Norm einer Matrix
Einer Vektornorm ist die Matrixnorm kAk = sup
x6=0
kAx k
kxk = max
kxk=1 kAx k
zugeordnet. Zus¨ atzlich zu den Normeigenschaften (Positivit¨ at, Homogenit¨ at, Dreiecksungleichung) gilt
kABk ≤ kAkkB k
f¨ ur Produkte von Matrizen, d.h. die zugeordnete Matrixnorm ist submultiplikativ. Diese Eigenschaft m¨ ussen andere Matrixnormen, die ebenfalls verwendet werden k¨ onnen, nicht besitzen. Es wird jedoch in Verbindung mit dem Matrix/Vektor-Kalk¨ ul gefordert, dass eine Matrixnorm kompatibel mit der Vektornorm ist, d.h.
kAx k ≤ kAkkxk .
Diese schw¨ achere Bedingung als Submultiplikativit¨ at ist f¨ ur die
Beweis
(i) Positivit¨ at: X (ii) Homogenit¨ at:
ksAk = max
kxk=1 ksAxk = max
kxk=1 |s |kAx k
= |s| max
kxk=1 kAx k = |s|kAk (iii) Dreiecksungleichung:
kA + B k = max
kxk=1 k(A + B )xk = max
kxk=1 kAx + Bx k
≤ max
kxk=1 (kAx k + kBx k)
≤ max
kxk=1 kAx k + max
kxk=1 kBx k = kAk + kBk
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(iv) Submultiplikativit¨ at:
F¨ ur eine Nullmatrix B (kBk = 0) ist die Aussage trivial, da in diesem Fall AB ebenfalls die Nullmatrix ist.
Andernfalls gilt Folgendes:
kABk = sup
x6=0
kABxk kx k =
(∗) sup
x:Bx 6=0
kA(Bx )k kBx k
kBx k kxk
≤ sup
y6=0
kAy k ky k sup
x6=0
kBx k
kxk = kAkkBk
Die Einschr¨ ankung bei der Umformung (∗) ist unproblematisch, da Bx = 0
= ⇒ ABx = 0.
Maximumnorm
Der Maximumnorm f¨ ur Vektoren,
kv k ∞ = max
k |v k | , ist f¨ ur Matrizen die Zeilensummennorm zugeordnet:
kAk ∞ = sup
x6=0
kAx k ∞
kxk ∞ = max
j
X
k
|a j,k | .
Dabei ist zu beachten, dass im allgemeinen kAk ∞ 6= kA t k ∞ . Insbesondere gilt f¨ ur einen Zeilenvektor (x 1 , . . . , x n ) (d.h. eine 1 × n-Matrix)
kxk ∞ =
n
X
j =1
|x j | .
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Beweis
Definition der zugeorneten Norm = ⇒ kAk ∞ = max
kxk
∞=1 max
j | X
k
a j,k x k | ≤ max
j
X
k
|a j ,k | Gleichheit gilt f¨ ur
x k = sign a j,k
mit j einem Index, f¨ ur den die Zeilensumme maximal ist.
Euklidische Matrixnorm
Der Euklidischen Norm (2-Norm) f¨ ur Vektoren,
|v| = X
k
|v k | 2
! 1/2
,
ist die Matrixnorm
kAk 2 = max{ √
λ : λ ist Eigenwert von A ∗ A}
zugeordnet. Die Wurzeln der Eigenwerte der symmetrischen, positiv definiten Matrix A ∗ A sind die Singul¨ arwerte von A.
Kompatibel mit der Euklidischen Norm ist ebenfalls die Frobenius-Norm
kAk F =
X
j,k
|a j ,k | 2
1/2
, d.h. es gilt
|Ax | ≤ kAk F |x| . Diese Norm ist jedoch nicht submultiplikativ.
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Beweis
(i) Zugeordnete Norm:
benutze die Singul¨ arwertzerlegung
A = USV ∗ , U, V unit¨ ar, S diagonal
Invarianz der Euklidischen Norm bei unit¨ aren Transformationen = ⇒ kAk 2 2 = sup
x6=0
|Ax | 2
|x| 2 = sup
x6=0
|USV ∗ x| 2
|x| 2 = sup
x6=0
|SV ∗ x| 2
|V ∗ x| 2 = sup
y6=0
|Sy | 2
|y| 2
|Sy| 2 = P r
k=1 |s k y y | 2 mit r dem Rang und s 1 ≥ · · · ≥ s r den Singul¨ arwerten von A
= ⇒ kAk 2 2 = sup
y
P
k |s k y k | 2 P
k |y k | 2 ≤ max
k s k = s 1
mit Gleichheit f¨ ur y = (1, 0, . . .) t
(ii) Frobenius-Norm:
Kompatibilit¨ at ⇐ = Ungleichung von Cauchy-Schwarz
|Ax | 2 = X
j
X
k
a j,k x k
! 2
≤ X
j
s
X
k
|a j,k | 2 s
X
k
|x k | 2
2
=
X
j
X
k
|a j,k | 2
|x | 2 = kAk 2 F |x| 2
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Beispiel
verschiedene Normen der Matrix
A =
0 −1
1 0
−2 2
(i) Zeilensummennorm:
kAk ∞ = max
j
X
k
|a j ,k | = max{| − 1|, |1|, | − 2| + |2|} = max{1, 1, 4} = 4 Gleichheit in der Ungleichung kAx k ∞ ≤ kAk ∞ kxk ∞ f¨ ur x k = sign a 3,k , d.h. x = (−1, 1) t :
kAx k =
−1
−1
= 4, kxk = 1
(ii) Euklidische Norm:
kAk 2 = max{ √
λ : λ ist Eigenwert von A t A}
A t A =
0 1 −2
−1 0 2
0 −1
1 0
−2 2
=
5 −4
−4 5
Eigenwerte λ 1 = 9, λ 2 = 1, denn A t A
1
−1
= 9 1
−1
, A t A 1
1
= 1
1
,
Gleichheit in der Ungleichung |Ax | ≤ kAk 2 |x| f¨ ur x = (1, −1) t :
|Ax | =
1 1
−4
=
√
18, |x| =
√ 2
und √
18 = 9 √
2 X
(iii) Frobenius-Norm:
kAk F = p
1 + 1 + (−2) 2 + 2 2 = √ 10
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