zu diesem Zwek im besten Fall nur eine einzige Systemobservable

detektiert, um das betrahtete System hinsihtlih der gewünshten Zieldynamik zu be-

einussen.

3

Die Grundvoraussetzung der Chaoskontrolle ist die Tatsahe, dass es eine

unendlihe Zahl von periodishen Orbits 4

und eine oft begrenzte Anzahl an(instabilen)

Fixpunkten gibt, die in einem haotishen Attraktor 5

eingebettet sind [14℄. Wegen der

Ergodizität erreiht die Dynamikin endliher Zeit dieNahbarshaft jeden dieserOrbits

oder Fixpunkte, wodurh unter Ausnutzung der sensitiven Abhängigkeit von den An-

fangsbedingungenkleine Störungendazuverwendetwerden können, dasSystemverhalten

in bestimmte Bahnen zu lenken und damit auftretendes Chaos durh kleine Parameter-

änderungen zu regelnbzw. zu eliminieren [106,136℄. ZuBeginn der Chaoskontrolle stand

dabei dieStabilisierungperiodisher Orbitsim Vordergrund, wofürdie bisher genannten

2

Nihtlinearebzw.haotisheSystemezeigeninihrerDynamikeineempndliheAbhängigkeitvonden

Anfangsbedingungen,sodassihrVerhaltennihtlangfristigvorhergesagtwerdenkann.DadieseSysteme

physikalishenGesetzenunterliegen,dieDynamikabergleihzeitigsheinbarirregulärist,bezeihnetman

siealsdeterministishesChaos[14℄.

3

Durh die Kopplung der Systemvariablem bei nihtlinearen bzw. haotishen Systemen reiht die

VeränderungeinerVariablenaus,umalleSystemvariablenzubeeinussen[136℄.

4

DieDynamikinnerhalbeineshaotishenbzw.nihtlinearenSystemskannvershiedeneFormenan-

nehmen. Die Palette der Variationen reiht von Fixpunkten über periodishes Verhalten (Orbits) und

quasiperiodisherDynamikbishinzuChaos.AndenÜbergängenzwishendiesenvershiedenenSystem-

verhaltensweisennden Bifurkationen (qualitativeÄnderungen derDynamik) statt,die durh Parame-

teränderungenbedingtsind[14℄.

5

Ein Attraktor ist eine unter der Zeitentwiklung eines dynamishen Systems invariante (d.h. sih

zeitlihnihtändernde)UntermengeeinesPhasenraums,diedurhdieDynamikdiesesSystemsnihtmehr

verlassenwird. Die Mengealler Punktedes Phasenraums,die unter derDynamikdemselben Attraktor

Regelungsmethodenallerdingsnurbedingtgeeignet sind.Folglihwurdeindenvergange-

nen 15Jahren eineVielzahl alternativerMethoden zur Chaoskontrolle vorgeshlagenund

theoretishwie auh experimentell untersuht [136℄.

2.2 Chaoskontrolle

Einer der ersten Ansätze haotishes Verhalten zu unterdrüken, wurde von Hübler und

Lüsher 1989 in Form von Steuerungsmethoden vorgeshlagen [62℄. Die Anwendung von

Steuerungsmethoden istofteinfaher alsdieeinerRegelung, dadieWirkungsweiseunidi-

rektional ist, was die Shwingneigung im Gesamtsystem minimiert. Allerdings wird sih

dieser Vorteil oft durh eine höhere benötigte Verstärkung im Vergleih zu Regelungs-

methoden erkauft. Nahteilig ist zudem, dass die Kontrollparameter zum Erreihen der

gewünshten Zieldynamik(z.B. einesperiodishenOrbits)häugdurhFehlshlagmetho-

den bestimmtwerden müssen.

AlternativhierzuveröentlihtenOtt, Grebogi undYorke(OGY)1991eine Regelungsme-

thode [106℄,dieim wesentlihen auf einerlokalen Anwendung des Pole-Plaement beruht

und eine Vielzahl von Veröentlihungen bezüglih Chaoskontrolle und alternativer Re-

gelungsideen nah sih zog [136℄. Im Detailbedienen sih OGYlokaler Approximationen

einergeeignetenPoinaré-Abbildung 6

imEinbettungsraum 7

,d.h.dieSystemgleihungen

müssen zu diesem Zwek entweder bereits bekannt sein oder mit Hilfe einer Zeitreihen-

analyse (lokal)approximiert werden. Ein Beispielfür dieStabilisierung eines Fixpunktes

mit der OGY-Methode bendet sih im Anhang ab Seite 115. Für eine experimentelle

Anwendung wird hierfürzunähst eine A/D-Wandlung, anshlieÿendnumerishe Bereh-

nungen und amEnde wiederumeine D/A-Wandlungbenötigt.Dieser Umstandmaht es

sehr shwierig, dieOGY-Kontrolle experimentell auf shnelle dynamishe Systeme anzu-

wenden.

Alternativen zur OGY-Kontrolle, dieauh mitanaloger Elektronik und ohne Computer-

einsatzimplementiertwerdenkönnen,sind z.B. OasionalProportional Feedbak (OPF)

6

Die Poinaré-Ebeneisteinegeeignet gewählte Ebeneim Phasenraumeineszeitkontinuierlihendy-

namishenSystems,dievondenTrajektorientransversalgeshnittenwird.DurhdieBetrahtungeiner

Poniaré-Ebene wird zum einen die Dimension des Systems um eins reduziert und zum anderen der

ÜbergangvoneinemkontinuierlihenSystemzueinerdiskreten,iteriertenAbbildungvorgenommen.Die

Abbildung,dieeinen(Durhstoÿ)PunktderEbeneaufdennähstenabbildet,wirdalsPoinaré-Abbildung

bezeihnet[14℄.

7

Inden meisten experimentellen Fällen sinddie Zustandsgleihungen apriori unbekannt. Umeinen

Attraktor auseiner in konstanten Abständen

∆t

^{gemessenen Zeitreihe} rekonstruieren zu können, wird die Zeitreihe

S n = g(x(n∆t))

entsprehend eingebettet.

x

^{bezeihnet den Zustand des} untersuhten Systems, das in skalarer Form durh die Beobahtungsfunktion

g

^{vorliegt. Die Einbettung wird dann}

übliherweise durhdieBildung vonZeitverzögerungsvektorenderForm

ζ n = (S n , S n+τ , . . . , S n+(d − 1)τ )

mit der Verzögerungszeit

τ

vorgenommen. Auf diese Weise besteht bei entsprehend groÿer Wahl der ganzzahligenEinbettungsdimension

d

^einDieomorphismus zwishendem eingebettetenAttraktorund

[63,98℄ (Details imAnhang ab Seite 118) oder Methoden, die auf Zeitverzögerungbasie-

ren.Diesezuletztgenannten Methoden werdenauhdenHauptshwerpunktdieserArbeit

bilden,wobeidiewohlbekanntesteAusführungsformdieser Artder Rükkopplungdieso-

genannte Pyragas-Kontrolle Time Delay Auto Synhronization(TDAS) [70,102,117℄ ist.

Ähnlih wie die OGY-Kontrolle - aber wesentlih einfaher im Experiment zu imple-

mentieren - wurde TDAS zunähst zur Stabilisierung von instabilenperiodishen Orbits

eingesetzt [26,34,49,63,70,98,106,117,136,140,141,145℄. Dabei ist das Regelsignal die

verstärkte Dierenz einer geeigneten Messfunktion (in den meisten Fällen eine skalare

Gröÿe), die zu den Zeiten

t

^und

t − τ

^{gemessen wird, was bei Betrahtung des dynami-}

shen Systems

˙

x = f(x, u)

^(2.9)

zu dem TDAS-Signal

u(t) = k [g(x(t − τ)) − g(x(t))]

^(2.10)

führt.

u

^{bezeihnet das} Rükkopplungssignal,

k

^{ist ein} angepasster Verstärkungsfaktor und

g

^{deniert die verwendete} Messfunktion, um den Zustand

x

^des betrahteten dyna- mishen Systemszu detektieren. Die Verzögerungszeit

τ

^wird übliherweise entsprehend der Periode des zu stabilisierenden (instabilen) periodishen Orbits (UPO) gewählt. In

diesemFallvershwindetdasRegelsignalfürdenbetrahtetenUPO,wodurhdieserniht

verzerrtwird,sondernlediglihseineStabilitätseigenshaftenändert.Folglihsprihtman

vonnihtinvasiver Kontrolle.

Eine VerallgemeinerungvonTDAS istdurh ExtendedTime Delay Auto Synhronization

(ETDAS) aus dem Jahre 1994 gegeben [34,49,102,141,145℄. Im Gegensatz zu TDAS

berüksihtigtdiesesvonGauthieretal.vorgeshlageneShemaauhnohdieverwendete

Observable zu ganzzahligen Vielfahen der fundamentalen Verzögerungszeit

τ

^{in Form}

einergeometrishen Reihe.Unter Berüksihtigung derselben Abkürzungen wie in(2.10),

istETDAS durh

u(t) = k

"

(1 − R) X ∞

j=1

R ^j−1 g(x(t − jτ )) − g(x(t))

#

(2.11)

= k [g(x(t − τ )) − g(x(t))] + Ru(t − τ )

^(2.12)

gegeben, wobei

R ∈ ] − 1, 1[

^einGewihtungsfaktorfürdieTerme dergeometrishenReihe ist. In Experimenten kann ETDAS ebenfalls mit einer einzigen Verzögerungskette im-

plementiert werden, indem einfah dieentsprehenden Signalemehrfahdurh dieKette

geleitetund dabeijeweilsmitdem Faktor

R

multipliziertwerden. Untersuhungen haben gezeigt,dass ETDAShöhereStabilitätswerteund ausgedehntereStabilitätsgebietefürdie

StabilisierungvonperiodishenOrbitsliefertalsTDAS.FürFixpunktstabilisierungshla-

gen Chang et al. die Betrahtung des Grenzfalls

R → 1, τ → 0

^{vor [34℄. Unter diesem}

Gesihtspunkt kann Gl. (2.12)in eine Taylor-Reihe entwikeltwerden, was letztlihzu

u(t) = ˙ − ω 0 u(t) − k g(x(t)) ˙

^(2.13)

führt.DabeihandeltessihumeinenHohpassltermitderGrenzfrequenz

ω 0 = (1 − R)/τ

^,

der Verstärkung

k

^{sowie einem einfahen Pol bei}

ω = iω 0

^{und einer Nullstelle bei}

ω = 0

^.

Neben (E)TDAS gibt es noh das wesentlih unbekanntere NTDAS (N Time Delay Au-

to Synhronization) [140℄, bei dessen Anwendung der Mittelwert einer endlihen Anzahl

von Verzögerungstermen benutzt wird, um das Regelsignal zu bilden. Aber genau wie

bei ETDAS werden auh hierbeinur ganzzahlige Vielfahe einer einzigenfundamentalen

Verzögerungszeit

τ

^{verwendet, d.h.das NTDAS-} Kontrollsignallautet

u(t) = k

"

1 N

X N

j=1

g(x(t − jτ )) − g(x(t))

#

.

^(2.14)

AlledreiZeitverzögerungsregelungenkönnen fürvieleexperimentelleSituationenverhält-

nismäÿigleihtmitHilfe von(analoger) Elektronikimplementiertwerdenund sinddamit

geeignet, auhChaos, das auf shnellen Zeitskalen auftritt, zu kontrollieren[26℄. Abgese-

henvonderEinführungin[140℄wurdeNTDAS allerdingsbisjetztnihtinExperimenten

angewendet. Aus diesem Grundwird imZuge dieser Arbeit auhnihtmehr explizit auf

NTDAS,sondern hauptsählihauf (E)TDAS eingegangenwerden.

2.3 Multiple Delay Feedbak Control

Wie bereits erwähnt, ist ETDAS sehr erfolgreih für die Stabilisierung von instabilen

periodishen Orbits eingesetzt worden. Für die Stabilisierung von instabilen Fixpunkten

(

x ˙ = f (x) = 0

^{) hingegen ist diese Methode weniger geeignet, was zum Teil daran liegt,}

dass das Kontrollsignal bereits bei Erreihen eines

τ

-periodishen Orbits vershwindet.

Um diesen Vorgang zu verhindern, müssen weitere Bedingungen an das Regelsignal ge-

stellt werden,die nurdurhkonstanteLösungen erfülltwerdenkönnen. Eine Möglihkeit

hierfür besteht darin,einen zweiten Term miteinerweiteren, von

τ

vershiedenen Verzö- gerungszeit zu installieren, was aufdas Regelsignal

u (t) = k [ g ( x (t − τ)) − g ( x (t))] + ˜ k [ g ( x (t − τ ˜ )) − g ( x (t))]

^(2.15)

führt. Ist das Verhältnisder Verzögerungszeiten

τ /˜ τ

irrational, so existiert kein periodi- sher Orbit, bei dem das Kontrollsignal auf Null zurükgeht. Nur für Fixpunkte

x ₀

^mit

g(x(t)) = const

^{tragen die Dierenzen in Gl. (2.15) nihts zum} Kontrollsignal bei, die Regelungist nihtinvasiv.

Imallgemeinenbietetessihan, mehr alszweiVerzögerungszeiten sowie untershiedlihe

Verstärkungsfaktorenfürdiezeitverzögertenund nihtzeitverzögerten Anteiledes Regel-

signals zu verwenden. Dieses Multiple Delay Feedbak Control (MDFC) [46℄führt sozu

der Kontrollvorshrift

u(t) = k 0 + k 1a g 1 (x(t − τ 1 )) − k 1b g 1 (x(t)) + . . .

+ k M a g M (x(t − τ M )) − k M b g M (x(t)).

^(2.16)

Dabeikommenbiszu

M

vershiedeneVerzögerungszeiten

τ 1

^,...,

τ M

^{zumEinsatz,wobeidie}

Messfunktionen(en) durh

g m

gekennzeihnet sind. Im Gegensatz zu (E)TDASoder NT- DASmüssendieVerzögerungszeitennihtganzzahligeVielfahevoneinandersein,sondern

könnenersteinmalfreiund unabhängigvoneinander gewählt werden.Weiterhinkann der

Anteiljedes einzelnenTermszum GesamtsignaldurhdieParameter

k ma , k mb

^separatge-

wihtetwerden,wasimallgemeinenallerdingszunähstzueinerinvasivenRegelungführt.

UmeinenFixpunkt desungestörten Systemszu stabilisieren,müssenweitere Randbedin-

gungenerfüllt werden,um dieRegelungnihtinvasivzu gestalten [6℄. Das kann entweder

durhdieAnpassung deskonstanten Parameters

k 0

^{oderdurhdieEinhaltungder Bedin-}

gung

m 1 +l

X

m=m 1

k _ma − k _mb = 0

^(2.17)

fürdieVerstärkungsfaktoren

k ma

^,

k mb

^fürjede

l

^{-malverwendete}Messfunktionerreihtwer- den. Andernfalls wird das Kontrollsignal niht vershwinden, sondern unter Umständen

einenkonstantenvonNullvershiedenenWertannehmenunddamiteinenneuenFixpunkt

generieren.DasmagfürbestimmteAnwendungenauhvonInteressesein,stehtaberniht

imVordergrunddieser Arbeitund sollauh imweiterenniht betrahtet werden.Bei der

Verwendung wehselspannungsgekoppelter Eingangssignale(z.B. nah Hohpasslterung

oder Subtraktion eines konstanten Gleihspannungspegels) oder bei der Fixpunktstabili-

sierungamUrsprungentfälltdieseBeshränkung indenVorfaktoren.Weitere Bedeutung

erlangen die individuellen Vorfaktoren

k ma , k mb

^{bei der Umgehung von} Beshränkungen bezüglih der Stabilisierbarkeit von Fixpunkten, worauf im vierten Kapitel eingegangen

werden wird.

Vergleihe über die Güte der Stabilisierung von Fixpunkten mit Hilfe der vershiedenen

Regelungsmethoden lassen sih z.B. durh die Gröÿe der Stabilitätsgebiete und mit den

absolutenStabilitätswertenanstellen.ZudiesemZwekmusseinelineareStabilitätsanaly-

sedesVektorfeldes

f (x)

^amFixpunkt

x ₀

^{duhgeführtwerden,dieauflokalen}Eigenshaften ineiner kleinenUmgebung des betrahtetenFixpunktes basiert.Verfügt einSystem über

mehrere koexistierende Fixpunkte, so entsheiden Bassins und die Wahl der Anfangsbe-

dingungen darüber, zu welhem Fixpunkt die Systemdynamik letztendlih konvergiert.

Dementsprehend muss für jeden Fixpunkt eine eigene Stabilitätsanalyse vorgenommen

werden.

2.4 Lineare Stabilitätsanalyse

Ausgangspunkt für eine solhe Stabilitätsanalyse ist ein gegebenes Vektorfeld

x ˙ = f (x)

mit einem Fixpunkt bei

x ₀

^{. In den weiteren} Betrahtungen wird immer stillshweigend voneiner additiven Kontrollgröÿeausgegangen, wasauf

˙

x(t) = f (x(t)) + u(t)

^(2.18)

führt,wobeidas eigentliheKontrollsignal

u

^{durhMDFCausGl.(2.16)gegeben ist.Für}

eineBewertungderStabilitätistdiezeitliheEntwiklungkleinerStörungen

e (t) = x (t) − y(t)

ausshlaggebend. Wahsen diese mitder Zeit an, so ist das gesamte rükgekoppelte System instabil und damit bei unveränderter Parameterwahl niht erfolgreih regelbar.

Manerhält demnah für kleine Störungen den Ausdruk

˙

e(t) = f (x) − f (y) +

X M

m=1

[k ma g m (x(t − τ m )) − k mb g m (x(t))] − [k ma g m (y(t − τ m )) − k mb g m (y(t))] .

(2.19)

Linearisierungführt shlieÿlih auf

˙

e(t) = Df (x)e(t) +

X M

m=1

k ma Dg ^m (x(t − τ m ))e(t − τ m ) − k mb Dg ^m (x(t))e(t)

(2.20)

mitden Jakobi-Matrizen

D f ( x )

^und

D g m ( x )

^{. EinAnsatz zur Lösung dieser} Dierential- gleihung ist durh

e(t) = e ^−λt e ₀ e(t − τ m ) = e ^{−λτ m} e(t).

(2.21)

gegeben undführtnah Einsetzen inGl.(2.20) sowie Betrahtung des Fixpunktes

x ₀

^auf

˙

e(t) = (Df (x ₀ ) + U _R (x ₀ )) e(t)

^(2.22)

mitder Rükkopplungsmatrix

U R (x 0 , λ) = X M

m=1

k ma e ^{−λτ m} − k mb

Dg ^m (x 0 ).

^(2.23)

Die Jaobi-Matrix

Df (x ₀ )

^{inGl.(2.22)beshreibt indiesem}Zusammenhang dienormale lineareStabilitätdes ungestörtenSystems.Das Kontrollsignal(2.16)wird lediglihdurh

diezweite Matrix(Rükkopplungsmatrix

U R

⁾ berüksihtigt, diealleDetailsenthält, wie die angewendete Rükkopplung auf die inneren Freiheitsgrade des betrahteten dynami-

shen Systems wirkt. Für zeitverzögerte Systeme wird also das Eigenwertproblem der

Jaobi-Matrix

D f ( x ₀ )

^{durh das} Eigenwertproblem der Matrix

D f ( x ₀ ) + U R ( x ₀ )

^mitder

harakteristishen Matrix [54℄

∆(λ) = λI − Df (x 0 ) − U R (x 0 , λ)

^(2.24)

ersetzt.

I

^{bezeihne andieser Stelle die}Einheitsmatrix. Vielwihtiger alsdieharakteri- stishe MatrixistjedohderenDeterminante

det (∆(λ))

^{.Derbetrahtete Fixpunkt}

x ₀

^ist

stabil, wenn alleEigenwerte

λ

^der transzendenten harakteristishen Gleihung

det (∆(λ)) = 0

^(2.25)

einen negativen Realteil

Re(λ)

^{besitzen. Nur dann werden sih kleine Störungen in der}

zeitlihen Entwiklung reduzieren, der Fixpunkt ist stabil. Was demnah benötigt wird,

um dieStabilitätdes geregelten Systems zu bestimmen, istder Eigenwert mitdem gröÿ-

ten Realteil, denn dieser entspriht gerade der am stärksten instabilen Rihtung des be-

trahteten Fixpunktes. Durh die Anwendung von Zeitverzögerungsregelungen verfügt

das Gesamtsystem Gl. (2.18) bzw. Gl. (2.25) (dynamishes System inklusive Regelung)

allerdings über unendlih viele Eigenwerte. Glükliherweise existieren aber nur endlih

vieleEigenwerte, deren Realteilgröÿerals einebestimmteKonstanteist[54℄, z.B. gröÿer

alsNull.Um diese endlihe Anzahl anEigenwerten zu nden, wurde zunähst voneinem

GitterinderkomplexenEbeneausgegangen,umdieWertezudetektieren,fürderenReal-

und Imaginärteildie harakteristishe Gleihung (2.25) gleihzeitig Null oder zumindest

möglihst nahe an Null ist. Diese Kombinationen waren wiederum Startwerte für einen

gedämpften Newton-Algorithmus, um diegenauen Eigenwerte zu ermitteln.

Ih habe MDFC entwikelt und für viele dynamishe Systeme in Theorie und Praxis

ausprobiert. Dabei hat sih herausgestellt, dass MDFC Pyragas' TDAS und seinen ent-

sprehenden Erweiterungen bezüglih der Stabilisierungvon Fixpunkten überlegenist.

2.5 Beispiel - der Colpitts-Oszillator

Eine Illustrierung dieser Feststellung sowie der Wirkungsweise von MDFC soll im fol-

genden durh den Colpitts-Oszillator vorgenommenwerden.Aber dieErgebnisse, die im

Anshluss zu Tage gefördert werden, sind niht auf dieses Beispiel beshränkt, sondern

aufvieledynamisheSystemeverallgemeinerbar[5,6℄.DeruntersuhteColpitts-Oszillator

kann durh diedrei Dierentialgleihungen

C 1

dU _C 1

dt = − α F f ( − U C ² ) + I L + C ₁ T u(t) C ₂ dU C 2

dt = (1 − α _F )f ( − U _C 2 ) − G ₀ U _C 2 + I _L − I ₀ L dI L

dt = − U C 1 − U C 2 − RI L + U cc

(2.26a)

beshriebenwerdenundisteintypishesBeispielfüreinenelektronishenChaos-Oszillator

inFormeinerrükgekoppelten Basisshaltung(Abb.2.1).DieVariablenentsprehen zwei

Kondensatorspannungen (

U C 1 , U C 2

^{)und dem} Spulenstrom (

I L

^{), diemitden Parametern}

Abb. 2.1: Shematisher Aufbau des

Colpitts-Oszillators (2.26a). Für einen

Regeleingri bieten sih die Spannun-

gen

U C ¹

^und

U C ²

^an.

L = 91 µH

^,

R = 33 Ω

^,

R 1 = 242 Ω

^,

C 1 = 68 nF

^,

C 2 = 68 nF

^,

I s = 14.34 fA

^,

U t = 0.027 V

^,

α F ≈ 0.99

^,

U cc = 5 V

^,

G 0 = 0

^und

den Zusammenhängen

I E = f (U BE ) = I S (exp (U BE /U t ) − 1) , I 0 = U C ² + U cc

R 1

,

T =

r

L C 1 C 2

C 1 + C 2

aufgrund der nihtlinearen Kennlinie des

verwendeten Transistors haotishe Dy-

namik für das freilaufende System zei-

gen (

u(t) = 0

^).

T

^{stellt eine typi-}

she Zeitskala des Oszillators dar, des-

sen natürlihe Periode wiederum

T 0 = 2πT

^{entspriht. Um den} systemeige- nen Fixpunkt

x ₀ = (U C 1 , U C 2 , I L ) ^tr ≈ (5.1759, − 0.7502, 0.0174)

^zu stabilisieren,

wird im folgenden ein Kontrollsignalder Form

u = (u(t), 0, 0) ^tr

^{bestehend aus der Kon-}

densatorspannung

U C 1

^und vershwindendem Bias

k 0

^gemäÿ

u(t) = X M

m=1

k ma U C ¹ (t − τ m ) − k mb U C ¹ (t)

^(2.26b)

angenommen. Unter Verwendung der Gleihungen (2.26) wird die Rükkopplungsmatrix

U R

^{für dielineare} Stabilitätsanalysebesonders einfah und lautet

U _R =





u R (λ) 0 0

0 0 0

0 0 0





^(2.27)

mit

u R (λ) = X M

m=1

k ma e ^{−λτ m} − k mb .

^(2.28)

Die resultierendeharakteristishe Matrix

∆(λ) =



 

 

 

λ − u R (λ)

T − α F I S

C 1 U t

exp ( − U C 2 /U t ) − 1 C 1

0 λ + 1 − α _F C 2 U t

exp ( − U C ² /U t ) − 1 C 2

1 L

1

L λ + R

L



 

 

 

(2.29)

führtshlieÿlihauf dieharakteristishe Gleihung

det (∆(λ)) =

λ − u R (λ)

T λ + R

L

(λ + s 2 ) + 1 LC 2

+ 1

LC 1

(λ + s 2 ) + s 3 = 0

^(2.30)

mit

s 2 = 1 − α F

C 2 U t

exp ( − U C ² /U t ), s 3 = α F I S

C 1 C 2 U t

exp ( − U C ² /U t ).

^(2.31)

Gemäÿ den Ausführungen auf Seite 19 besteht die Hauptaufgabe nun darin, den Ei-

genwert mit dem gröÿten Realteil der transzendenten Gleihung (2.30) zu nden. Die

Stabilitätsdiagrammeaus Abb. 2.2sind das Ergebnis dieser Berehnungen amFixpunkt

x ₀

^für symmetrishe Vorfaktoren

k ma = k mb = k m

^{. Abb. 2.2a zeigt das} resultierende Stabilitätsdiagramminder

τ ₁

^-

τ ₂

^{-Ebene (Aufsiht)für den Fallvon nurzweiaktiven Ver-}

zögerungszeiten (

k m = 0, m > 2, m ∈ N

) und fest eingestellten Verstärkungsfaktoren

k 1 = k 2 = 1.35

^{. Regionen mit} Kontrollparameterkombinationen, die eine erfolgreihe Stabilisierung des betrahteten Fixpunktes

x ₀

herbeiführen, sind blau und grün gekenn- zeihnet - je nah der entsprehenden Stabilität.Alle Stabilitätsdiagramme,dieindieser

Arbeit gezeigtwerden, beginnen mit

τ m ≥ 0.2

^{, damit auhsiher eine Verzögerung aktiv}

ist. D.h. die Grenzen

τ ₁ /T = 0, τ ₂ /T 6 = 0

^und

τ ₂ /T = 0, τ ₁ /T 6 = 0

^{sind niht enthalten,}

könnenaberdemseparatenTDAS-Einzelplotentnommenwerden.AusdiesemGrundent-

sprihtTDASindieserAbbildungauhnurderDiagonalen

τ 1 /T = τ 2 /T

^{.SoistAbb.2.2a}

zuentnehmen,dassfür

τ ₁ /T = τ ₂ /T > 2

^keineTDAS-Stabilisierungmehrmöglihist,wo- bei allerdingsmitMDFCund

τ 1 /T 6 = τ 2 /T

^der entsprehende Gleihgewihtszustand für alle Verzögerungszeiten

τ m /T ∈ [0.2, 14]

stabilisiert werden kann, wenn Parameterkom- binationen aus dem Bereih der farbigen Streifen parallel zur Diagonalen in Abb. 2.2a

verwendetwerden. DerhorizontaleAbstanddieserStreifenentsprihtungefährderHälfte

der natürlihen Periode

T 0 = 2πT

^{. Im Vergleih zu Abb. 2.2a liefert Abb. 2.2b besser}

Auskunft über die Güte und Robustheit der Regelung in Form der Stabilitätsfunktion

max (0, − Re(λ))

aufgetragen gegen

τ 1 /T

^und

τ 2 /T

^{. Dabei bezeihnet}

λ

^{den Eigenwert}

mitdem gröÿtenRealteil

Re(λ)

^{. Je höherdemnah dieSpitzenin dem} Stabilitätsgebirge sind, desto robuster und siherer ist auh die Fixpunktstabilisierung. Dementsprehend

kennzeihnen die hohen Peaks für die vershiedenen Verzögerungszeiten (

τ 1 /T 6 = τ 2 /T

⁾

parallelzurDiagonaleninder

τ 1 /T

^-

τ 2 /T

^{-EbeneinAbb.2.2bMDFCalsstabilereMethode}

zur Fixpunktstabilisierung imVergleih zu TDAS (

τ ₁ = τ ₂

^).

DieVerwendungvonmehrerenVerzögerungszeiten kannallerdingsnohweiterausgenutzt

werden. Aufshluss über diesen Sahverhalt geben die Abb. 2.2,d, die wiederum einen

Stabilitätsplot in der

τ 1 /T

^-

τ 2 /T

^{-Ebene bei Einsatz von drei V}erzögerungszeiten und fe- sten Verstärkungen

k ₁ = k ₂ = k ₃ = 1.35

^sowie

τ ₃ /T = 3.1

^{zeigen. Wie man hieran sehen}

kann, sind diefarbigmarkiertenStabilitätsregionennohweiter ausgedehntworden beim

Übergang vonzweiaufdrei entsprehend gut gewählte Verzögerungszeiten. Dabeikonnte

die Stabilitätnoh weiter auf einen Wert von

max(0, − Re(λ)) ≈ 0.37

^{gesteigert werden.}

Bei Aktivierung einer weiteren Verzögerungszeit mit

τ 4 /T = 1.32

^{werden die}Stabilitäts-

(e)

(d) (b) (a)

(f) (c)

Abb. 2.2: Stabilitätsdiagramme des mit MDFC (2.26b) geregelten Colpitts-

Oszillators (2.26a) unter Einsatz von (a), (b) zwei (

k m = 1.35

^{), (), (d) drei}

(

k _m = 1.35

^,

τ ₃ /T = 3.1

^{)und(e),(f)vierV}erzögerungszeiten (

k _m = 1.35

^,

τ ₃ /T = 3.1

^,

τ 4 /T = 1.32

^{). Die} Abbildungen zeigen die Stabilitätsfunktion

max(0, − Re(λ))

^vs.

τ 1 /T

^und

τ 2 /T

^,wobei

Re(λ)

^{den gröÿtenRealteil der Eigenwerte der} harakteristi- shen Gleihung (2.30)bezeihnet.Kombinationender normiertenVerzögerungszei-

ten

τ 1 /T

^und

τ 2 /T

^{, die zu einer} Fixpunktstabilisierung durh MDFC führen, sind farbiggekennzeihnet.Esseidaraufhingewiesen,dassdieSeitenansihten(b),(d),(f)

im Vergleihzu den Aufsihten (a),(),(e) gedreht sind.

Verstärkungen (

k 1 = k 2 = k 3 = k 4 = 1.35

^{) dieganze}

τ 1 /T

^-

τ 2 /T

^{im Bereih bis}

τ /T < 14

geeignet, um den Systemxpunkt

x ₀

^zu stabilisieren.

Abb. 2.3 zeigt für den Fall dreier Verzögerungszeiten die ausgedehnten Stabilitätsgebie-

te imParameterraum. Für diese dreidimensionale Projektionwurde die Verstärkung der

zweiten und dritten Verzögerungszeit auf

k 2 = k 3 = 1.35

^sowie

τ 3 /T = 3.1

^gesetzt.

Parameterkombinationen von

τ 1 /T

^,

τ 2 /T

^und

k 1

^{,die zu einer} erfolgreihen Fixpunktsta- bilisierungführen, sindshwarz gekennzeihnet und zeigen,wie sihdieStabilitätsgebiete

in Abhängigkeit von

k 1

^{ändern. Um die} Abhängigkeit der Stabilität von den Verstär-

(a) (b)

Abb. 2.3: FixpunktstabilisierungfürMDFCausGl.(2.26b)unter Verwendung von

drei Verzögerungszeiten. (a)Drei Shnittedurhden MDFC-Parameterraumfürfe-

stes

τ 3 /T = 3.1

^und

k 2 = k 3 = 1.35

^{.Bereihe, dieeine}StabilisierungdesFixpunktes des Colpitts-Oszillator (2.26a) herbeiführen, sind shwarz gekennzeihnet. (b) Sta-

bilitätsgebiet vs.

τ 1 /T

^,

k 1

^und

k 2

^{. Für} Fixpunktstabilisierung geeignete Parameter sind grau markiert (

τ 2 /T = 1.8

^,

τ 3 /T = 3.1

^und

k 3 = 1.35

^).

kungsfaktoren innerhalb eines Stabilitätszweigeszu untersuhen, wird der Fall gekoppel-

ter Verzögerungszeiten,d.h.

τ 1 /T = τ 2 /T + 1.6

^und

τ 3 /T = 3.1

^{betrahtet. Damitbewegt}

mansihentlangdes weissgekennzeihneten StabilitätszweigesderAbb.2.2,waszudem

Stabilitätsdiagramm in der

k

^-

τ 2 /T

^{-Ebene aus Abb. 2.4 führt. Die} entsprehende Stabi- litätsfunktion

max(0, − Re(λ))

^{zeigt neben einer} periodishen Modulation ein absolutes Maximum von

≈ − 0.4

^{. Dieses wird bei moderaten V}erstärkungsfaktoren erreiht, wobei eine weitere Verstärkungserhöhung über

k > 1.5

^{dieStabilitätwieder mindert.}

Die Drehung der Darstellungen aus Abb. 2.2a,,e und Abb. 2.2b,d,f ist erforderlih, um

auh die feinen Strukturen für längere Verzögerungszeiten zu zeigen, da die höhsten

PeaksunddamitauhdiehöhstenStabilitätwerteimBereihkleinerVerzögerungszeiten

zundensind.D.h.mansiehtinAbb. 2.2bentlangderDiagonaleninRihtung Ursprung

Abb. 2.4: Kopplung der Verzögerungs-

zeiten

τ 1

^und

τ 2

^:

k

-Abhängigkeit von MDFC in Form der Stabilitätsfunktion

max(0, − Re(λ))

^vs.

τ 2 /T

^und

k

^entlang

der weissmarkiertenLinieaus Abb. 2.2.

Dabei wird das Regelsignal (2.26b) mit

τ 1 /T = τ 2 /T + 1.6

^,

τ 3 /T = 3.1

^,

k 1 = k 2 = k 3 = k

^,

k 4 = 0

angewendet.

2.6 Vergleih zu anderen Regelungsmethoden

Umdie Ezienz und Gröÿe der StabilitätsgebietevonMDFC zu verdeutlihen, muss ein

Vergleih zu anderen (u.a. konventionellen) Methoden zur Fixpunktstabilisierungvorge-

nommenwerden.FürdiebekanntenzeitverzögertenRegelungen(E)TDASwirdzu diesem

Zwek Gl. (2.28)durh den Zusammenhang

u _R = k (1 − R)e ^{−τ λ} X ∞

j=1

Re ^{−τ λ} j−1

− 1

!

= k

(1 − R)e ^{−τ λ} 1

1 − Re ^{−τ λ} − 1

= k

e ^{−τ λ} − 1 1 − Re ^{−τ λ}

(2.32)

ersetztwerden,dersihausGl.(2.11)viaLaplae-Transformationergibt.FürdieSimula-

tionenausAbb.2.5a,bwurdederParameterzur Gewihtungder geometrishenReiheauf

einenWertvon

R = 0

^(TDAS)bzw.

R = 0.7

^{(ETDAS)xiert.Anhanddieser}Abbildungen erkennt man,dass der Einsatz vonETDAS (Abb. 2.5b) zu einerVergröÿerungder Stabi-

litätsgebiete imVergleih zu TDAS (

R = 0

^{, Abb. 2.5a) führt. Für längere} Verzögerungs- zeiten ist der Fixpunkt allerdings nur noh shwah stabil, wenn

τ /T > 2

^{gewählt wird.}

MDFC hatdiese Problematikniht unddieFixpunktstabilisierungistfürsehrviel länge-

reVerzögerungszeiten immernohmöglih.DasResultatfürdenETDAS-Grenzübergang

R → 1, τ → 0

^{ist in Abb. 2.5} dargestellt, die die Stabilitätsfunktion

max(0, − Re(λ))

gegenüberder Grenzfrequenz

ω 0

^{und dem}Verstärkungsfaktor

k

^{zeigt.Indiesem Fallwird}

ETDAS zu einem Hohpasslter miteinem einfahen Pol entsprehend Gl. (2.13),wobei

dieEigenwerteindiesemFallmitHilfeeinerStandard-Stabilitätsanalysedeslinearisierten

Vektorfeldes

f (x)

^{berehnet werden können. Die Stabilität dieser} Rükkopplung (reprä- sentiert durh den Eigenwert mitdem gröÿtenRealteil)ist inAbb. 2.5 farbigskaliert.Je

grünerdieFarbedestostabileristauhdieRükkopplungfürdieeingestelltenParameter.

DieserAbb. kannentnommenwerden,dassbeientsprehender Parametervariationvon

ω 0

und

k

^{diestabilste Regelung einenWert von ungefähr}

max(0, − Re(λ)) ≈ 0.3

^liefert.Das

entspriht auh dem Wert, den ETDAS für

R = 0.7

^{(Abb. 2.5b)} herbeiführt und hat damit keine stabilere Regelung zur Folge. Somit ist ETDAS stabiler als TDAS (Mini-

mum:

Re(λ) ≈ − 0.17

^{) aber niht so stabil wie MDFC mit drei} Verzögerungszeiten und

(d) (c)

Abb. 2.5: Stabilitätsdiagramme für die Fixpunktstabilisierung des Colpitts-

Oszillators (2.26a) unter Verwendung von (a) TDAS, (b) ETDAS (

R = 0.7

^{), ()}

einem einpoligen Hohpasslter

u(t) = ˙ − ω 0 u(t) − k U ˙ C ¹

^mit Grenzfrequenz

ω 0

^und

Verstärkung

k

^{sowie (d) einem PD-Regler} entsprehend Gl. (2.33). Zur Visualisie- rung der Ergebnisse wird die Stabilitätsfunktion

max(0, − Re(λ))

ⁱⁿ Abhängigkeit vonden jeweiligenKontrollparameternverwendet.Bereihe erfolgreiher Fixpunkt-

stabilisierung sind farbig gekennzeihnet, je grüner die Farbe desto stabiler ist die

Regelung.

symmetrishen Vorfaktoren (Minimum:

Re(λ) ≈ − 0.4

^{). Bei Verwendung paarweise ver-}

shiedener Verstärkungen

k m

^gemäÿ

k 1a = k 1b = 0.27

^,

k 2a = k 2b = 1.56

^,

k 3a = k 3b = 0.28

^,

τ 1 /T = 3.613

^,

τ 2 /T = 2

^,

τ 3 /T = 3.111

^{liefert MDFC einen bei weitem stabileren Wert}

von

max(0, − Re(λ)) ≈ 0.4767

^{. Dabei ist allerdings} festzustellen, dass die in Abb. 2.2 vorgestelltenStabilitätsgebieteihre Symmetrieinder

τ 1 /T

^-

τ 2 /T

^{-Ebene eingebüÿthaben.}

Für einen weiteren Vergleihzu konventionellen Regelungmethoden sollnun einübliher

PD-Regler der Form

u(t) = k p U ˆ C 1 + k d

d ˆ U C ¹

dt

^(2.33)

betrahtet werden. Als Eingangssignal dient die Kondensatorspannung

U ˆ _C 1

^{, die aus}

U _C 1

durh Subtraktion des festen DC-Pegels hervorgeht 8

. Abb. 2.5d zeigt die farbkodierte

Stabilitätsfunktion

max(0, − Re(λ))

ⁱⁿAbhängigkeitvondenVerstärkungen

k p

^und

k d

^für

8

DasSubtrahieren des festenDC-Pegels anstelleeiner Hohpass(AC)-Kopplungdes Eingangssignals

ist notwendig,um zum einen die Regelung nihtinvasiv zu gestalten und gleihzeitig die Stabilität des

PD-Reglers (2.33) nihtshon durh die Stabilitätsfunktion des verwendeten Hohpasslters (2.13) zu

den Proportional-und den Dierenzierungsanteil. Optimale Parameterwahl lieferteinen

maximalenStabilitätswertvon

max(0, − Re(λ)) ≈ 0.462

^{.DieStabilitätist}vergleihbarmit der durhMDFCherbeigeführten, allerdingssind diedafürnötigenVerstärkungsfaktoren

k p

^und

k d

^{beiweitemhöherzuwählen,waswiederumdieEzienzvonMDFC}verdeutliht.

Erreiht wird diese Ezienz durh eine sehr gute Anpassung der Übertragungsfunktion

der Regelung andas Spektrum des Colpitts-Oszillators.Um unter diesemGesihtspunkt

einen intuitiveren Zugangzu der Wirkungsweise von MDFC zu erlangen, ist einWehsel

in den Fourierraumangebraht.

2.7 Wirkungsweise im Fourierraum

Die Fourier-Transformation des Kontrollsignals(2.26b)liefert dieÜbertragungsfunktion

T (f) = X M

m=1

k ma e ^{−i2πf τ m} − k mb = u(f ˜ )

U ˜ _C 1 (f ) ,

^(2.34)

die den Ausgang

u ˜

^{linear mit dem} Eingangssignal

U ˜ C ¹

^{verknüpft. Abb. 2.6a zeigt den}

Absolutwert der Übertragungsfunktion

| T (f ) |

^{eines einpoligen} Hohpasslters sowie das Frequenzspektrum des Colpitts-Oszillators (2.26a). Um die Auswirkungen zusätzliher

Verzögerungszeiten auf die Übertragungsfunktion von MDFC zu untersuhen, seien die

Verstärkungen für jede aktive Verzögerungszeit zu

k _ma = k _mb = k _m = 1

^{gewählt und der}

Fallvonmaximal

M = 4

vershiedenen Verzögerungszeiten betrahtet. Sozeigt Abb.2.6 den Absolutwert der Übertragungsfunktion

| T (f) |

^{aus Gl. (2.34)für den Fall einereinzi-}

gen Verzögerungszeit

τ ₁ /T = 10

(durhgezogene Linie,

k ₂ = k ₃ = k ₄ = 1

^{), zwei aktiver}

Verzögerungszeiten (Punkt-Strih-Linie,

τ 1 /T = 10

^,

τ 2 /T = 5

^,

k 3 = k 4 = 0

^{), dreier Ver-}

zögerungszeiten (gepunktete Linie,

τ 1 /T = 16.5

^,

τ 2 /T = 6

^,

τ 3 /T = 3.1

^,

k 4 = 0

^{) und vier}

angewendeter Verzögerungszeiten (gestrihelte Linie,

τ ₁ /T = 10

^,

τ ₂ /T = 5

^,

τ ₃ /T = 3.1

und

τ 4 /T = 1.3

^{). Um einen Fixpunkt zu} stabilisieren, muss ein geeignetes Filter eine Kerbe bei

ω = 0

^{besitzen [34℄. Diese Frequenz (entspriht gerade der eines Fixpunk-}

tes) wird dann niht zurükgekoppelt. Folglihmüssen dieanderen Kerben der Regelung

(2.26b)für

f > 0

^{soimFourierraumplaziertwerden,dass alle}Hauptfrequenzen(entspre- hen dominanten,imhaotishen Attraktoreingebetteten instabilenperiodishen Orbits)

durh das Regelsignal zurükgekoppelt werden. Unter diesem Gesihtspunkt ist es mit

der punktgestriheltenÜbertragungsfunktionniht möglih,densystemeigenenFixpunkt

x ₀

^zu stabilisieren, da durh die Wahl von

τ 1 /T

^und

τ 2 /T

^{niht alle} Hauptfrequenzen des Oszillatorseliminiertwerden. Auf diese Weise wird höhstens ein neuer periodisher

Orbitgeneriert,dadas RegelsignalbeiderverwendetenWahlderVerstärkungen

k ma , k mb

nur im Falleeines Fixpunktesvershwinden würde. Erst wenn die dritte und vierte Ver-

zögerungskette zusätzlihhinzugeshaltet werden(gepunktete und gestrihelte Linie), ist

eineerfolgreihe Fixpunktstabilisierungmöglih,daalleKerbennun inunkritishe Berei-

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

−4

−2 0 2 4 6

f / f ₀

lg(P), lg[|T(f)|] _{0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5} ⁰

1 2

f / f

0

Θ (f)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0

2 4 6

f / f ₀

|T(f)|

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−2 0 2

f / f

0

Θ (f)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0

2 4 6 8

f / f

0

|T(f)|

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−2 0 2

f / f ₀

Θ (f)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0

2 4 6

f / f

0

|T(f)|

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−2 0 2

f / f

0

Θ (f)

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

Abb.2.6:(a)FourierspektrumdesungeregeltenColpitts-Systems(2.26a)undÜber-

tragungsfunktion eines Hohpasslters mitder Grenzfrequenz

f 0 = ω 0 /(2π) = 0.08

^.

(b) ZugehörigerPhasenverlaufdes Hohpasslters. (),(e),(g)Übertragungsfunktio-

nen (2.34) für vershiedene Wahl der Verzögerungszeiten und Verstärkungen: ()

Symmetrishe Verstärkungen

k ma = k mb = 1

^{, eine (}

τ 1 /T = 10

^, durhgezogene Li- nie), zwei (

τ ₁ /T = 10

^,

τ ₂ /T = 5

^, Punkt-Strih Linie), drei (

τ ₁ /T = 10

^,

τ ₂ /T = 5

^,

τ 3 /T = 3.1

^{, gepunktete Linie) und vier aktive} Verzögerungszeiten (

τ 1 /T = 10

^,

τ 2 /T = 5

^,

τ 3 /T = 3.1

^,

τ 4 /T = 1.3

^, gestrihelte Linie). Fixpunktstabilisierung ist erst nahderAktivierung derdrittenund viertenVerzögerungszeitmöglih,davor-

her Kerben (

| T (f) | ≈ 0

^{) imBereih der} Hauptfrequenzen des ungestörten Systems liegen (vgl.Spektrumaus Abb. 2.6a). (e)Für dieKontrollparameter

k ma = k mb = 1

und

τ 1 /T = 7

(durhgezogene Linie),

τ 1 /T = 7

^,

τ 2 /T = 5

(Punkt-Strih Linie),

τ 1 /T = 7

^,

τ 2 /T = 5

^,

τ 3 /T = 3.1

(gepunktete Linie) sowie

τ 1 /T = 7

^,

τ 2 /T = 5

^,

τ 3 /T = 3.1

^,

τ 4 /T = 1.3

(gestrihelte Linie) ist eine erfolgreihe Fixpunktstabilisie- rung nah Aktivierung von zwei oder mehr Verzögerungszeiten möglih, da keine

tiefen Kerben inden Bereihen der Hauptfrequenzen des freilaufenden Systems lie-

gen. (g) Gleihe Verzögerungszeiten wie in (e), allerdings mit einer anderen Wahl

der Verstärkungsfaktoren:

k 1a = 1.3

^,

k 1b = 0.7

^,

k 2a = 0.4

^,

k 2b = 1.0

^,

k 3a = 0.8

^,

k 3b = 0.5

^,

k 4a = 0.4

^,

k 4b = 0.7

^. (d),(f),(h) Die entsprehenden Phasen sind genauso wie die Übertragungsfunktionen aus (),(e),(g) gekennzeihnet.

dargestelltundweisenfürMDFCeinenwesentlihglatterenVerlaufalsfürTDAS(durh-

gezogene Linie, die ETDAS-Übertragungsfunktion

| T (ω) |

untersheidet sih von TDAS im wesentlihen nur durh dieFlankensteilheit, die mitdem Parameter

R

^{verknüpft ist)}

auf.

EinBeispielfürdieStabilisierungdesFixpunktes

x ₀

^{mitHilfevonnurzwei}Verzögerungs- zeitenistinAbb. 2.6e,fzusehen,wodurhdieKontrollparametereineÜbertragungsfunk-

tiongegeben ist,diekeine Kerben imrelevanten BereihdesFrequenzspektrumsaufweist.

ImDetailhandeltessihbeiden Kontrollparameternum

τ 1 /T = 7

(durhgezogeneLinie,

k 2 = k 3 = k 4 = 0

^{) für eine} Verzögerungszeit,

τ 1 /T = 7

^,

τ 2 /T = 5

(Punkt-Strih Linie,

k 3 = k 4

^{, alle} Hauptfrequenzen bereits eliminiert)für zwei Verzögerungszeiten,

τ 1 /T = 7

^,

τ 2 /T = 5

^,

τ 3 /T = 3.1

^,

k 4 = 0

(gepunktete Line) im Falle dreier aktiver Verzögerungs- zeiten sowie um

τ 1 /T = 7

^,

τ 2 /T = 5

^,

τ 3 /T = 3.1

^und

τ 4 /T = 1.3

^{für vier} angewendete Verzögerungszeiten. Durh dieAktivierung der dritten und der vierten Verzögerungszeit

wirdlediglihderEigenwert mitdemgröÿtenRealteilweiterinsNegativevershoben, wo-

durhderFixpunktnohstabilerwird.DieinAbb.2.6fgezeigtenzugehörigenPhasensind

im Bereih

f ∈ [0.1, 0.3]

^{mehr oder weniger konstant im Gegensatz zu den} auftretenden Phasensprüngen, wenn nureine Verzögerungszeit aktiviertist.

Bisherwurden immer alleVorfaktoren

k ma , k mb

^der Einzelterme gleih(symmetrish)ge- wählt. Das ist aber niht zwingend notwendig, solange für niht-invasive Kontrolle die

vorher shon genannte Nebenbedingung (2.17) berüksihtigtoder der Parameter

k 0

^aus

Gl. (2.16) geeignet gewählt wird. Ein Beispiel für diesen Sahverhalt ist Abb. 2.6g zu

entnehmen, die fürdieselben Verzögerungszeiten wie inAbb. 2.6e den Einuss der geän-

derten Vorfaktoren

k 1a = 1.3, k 1b = 0.7, k 2a = 0.4, k 2b = 1.0, k 3a = 0.8, k 3b = 0.5, k 4a = 0.4, k 4b = 0.7

^{auf den Betrag der} Übertragungsfunktion zeigt. Dabei ist bei Aktivierung aller vier Verzögerungszeiten wiederum eine niht-invasive Stabilisierung des Fixpunktes

gewährleistet. So ist es möglih, MDFC durh geeignete Wahl von

k ma , k mb

^{sehr genau}

und exibel an die Bedürfnisse der vorherrshenden experimentellen Situation anzupas-

sen [6℄, exibler als z.B. (E)TDAS oder einen einpoligen Hohpasslter (2.13). Diesen

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 2 4 6

f / f

0

|T(f)|

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0

2 4 6

f / f

0

Θ (f)

(b) (a)

Abb. 2.7: (a) Spektrum des Colpitts-Oszillators sowie eine für

f /f 0 > 0.2

^{gut an}

dieses Spektrum angepasste MDFC-Übertragungsfunktion (2.28) mit den Parame-

tern

k a = k 1b = 0.25

^,

k 2a = k 2b = 1.58

^,

k 3a = k 3b = 0.28

^,

τ 1 /T = 3.614

^,

τ 2 /T = 2.0

^,

τ 3 /T = 3.11

^{.(b) Zugehörige Phase zu diesen} Parameterwerten.

SahverhaltspiegeltauhdieWahlder MDFC-Parameter

k 1 = 0.25

^,

k 2 = 1.58

^,

k 3 = 0.28

^,

τ 1 /T = 3.614

^,

τ 2 /T = 2.0

^,

τ 3 /T = 3.11

^{für hohe Stabilitätwider. In diesemFall zeigt ein}

Blik auf Abb. 2.7, dass die Übertragungsfunktion von MDFC in einem weiten Bereih

sehr genau andas zugrunde liegendeSpektrum des Colpitts-Oszillators angepasst ist.

2.8 Parameterwahl

2.8.1 Rükkopplung ohne Totzeit

ImGegensatzzurtehnishen RealisierungisteineweitereSystemanalysemehrererunab-

hängigerVerzögerungszeiten nuräuÿerstshwerbzw.abgesehenvonSpezialfällenunmög-

lih 9

,daes imGegensatzzu dem Fallnureiner Verzögerungszeit

τ

^keine vergleihbaren Lambert-Funktionen gibt, mit denen weitere theoretishe Erkenntnisse wie in [58℄ ge-

wonnen werden können. Weiterhin ist die in [35℄ vorgeshlagene adaptive Methode zur

Einstellung der Verzögerungszeiten niht ohne weiteres auf mehrere Verzögerungszeiten

verallgemeinerbar. Von daher gestaltet sih das Aunden optimalerParameterwerte für

MDFC shwierig.Neben den optimalenParameternsind oft aberauhgenerellgeeignete

Werte von Interesse. Aberselbst unter diesem Gesihtspunkt ist bei mehreren unabhän-

gigen Verzögerungszeiten eine analytishe Behandlung (relativ) einfaher Systeme wie

dem Colpitts-Oszillator(2.26)nihtmehr möglih.VondaherseiimweiterenVerlaufder

harmonishe Oszillator

˙ x = y

˙

y = − dy − ω ₀ ² x + u

^(2.35)

als einfahstes Beispiel eines dynamishen Systems

x ˙ = f (x)

^betrahtet.

ω 0

^bezeihnet

hierbei die Eigenfrequenz des Oszillators mit den Systemvariablen

x

^,

y

^{. Die} Instabilität zumSimuliereneinersihvomFixpunkt

x ₀ = (x, y) ^tr = (0, 0)

entfernenden Dynamik(für

u(t) = 0

^{) wird durh die negative Dämpfung}

d < 0

realisiert.Um diesen Systemxpunkt

x ₀

^zu stabilisieren, wird das MDFC-Signal

u(t) = X M

m=1

k ma x(t − τ m ) − k mb x(t)

^(2.36)

mit dem Regelvektor

u = (0, u(t)) ^tr

angewendet. Da

x(t)

^{trotz der durh die Instabili-}

tät bedingt anwahsenden Amplitude eine harmonishe Gröÿe ist, kann Gl. (2.35) mit

9

Aufgrund der folgenden zum Teil etwas mühsamen mathematishen Berehnungen sei dem Leser