Kostenfunktion

Um die Ergebnisse der Partitionierung mithilfe des Metropolalgorithmus inner-halb des Simulated Annealing bewerten zu können, muss eine Kostenfunktion für das partitionierte System aufgestellt werden. Die Kostenfunktion ermittelt da-bei anhand der Systemeigenschaften die Kosten jeder einzelnen Komponente und darauf basierend, die des gesamten Systems.

Für die Aufstellung einer Kostenfunktion gibt es verschiedene Ansätze, die in [72]

erklärt sind. Die Kosten einer Partition können funktional mithilfe eines Algorith-mus oder nichtfunktional durch Experten ermittelt werden. Da die

Partitionie-rung objektiv und unabhängig von Experten durchgeführt werden soll, wird hier die funktionale Variante verwendet. Die funktionale Methode basiert auf einem mathematischen Modell, das die Kosten C anhand der vorhandenen Kostenfak-toren x_i schätzt (Gleichung 3.35).

C =f(x0, x1, ..., xl−1) (3.35) Die Kostenfaktoren bilden dabei ein l-Tupel, das die Kosten einer in Hardware bzw. in Software implementierten Funktion beschreibt. Im vorliegenden Fall wird eine Funktion durch folgende Kostenfaktoren beschrieben:

• Verarbeitungskosten in SW

• Verarbeitungskosten in HW

• Kommunikationskosten

• Hardwareaufwand

• Entwicklungskosten HW

Die Kosten aller an der Partitionierung beteiligten Funktionen werden addiert und ergeben ihre Gesamtkosten (Gleichung 3.36).

C_gesamt =

n−1

X

i=0

C_i (3.36)

Die mathematischen Modelle zur Ermittlung der Kosten können linear, multipli-kativ oder exponentiell sein. Das lineare Modell [76] ist der klassische Ansatz eine Kostenfunktion aufzustellen. Er ist in Gleichung3.37 dargestellt. Die Koeffizien-ten a_i gewichten dabei die einzelnen Kostenfaktoren. Sie werden meist empirisch ermittelt.

C =a0+

l−1

X

i=0

(ai·xi) (3.37)

Das multiplikative Modell ist in Gleichung3.38zu sehen. Die Koeffizienten haben die gleiche Funktion wie im linearen Modell. Einige Arbeiten beschränken die Koeffizienten dabei auf die Werte [−1,0,+1] [116].

C=a₀

l−1

Y

i=0

a^x_iⁱ (3.38)

Im COCOMO II Projekt [82] wird ein exponentielles Modell zur Schätzung von Softwarekosten genutzt (siehe Gleichung 3.39). Dabei ist W die Wichtung ein-zelner Kostenfaktoren undEM ein Erfolgsmultiplikator, von denen insgesamt 17 Stück vorhanden sind.S ist die Größe der Software, gemessen in Tausend LOCs.

C = 2,94

17

Y

i=1

EM_iS^{0,91+0,01·PW} (3.39)

Die Funktionen auf dem NIOS II und dem PC unterliegen einem sehr ähnlichen Verarbeitungsmodell (ähnliche Funktionsprinzipien). Damit kann der Zusammen-hang zwischen der Verarbeitungszeit einer Funktion auf einem PC und auf dem NIOS II als linear angenommen werden. Es ist deshalb ein Schätzverfahren nach Gleichung 3.37 für die Verarbeitungskosten zu bevorzugen. Ein exponentielles Modell nach COCOMO II wird nur zur Schätzung der Portierungskosten des C-Codes nach VHDL genutzt. Hier findet eine Transformation zwischen zwei un-terschiedlichen Eingabesprachen statt, was der Entwicklung einer neuen Software gleichzusetzen ist. Für den Bereich der Schätzung von Softwarekosten wird der COCOMO II Ansatz nach [82] als geeignet angesehen und er soll darum auch hier zum Einsatz kommen.

Die Kostenfaktoren können nur durch eine Implementierung des partitionierten Systems auf die Zielhardware genau bestimmt werden. Diese Variante würde zu enormen Entwicklungszeiten führen. Deshalb wird versucht, die Kostenfaktoren so exakt wie möglich zu schätzen [34] und an Beispielimplementierungen zu vali-dieren.

Schätzung der Verarbeitungskosten

Die Verarbeitungskosten sind entsprechen der Verarbeitungszeit in der Logik bzw.

auf einem Prozessor. Insbesondere für die Verarbeitungszeit wurden verschiede-ne Methoden entwickelt. Taktgenaue Verfahren versprechen dabei die genauesten

Ergebnisse [68]. Sie erfordern jedoch auch besonders genaue Modelle für Hard-ware und SoftHard-ware. Zudem benötigen sie für die Ergebnisermittlung einen sehr hohen Rechenaufwand. Sie werden daher nur selten verwendet. Andere Verfahren versuchen die Optimierungen des Compilers bzw. des Hardwaresynthesetools zu schätzen und somit auf die Programmlaufzeit im fertigen HW-SW Co-Design zu schließen [105], [123]. Das erfordert wesentlich weniger Rechenaufwand und ist besser geeignet. Die damit verbundene mögliche Vergrößerung des Fehlers spielt zunächst eine nur untergeordnete Rolle [12]. Im vorgestellten HW-SW Partitio-nierungssystem soll deshalb zur Schätzung der Verarbeitungszeiten ein Verfahren eingesetzt werden, dass zwar eine schnelle Schätzung ermöglicht, dafür aber we-niger Genauigkeit verspricht.

Die Schätzung der Verarbeitungszeit einer Funktion, die auf einem Prozessor rea-lisiert wird, ist bereits im Kapitel 3.4.2 besprochen worden. Hierbei wird nicht der Datenfluss innerhalb einer Funktion analysiert, sondern die Ausführungszei-ten der Funktion auf einem PC werden anhand eines BeispieldaAusführungszei-tensatzes ermit-telt. Die Ergebnisse können nun durch Gleichung3.40 auf den NIOS II Prozessor übertragen werden.

C_PiSW =a_i·t_{iP C} (3.40) Der Parameter a_i wird mithilfe eines Benchmarktestes und der mit der Ana-lyse gefundenen arithmetischen Operationen für jede Basisfunktion ermittelt.

Dabei werden die Speedfaktoren der arithmetischen Operationen (z.B. Addition

→SF_add) durch eine gewichtete Addition zu a_i nach Gleichung 3.41 zusammen-gefasst. Die Gewichte der Addition werden durch das Verhältnis der Anzahl der arithmetischen Operation (z.B. n_add) zur Anzahl aller arithmetischen Operatio-nen n_ges bestimmt.

ai = n_iadd

n_iges ·SFadd+...+ n_{imultf loat}

n_iges ·SFmultf loat (3.41) Die für das vorgestellte System ermittelten Geschwindigkeitsfaktoren SF_... sind im Anhang in Tabelle 5.1 angegeben.

Für die Schätzung der Verarbeitungszeit einer Hardwarefunktion ist dieses Ver-fahren nicht geeignet, weil hier Funktionsteile parallelisiert oder in einer Pipeline realisiert werden können. Da der Datenfluss während der Codeanalyse nur zwi-schen den Funktionen und nicht innerhalb der Funktionen analysiert wurden, ist schwer vorherzusagen, wie hoch der Geschwindigkeitsfaktor einer Funktionsreali-sierung in Logik gegenüber einer sequentiellen RealiFunktionsreali-sierung auf einem Prozessor ist. Es ist deshalb nur möglich, aufgrund von Erfahrungswerten und der vor-handenen Kennzahlen einer Funktion Parameter zu bestimmen und damit die Verarbeitungszeit der Funktion als Logikrealisierung zu schätzen. Die Schätzung erfolgt in diesem Fall nach dem Gesetz von Amdahl (Gleichung 2.2). Die Ge-samtverarbeitungszeit entspricht hierbei der Verarbeitungszeit der langsamsten Logikoperation (t_par =t_OP) und einem sequentiellen Anteil t_seq.

Die Verarbeitungszeiten der Logikoperationen t_OP werden vorher durch Messung bestimmt. Der sequentielle Anteil an der Verarbeitungszeit t_seq wird nach Glei-chung 3.43 aus dem sequentiellen Anteil f_S und t_OP bestimmt. Der sequentielle Anteil lässt sich hier durch die Metriken nach Halstead HD und McCabe CC ermitteln.

f_S = CC +HD

LOC mit{(CC +HV)< LOC} (3.42)

t_seq = f_S

1−f_S ·t_OP (3.43)

Aus den ermittelten Zeiten lässt sich wiederum der Geschwindigkeitsfaktor S_n nach Gleichung2.4bestimmen. Die Gesamtverarbeitungszeit der Hardware ergibt sich zu:

C_PiHW =t_seq +t_OP (3.44)

Schätzung der Kommunikationskosten

Die Kommunikation erfolgt hier grundsätzlich über einen gemeinsamen Speicher (Shared Memory Architektur), der als DualPortRam ausgeführt ist. Es wird da-von ausgegangen, dass die Datenwortbreite nicht größer als die Busbreite ist und somit ein Datenwort komplett übermittelt werden kann. Die Übertragung eines Datenwortes benötigt mit Adresserzeugung, Adressübermittlung und Rücküber-mittlung der Datenn Taktperioden T_T. Diese Operation wird für m_i zu übertra-gende Datenworte D ausgeführt. Daraus ergibt sich für die Kommunikationszeit folgende Gleichung:

C_Ci = (n·T_T)·m_i (3.45)

n ist für eine Kommunikation zwischen zwei Logikelementen kleiner als für ei-ne Kommunikation zwischen zwei Prozessoren bzw. von Logik zu Prozessor, da Prozessoren über komplexe Busse kommunizieren und entsprechend höhere La-tenzzeiten zu berücksichtigen sind.

Weil durch die Simulation des Algorithmus auf dem PC anhand eines Beispiel-datensatzes die Mengen für D sehr genau bestimmt werden können, ergibt sich auch für die ermittelten Kommunikationszeiten ein zuverlässiger Wert.

Die geschätzten Kommunikationzeiten der Kanten, die für einen Prozessor oder ein Logikelement einen Eingang darstellen, werden diesem zugeordnet. Existieren mehrere Eingänge für einen Prozessor, werden die Kommunikationszeiten der Kanten addiert. Bei Logikelementen wird die größte Kommunikationszeit für die weiteren Berechnungen herangezogen, weil hier die Kommunikation in Hardware erfolgt und parallel abgearbeitet werden kann (siehe Abbildung 3.16).

Aufgrund dieser Eigenschaft und der unterschiedlichen Latenzzeiten bei der Kom-munikation ergeben sich entsprechend unterschiedliche KomKom-munikationskosten bei Logik bzw. bei Prozessorimplementierungen einer Funktion.

5 4 2

F13

5 4 2

F13

Prozessor Logikelement

T=14 T=8

Abbildung 3.16: Max. Periodendauer für Proz. und Logikelement mit mehreren Eingängen

Schätzung des Hardwareaufwandes

Der Hardwareaufwand AHW für eine Funktionsrealisierung als Logik kann sehr einfach durch eine Akkumulation aller vorhandenen Logikelemente (Addierer, Multiplizierer) nach der Art der dort verwendeten Daten (ganze oder reele Zah-len) ermittelt werden.

A_HW =k·A_add+l·A_{addf loat}+...+n·A_{multf loat} (3.46) Die verwendeten Prozessoren gehen hier mit jeweils 3.500 LC mit in die Berech-nung ein.

Schätzung der Entwicklungskosten der Hardwarelösung

Um festzustellen, wie aufwendig die Portierung einer Softwarefunktion in eine Hardwarelösung ist, soll der Portierungsaufwand in Personenmonaten P M_HW nach COCOMO II [82] ermittelt werden. Die eingestellten Parameter sind in Kapitel5 dargestellt.

Aufgestellte Kostenfunktion des Gesamtsystems:

Die Kosten des partitionierten Systems ergeben sich aus der Summe der

Einzel-kosten der verwendeten Funktionen (Gleichung3.47). Die Kosten einer Funktion werden wiederum aus der gewichteten Addition der im Vorfeld beschriebenen einzelnen Kostenfaktoren gebildet.

C_Ges=

N

X

i=0

a_C·(C_Pi+C_Ci) +b_C ·A_HWFi +r_ic_C ·P M_HWFi

(3.47) Mitr ∈ {0,1}wird angegeben, ob die Kosten einer Funktion in der Kostenfunkti-on als Hardwarerealisierung oder als Softwarerealisierung berücksichtigt werden.

Im Dokument Automatisierte Hardware-Software Partitionierung am Beispiel eines eingebetteten, echtzeitfähigen Stereobildanalysesystems in Kraftfahrzeugen (Seite 97-104)