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Strahlstrom I B : Definiert man den Strom an Ionen im Extraktionsstrahl als Strahlstrom, so ändert er sich aufgrund des Ladungsaustauschs zwischen

7.4 Simulation der Ionenoptik

7.4.2 Randbedingungen

7.4 Simulation der Ionenoptik

Da das exakte Ergebnis nicht bekannt ist, wird nicht der Fehler, sondern die Änderung des Wertes zwischen den letzten beiden Iterationen betrachtet. Ist diese klein genug, wird von einer Konvergenz der Lösung mit geringer Abweichung von dem exakten Ergebnis ausgegangen und die Simulation beendet. Experimentell lässt sich ermitteln, dass selbst bei annähernd gleich bleibenden Gitterströmen und Raumladungen (Mittelwert über das gesamte Gebiet) noch Änderungen der Trajektorien bzw. der Ladungsdichte am Ende des Simulationsgebietes auftreten.

Deswegen wird als Abbruchkriterium bewertet, wie stark sich die Teilchenpositionen innerhalb einer Iteration geändert haben. Als Vergleichsgröße wird die mittlere quadratische PositionsabweichungR verwendet:

R=

v u u t

N−1

X

n=0 M−1

X

m=0

~r[n,m,i]~r[n,m,i+1]2 (7.22) Hierbei ist~r[n,m,i] das m-te Teilchen der Trajektorie n in Iteration i. Zur Verringe-rung der erforderlichen Rechenzeit wird nur eine reduzierte Anzahl an Trajektorien verglichen.

übertra-Kapitel 7 Extraktionssystem

gen ist1. Für die Stützpunktabstände wird eine maximale Größe von 30 µm in allen Dimensionen vorgegeben. Aufgrund der Randschichtausbildung ist der Gradient des Potentials arbeitspunktabhängig. Um diesen für alle Randbedingungen abbilden zu können, wird der Stützpunktabstand in x-Richtung zusätzlich aufλD begrenzt. Der tatsächliche Abstand ergibt sich durch Rundung auf eine ganzzahlige Anzahl an Stützpunkten pro Raumrichtung.

Zeitschritt: Wird der Zeitschritt zu groß gewählt, liegen pro Voxel nur wenige oder gar keine Makro-Teilchen vor. Dies hat eine verrauschte Ionenladungsdichte auf den Stützpunkten zur Folge und kann die Konvergenz tendenziell erschweren.

Zur Vermeidung wird

t = 0,5min (∆x,y,z)

vmax (7.24)

angesetzt, wobeivmax mit Gl. (7.3) berechnet wird.

Ionen: Die Ionen werden gleichmäßig im System eingefügt und starten mit der Bohm-Geschwindigkeit. Die Ladung pro Metateilchen qM ergibt sich durch Auftei-lung des Stroms IPS auf die einzelnen Trajektorien, deren Anzahl mit N bezeichnet wird. Die Berechnung erfolgt durch

qM = IPS

Nt. (7.25)

Der Strom IPS folgt aus Multiplikation von JP (siehe Gl. (7.1)) mit der simulierten Fläche in der y-z-Ebene. Hierbei handelt es sich um den Ionenstrom, der innerhalb des Simulationsgebiets vom Plasma kommt und zur Ionenoptik fließt. Die Masse pro MetateilchenmM folgt mit

mM=qMmi

qi , (7.26)

wobeimi die Masse und qi die Ladung eines einzelnen Ions ist.

Abstand zur Weltraumgrenze: Hinter dem DCG findet eine Neutralisation des Ionenstrahls durch die Elektronen des Neutralisators statt. Um dies genau abzubil-den, wäre eine Simulation des gesamten Extraktionssystems inklusive des Neutra-lisators und Elektronen als Teilchen notwendig. Andere Modelle nähern die welt-raumseitigen Elektronen durch ein Kontinuum an. Dies geschieht, wie auch für die plasmaseitigen Elektronen, durch Verwendung der Boltzmann-Beziehung, wobei für dieses „Weltraumplasma“ andere Parameter angenommen werden. In diesem Mo-dell werden die weltraumseitigen Elektronen nicht berücksichtigt. Es wird davon ausgegangen, dass diese auf den Transmissionskoeffizienten der Ionenoptik keine si-gnifikante Auswirkung haben. Um jedoch den Effekt einer sich hinter dem DCG bildenden Raumladungswolke der Ionen zu reduzieren, wird der Bereich zwischen DCG und dem Weltraum auf 1 mm begrenzt.

1 Hierbei werden Elektronen als Kontinuum simuliert und die Ionen haben eine klare Vorzugs-richtung. Dementsprechend können sich durchaus andere Stabilitätsbedingungen als bei einer reinen PIC-Simulation ergeben.

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7.4 Simulation der Ionenoptik

DIN A4 210 mm x 297 mm

\usepackage{geometry}

\geometry{a4paper,left=3cm,right=3cm, top=2.5cm, bottom=2.5cm} % Ränder

𝑦 𝑥 𝑧

∆𝑦 ∆𝑦 2

∆𝑦 2

∆𝑧

∆𝑧 2

∆𝑧 2

𝑦 𝑥 𝑧

∆𝑦 ∆𝑦

2

Abbildung 7.10: Räumliche Verteilung der Trajektoriestartpunkte für eine beliebe Anzahl an Trajektorien pro Dimension

DIN A4 210 mm x 297 mm

𝑦 𝑥 𝑧

∆𝑦 ∆𝑦 2

∆𝑦 2

∆𝑧

∆𝑧 2

∆𝑧 2

𝑦 𝑥 𝑧

∆𝑦 ∆𝑦

2

Abbildung 7.11: Gewählte räumliche Verteilung der Trajektorienstartpunkte

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Kapitel 7 Extraktionssystem

Startposition der Trajektorien: Jede einzelne Trajektorie wird auf Basis eines Startteilchens durch numerische Integration berechnet. Die Startteilchen werden alle an der selben Startposition in x-Richtung

xs =vb·∆t

2 (7.27)

eingefügt und sollen in y- und z-Richtung gleichmäßig verteilt sein. Ein mögliches Schema der Aufteilung ist in Abb. 7.10 dargestellt. Dieses und auch andere füh-ren, je nachdem wie viele Trajektorien pro Raumrichtung gewählt werden, bereits im Startbereich nach dem Scatter-Prozess zu einer inhomogenen Ladung bzw. La-dungsdichte auf den Stützpunkten. Als Konsequenz ergeben sich elektrische Felder in y- und z-Richtung, die zu einer simulierten Ablenkung der Trajektorien führen, wel-che in der Realität nicht gegeben ist. Um dies zu vermeiden, wird die in Abbildung 7.11 dargestellte Anordnung verwendet. In dieser ist die Anzahl an Trajektorien pro Raumrichtung auf eine bestimmte Anzahl diskreter Werte limitiert. Hierdurch lässt sich die erwähnte Inhomogenität weitestgehend vermeiden und die Anordnung hat folgende Eigenschaften:

a) Die Teilchenpositionen in jedem Voxel sind gleich.

b) Der Abstand aller Teilchen in x-Richtung ist gleich.

c) Der Abstand aller Teilchen in y-Richtung ist gleich.

d) Die Anordnung ist symmetrisch1

e) Es muss mindestens ein Teilchen pro Zelle vorliegen.

f) Die Anzahl der Teilchen in y- und z-Richtung ist immer eine Ganzzahl.

Abstand zur Plasmarandschichtkante: Das Modell beinhaltet eine selbstkon-sistente Berechnung der Plasmarandschicht, wie in Abb. 7.12 und Abb. 7.13 darge-stellt. Hierbei befinden sich bei x = 0 mm die Randbedingungen zum Plasma hin und beix= 4 mm die Wand. Simuliert wurde die sich ausbildende Randschicht bei einer Elektronentemperatur von 6 eV und einer Ionen- und Elektronendichte an der Randschichtkante von 1017 1/m3. Wie ersichtlich ändern sich die Größen Potential sowie Ionen- und Elektronendichte erst beim Beginn der Randschicht ca. 1 mm vor der Wand. So lange der simulierte Abstand zwischen SCG und Plasma größer ist als die tatsächliche Ausdehnung der Randschicht, ist das Ergebnis von dieser Be-reichsbreite nur schwach abhängig. Die Ergebnisse der in Abb. 7.13 und Abb. 7.12 aufgetragenen Größen (Dichte und Potential) weisen im Bereich 0 mm≤x≤1 mm einen geringen Abfall auf, der in den Abbildungen fast nicht sichtbar ist. Dieser lässt sich auf eine nicht vollständige Konvergenz zurückführen und wird mit steigender Anzahl der simulierten Iterationen kleiner. Der Abstand zwischen Plasma und SCG sP,SCG, für die Simulation der Ionenoptik, wird wie folgt berechnet:

sP,SCG = 20λD mit der Wertebereichsbegrenzung auf 1 mm≤sP,SCG ≤3 mm. (7.28) Die Grenze nach oben hält die Simulationszeit gering und reduziert, wie im Folgen-den beschrieben, die Wahrscheinlichkeit von „Verwirbelungen“ in der Simulation.

1 Ein in der x-z-Ebene oder in der x-y-Ebene gespiegelter Voxel verfügt über die gleichen Teil-chenpositionen. Dies gilt auch für Randbedingungen an der Grenze des Simulationsgebietes.

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7.4 Simulation der Ionenoptik

0 1 2 3 4

0 5 10 15 20 25 30

Abbildung 7.12: Simulierte Randschicht in Form des Potential vor dem SCG

0 1 2 3 4

0 2 1016 4 1016 6 1016 8 1016 10 1016

Abbildung 7.13: Simulierte Randschicht in Form der Elektronen- und Ionendichte vor dem SCG

Abbildung 7.14: Verwirbelung der Ionentrajektorien aufgrund numerischer Fehler

Kapitel 7 Extraktionssystem

Verwirbelungen: Durch die Inhomogenität der Ladungsdichte und den daraus folgenden Kräften in x- und y-Richtung können „Verwirbelungen“, wie in Abb. 7.14 dargestellt, auftreten. Hierbei wurde die Simulation mit den gleichen Parametern wie für Abb. 7.12 und Abb. 7.13 durchgeführt, jedoch mit einer anderen Platzierung der Startpunkte und einer anderen Anzahl an Trajektorien. Hierdurch ist die Notwen-digkeit des zuvor dargestellten Schemas nachgewiesen. Es sei jedoch zu erwähnen, dass das in Abb. 7.11 dargestellte Schema die Inhomogenität bei der Teilchenin-jektion zwar bis auf die Gleitkommagenauigkeit eliminiert, es aber trotzdem zu (Rundungs-)Fehlern durch die Teilchenintegration und auch bei der Berechnung des elektrischen Potentials kommt. In Konsequenz treten solche Verwirbelungen trotz des gewählten Schemas auf, wenn viele Iterationen stattfinden oder der Integra-tionsweg (Strecke, die ein Teilchen zurücklegt) lang ist. Dementsprechend ist es günstiger, den Bereich zwischen Plasma und SCG klein zu wählen.

Relaxationsfaktor und Konvergenzgeschwindigkeit: Bei sehr kleiner Ionen-dichte ist die Raumladung so gering, dass sie die Trajektorien quasi nicht beein-flusst. Es kann ein Relaxationsfaktor von 1 gewählt werden und die erste Iteration entspricht annähernd dem Endergebnis. Bei steigender Ionendichte werden die Tra-jektorien zunehmend von der Raumladung beeinflusst. Das hat zur Konsequenz, dass die Trajektorien der ersten Iteration weniger stark dem Endergebnis entspre-chen. Wird deren Raumladung vollständig berücksichtigt (K = 1), konvergiert das Verfahren mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht mehr1. Dementsprechend ist mit hö-herer Ionendichte tendenziell ein kleinerer Relaxationsfaktor zu wählen, während gleichzeitig die Anzahl der benötigten Iterationen steigt2.