Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2018/19
Universität BielefeldPräsenz-Übungsaufgaben zu Anwendungen der Mathematik
7. Januar - 11. JanuarLösungsvorschläge
Aufgabe VII.1
Sie werfen zwei Würfel gemeinsam.
(a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 9 zu werfen?
(b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 9 zu werfen, wenn einer der beiden Würfel eine 4 zeigt?
Lösung:Der ErgebnisraumΩist hier gegeben durch
Ω={(x,y)|x,y∈{1, 2, ..., 5, 6}}.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Elementarereignis {(x,y)}⊂Ωbeträgt daher
P
({(x,y)})=#{(x,y)}#Ω = 1 36. (a) SeiAdas Ereignis „die Augensumme beträgt 9“. Dann gilt
A={(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}.
Daher
P
(A)=#A#Ω= 4 36=1
9. (b) SeiBdas Ereignis „einer der beiden Würfel zeigt eine 4“, d.h.
B={(x,y)∈Ω|x=4 odery=4}.
Dann gilt #B=11, folglich
P
(B)=1136. Wir sehen sofort A∩B={(4, 5), (5, 4)}, daherP
(A∩B)=362.Die Wahrscheinlichkeit die Augensumme 9 zu werfen, wenn einer der beiden Würfel eine 4 zeigt ist somit
P
(A|B)=P
(A∩B)P
(B) =2 36 11 36
= 2 11.
Aufgabe VII.2
Sie werfen zwei Würfel gemeinsam. Einer der Würfel ist schwarz, der andere weiß.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 9 zu werfen, wenn der schwarze Würfel eine 4 zeigt?
Lösung:Der ErgebnisraumΩist hier gegeben durch
Ω={(x,y)|x,y∈{1, 2, ..., 5, 6}},
wobei der erste Eintrag jedes Tupels die Augenzahl des schwarzen, und der zweite Eintrag die Augenzahl des weißen Würfels angibt.
SeiAdas Ereignis „die Augensumme beträgt 9“. Dann gilt A={(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}.
Es bezeichneBdas Ereignis „der schwarze Würfel zeigt eine 4“, also B={(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}.
Es folgt
A∩B={(4, 5)}.
Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gegeben durch
P
(A|B)=P
(A∩B)P
(B) =1 36
6 36
=1 6. Aufgabe VII.3
64,8 % aller Studierenden des Lehramts sind Frauen; bei den übrigen Studiengängen beträgt der Anteil von Frauen nur 38,6%. Insgesamt geben 11,7% der an den Hochschulen Deutsch- lands eingeschriebenen Studentinnen und Studenten als Studienziel den Lehrerberuf an.
Eine an einer Hochschule eingeschriebene Person wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person
a) ... eine Frau ist,
b) ... eine Frau ist, die Studierende des Lehramt ist,
c) ... eine Frau ist, wenn bekannt ist, dass diese Person nicht Studierende des Lehramts ist, d) ... ein anderes Ziel als den Lehrerberuf hat, wenn bekannt ist, dass diese Person ein
Mann ist
Lösung:Wir beschreiben den Ereignisraum wie folgt:
Ω={L,nL}×{w,m}={(L,w), (L,m), (nL,w), (nL,m)},
wobeiLfür Studierende mit Ziel Lehramt steht undnLfür Studierende, die nicht das Lehr- amt anstreben. Mitwwerden weibliche und mitmmännliche Studierende bezeichnet. Die Funktion
P
, die die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse aufΩangibt lässt sich leicht mithilfe eines Baumdiagramms berechnen. Es giltP
({(L,w})=0, 117·0, 648,P
({(L,m})=0, 117·0, 352,P
({(nL,w})=0, 883·0, 386,P
({(nL,m})=0, 883·0, 614.2
(a) SeiAdas Ereignis „die Person ist eine Frau “. Dann A={(L,w), (nL,w)}
und
P
(A)=P
({(L,w)}+P
({(nL,w)})≈0, 42.(b) Wir wissen bereits
P
({L,w})=0, 117·0, 648≈0, 08.(c) SeiBdas Ereignis, dass die Person nicht das Lehramt anstrebt. Dann
B={(nL,w), (nL,m)},
P
(B)=0, 883·0, 386+0, 883·0, 614=0, 883.Weiterhin
A∩B={(nL,w)},
P
(A∩B)=0, 883·0, 386.Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch
P
(A|B)=P
(A∩B)P
(B) =0, 386.(d) SeiC das Ereignis, dass die Person ein Mann ist. Dann
C={(L,m), (nL,m)},
P
(C)=0, 117·0, 352+0, 883·0, 614.Daher
P
(B|C)=P
(B∩C)P
(C) =P
({(nL,m)})P
(C) ≈0, 93.Aufgabe VII.4
Eine spezielle Krankheit trete bei 4% der Bevölkerung auf. Ein auf diese Krankheit zugeschnitte- nes Diagnoseverfahren ergebe bei 90% der Erkrankten und bei 20% der Gesunden (in Hinblick auf die spezielle Krankheit) ein positives Ergebnis.
Beantworten Sie folgende Frage: Welche Bedeutung haben ein positiver bzw. ein negativer Befund für eine Patientin/einen Patienten? Quantifizieren Sie Ihre Antwort.
Lösung:Sei
Ω={K,nK}×{p,np},
wobeiK bezeichnet, dass die Person krank ist undpfür ein positives Testergbnis steht. Die NotationnK bzw.npsteht für die Negation vonK bzw.p. Mithilfe eines Baumdiagramms errechnet man die folgenden Wahrscheinlichkeiten für Elementarereignisse;
P
({(K,p)})=0, 04·0, 9,P
({(K,np)})=0, 04·0, 1,P
({(nK,p)})=0, 96·0, 2,P
({(nK,np)})=0, 96·0, 8.Weiterhin betrachten wir die folgenden Ereignisse mit zugehörigen Wahrscheinlichkeiten:
Der Test ist positiv:A={(K,p), (nK,p)},
P
(A)=P
({(K,p)})+P
({(nK,p)}) Der Test ist negativ:B={(K,np), (nK,np)},P
(B)=P
({(K,np)})+P
({(nK,np)}).Wir berechnen die Wahrscheinlichkeiten, dass
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a) Eine Person krank ist, wenn wir wissen, dass der Test positiv ist.
b) Eine Person gesund ist, obwohl ein positives Terstergebnis vorliegt.
c) Eine Person krank ist, obgleich ein negatives Testergebnis vorliegt.
d) Eine Person gesund ist, wenn der Test auf die Krankheit negativ ausgefallen ist.
Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ergeben sich wie folgt:
a)
P
³{(K,p), (K,np)}¯¯¯A´=P({KP(A),p})≈0, 16.
b)
P
³{(nK,p), (nK,np)}¯¯¯A´=P({nK,p})P(A) =1−
P
³{(K,p), (K,np)}¯¯¯A´≈0, 84.
c)
P
³{(K,p), (K,np)}¯¯¯B´=P({KP(B),np})≈0, 005.
d)
P
³{(K,p), (K,np)}¯¯¯B´=P({nKP(B),np})=1−P({KP(B),np})≈0, 995.
Ein positiver Befund bedeutet nur in ca. 16% aller Fälle eine Erkrankung. Ein negativer Befund bedeutet in ca. 99,5% aller Fälle, dass keine Erkrankung vorliegt.
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