Satz: CVP ist P-vollständig

17-17 Das Hauptresultat. 17-17

Satz

cvp istP-vollständig.

Dies bedeutetzwar nicht, dass sich CVP nicht gut parallel auswerten lässt, macht es aber

»unwahrscheinlich«.

17-18 Wie beweist man Vollständigkeit? 17-18

Die Bootstrapping-Methode.

Ausgangslage

SeiCeine Sprachklasse undX ein Problem. Wir wollen zeigen, dassX vollständig ist für C.

Bootstrapping-Methode

1. Man zeigt zunächstX∈Cmittels eines konkreten Algorithmus.

2. Man zeigt dann für jedes Problem inA∈C, dassA≤^log_m X gilt.

– Diese Methode ist »anstrengend«.

– Beim »ersten Mal« ist sie aber nicht zu vermeiden.

– Den Satz von Cook beweist man durch Bootstrapping.

– Wir werden die P-Vollständigkeit von CVP auch so beweisen müssen.

17-19 Wie beweist man Vollständigkeit? 17-19

Die Reduktions-Methode.

Ausgangslage

Sei C eine Sprachklasse und X ein Problem. Wir wollen zeigen, dassX vollständig ist fürC. Wir kennen schon ein ProblemY, dass vollständig ist fürC.

Reduktions-Methode

1. Man zeigt zunächstX∈Cmittels eines konkreten Algorithmus.

2. Man zeigt dannY≤^log_m X. – Diese Methode ist »oft einfach«.

– Fast alle Vollständigkeitsbeweise benutzen diese Methode.

17-20 CVP ist in P. 17-20

Lemma (Erster Beweisteil) cvp∈P.

Zur Übung

Skizzieren Sie den Beweis.

17 Untere Schranken I

17.2 P-Vollständigkeit 129

17-21 Reduktion beliebiger Probleme aus P. 17-21

Lemma (Zweiter Beweisteil)

Sei A∈P ein beliebiges Problem. Dann giltA≤^log_m cvp. Grobes Ziel

– Seixeine Eingabe für die Reduktion.

– Wir wollen herausfinden, obx∈A gilt.

– Dazu müssen wir (in logarithmischem Platz) einen Schaltkreis C konstruieren mit folgenden Eigenschaften:

1. Giltx∈A, so wertetCzu1 aus.

2. Giltx∈/A, so wertetCzu0 aus.

17-22 Visualisierung der groben Idee der Reduktion. 17-22

Eigentliche Frage

x∈A? f(x)∈cvp?

»Ja!«

»Ja!«

f

(Reduktionsfunktion)

Ergebnis übernehmen

Firma/Gott/

Aliens

17-23 Übersicht zum Beweis. 17-23

Im Folgenden sollen folgende Punkte angesprochen werden:

1. Einige Vereinfachungen

2. Aufbau des Schaltkreises

3. Aufbau der Boxen im Schaltkreis

4. Eigenschaften des Schaltkreises

5. Wie schwierig ist es, den Schaltkreis zu konstruieren?

17-24 Von der Maschine zum Schaltkreises. 17-24

– Sei M eine Polynomialzeit-Turingmaschine, die A entscheidet. Dann muss der zu konstruierende SchaltkreisCfolgende Eigenschaft haben:

1. AkzeptiertM die Eingabex, so wertetC zu1aus.

2. VerwirftM die Eingabex, so wertetCzu0 aus.

Wir beginnen mit ein paar Vereinfachungen:

– Die MaschineM habe nur ein Band.

– Das Band der MaschineM seieinseitig beschränkt. – Es gibtgenau eineakzeptierende Endkonfiguration.

– Bei dieser Endkonfiguration ist der Kopf am Anfang. Wir führen folgende Bezeichnungen ein:

– Die Laufzeit der Maschine bei Eingaben der Länge n seigenau p(n)für ein festes Polynom p.

– Die Länge der Eingabexheißen.

130 ¹⁷ Untere Schranken I 17.2 P-Vollständigkeit

17-25 Grober Aufbau des Schaltkreises. 17-25

Wir bauen den Schaltkreis grob wie folgt:

– Er besteht aus p(n)Schichten.

– An den Ausgabegattern derk-ten Schicht liegtkodiert diek-te Bandkonfiguration an. – An den Eingabegattern derk-ten Schicht liegtkodiert die(k−1)-te Bandkonfiguration

an.

Die Kodierung einer Bandkonfiguration funktioniert wie folgt:

– Um eine Bandzelle zu kodieren, benutzen wir mehrere Leitungen.

– Ist das BandalphabetΓ, so können in einer Zelle |Γ| verschiedene Symbole stehen;

wir benutzen deshalblog|Γ| Leitungen zur Kodierung des Zelleninhalts.

– Zusätzlich benutzt man noch pro Zelle eine Leitung, um zu signalisieren, ob der Kopf dort ist.

– Schließlich benutzen wir noch log|Q|Leitungen, um den aktuellen Zustand der Tu- ringmaschine zu kodieren.

17-26 Was leistet der Schaltkreis? 17-26

– Betrachtet man die Leitungen, die in dieersteSchicht hineinführen, so kodieren sie genau die Anfangskonfiguration.

– Betrachtet man die Leitungen, die in diezweiteSchicht hineinführen, so kodieren sie genau den Bandinhalt nach einem Schritt.

– Betrachtet man die Leitungen, die in diedritte Schritt hineinführen, so kodieren sie genau den Bandinhalt nach zwei Schritten.

– Betrachtet man die Leitungen, die in die p(n)-teSchritt hineinführen, so kodieren sie genau den Bandinhalt der Endkonfiguration.

– Schaltet man also noch einen winzigen Schaltkreis nach, der überprüft, ob diese Endkonfiguration akzeptierend ist, so leistet der Schaltkreis das Gewünschte:

Er wertet zu 1 aus genau dann, wenn die Maschine die Eingabe akzeptiert.

17-27 Eine Beispielsituation. 17-27

– Die Symbole des BandalphabetsΓ={a,b,} werden kodiert durch00,01,10. – Es gibt vier Zustände{q₀,q₁,q₂,q₃}, kodiert durch00,01,10und 11.

– Der initiale Bandinhalt istab, der initiale Zustand istq₁und der Kopf ist initial auf erstem Zeichen (dema).

– Nach einem Schritt ist der Bandinhalt bb, der Zustand ist q₂ und der Kopf auf dem zweiten Zeichen.

– Nach zwei Schritten ist der Bandinhalt ba, der Zustand istq₂und der Kopf auf dem dritten Zeichen.

– Nach p(n)−1 Schritten ist der Bandinhalt aaa, der Zustand ist q₃ und der Kopf auf dem ersten Zeichen.

– Akzeptierender Zustand ist genauq₃.

17-28 Visualisierung der Schichtenstruktur des Schaltkreises. 17-28

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Symbola Zustandq1 Kopfhier Symbolb ignoriert Kopfwoanders Symbol ignoriert Kopfwoanders Symbol ignoriert Kopfwoanders

Schicht-Verknüpfungs-Schaltkreis Schicht-Verknüpfungs-Schaltkreis

Schicht-Verknüpfungs-Schaltkreis

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...

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17 Untere Schranken I

17.2 P-Vollständigkeit 131

17-29 Was in den Schicht-Verknüpfungs-Schaltkreisen passiert. 17-29

– Wir wollen einen (flachen) Schaltkreis angeben, derSchicht i mit Schichti+1 ver- knüpft.

– Dieser Schaltkreis besteht aus p(n)vielenBoxen.

– Jede Box kümmert sich darum, den Bandinhalt einer bestimmten Zellezzu berechnen.

– Dazu muss sie lediglich die Inhalte der Zelle z in der vorherigen Schicht kennen, sowie die Inhalte der Zelle links und rechts davon.

17-30 Aufbau eines Schicht-Verknüpfungs-Schaltkreises. 17-30

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Symbola Zustandq1 Kopfhier Symbolb ignoriert Kopfwoanders Symbol ignoriert Kopfwoanders Symbol ignoriert Kopfwoanders

Box Box Box Box

Box Box Box Box

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17-31 Wie schwierig ist der Schaltkreis zu bauen? 17-31

Was wir erreicht haben:

– Zu jeder beliebigen Eingabe xkönnen wir einen Schaltkreis konstruieren, der genau dann zu1 auswertet, wennM das Wortxakzeptiert.

Was fehlt:

– Wie schwierig ist es, den Schaltkreis zu konstruieren?

Antwort hierauf:

– Dies ist einfach, daalle Boxen identisch sind.

– Der Schaltkreis besteht im Wesentlichen aus p(n)² Boxen, die in einfacher Weise verdrahtet sind.

– Es ist leicht, in logarithmischem Platz in einer Schleife p(n)² Boxen (fester Größe!) auszugeben.

– Die Verdrahtung ist etwas fummeliger, aber auch nicht schwierig.

132 ¹⁷ Untere Schranken I Übungen zu diesem Kapitel

Im Dokument Vorlesungsskript - Institut für Theoretische Informatik (Seite 140-144)