Ergebnisse

Zylinderspule im freien Raum ohne Plasma

Zum Bewerten der elektromagnetischen Einkopplung wird zuerst das B-Feld der Zylinderspule aus Abb. 9.5 im freien Raum bei einem Spulenstrom von 1 Arms be-trachtet. Die Betrachtung ist in Abb. 9.6 in der Schnittebene x = 0 m illustriert.

Die nach oben abgeschnittenen Hügel entsprechen den einzelnen Windungen. Bei der Darstellung handelt es sich um einen Ausschnitt eines Simulationsgebiets der Größe 0,15 m x 0,15 m x 0,15 m. Das Feld ähnelt in erster Näherung dem einer langen Zylinderspule, für die vereinfachend angenommen wird, dass das H- und B-Feld im Inneren der Spule homogen und im Außenraum vernachlässigbar klein sind.

Kapitel 9 Elektromagnetische Einkopplung und die RF-Peripherie

Abbildung 9.6: B-Feld ohne Plasma und ohne Triebwerk im Schnitt bei x= 0 m Dementsprechend berechnet sich das B-Feld im Spuleninneren mit

B =µ₀I·N

l , (9.10)

wobeiN die Anzahl der Windungen undldie Spulenhöhe ist. Die Induktivität kann in Analogie zu Gl. (9.7) durch Umstellen von E = ¹₂I²L aus der Energie im Feld berechnet werden oder alternativ über den magnetischen Widerstand R_m = ^I·N_Φm, wobei Φm der magnetische Fluss ist. Es gilt¹:

L= 2E

I² = N²

R_m ≈µ₀N²A

l , (9.11)

wobei beide Ansätze zum äquivalenten Ergebnis führen und A die innere Fläche der Spule ist. Bei Verwendung des magnetischen Widerstandes wird angenommen, dass der Fluss Φm alle Windungen durchströmt. Das homogene B-Feld führt gemäß dem faradayschen Induktionsgesetz Gl. (4.33) zu dem E-Feld E~ = Brω~e_z, welches innerhalb der Spule über den Radius linear ansteigt. Dieses verursacht bei Anwesen-heit eines leitfähigen Materials eine Stromdichte und somit eine Leistungseinkopp-lung. Handelt es sich hierbei um Wirkleistung, macht sich dies im Ersatzschaltbild als Serienwiderstand bemerkbar. Hervorzuheben ist die Proportionalität zu N² in Gl. (9.11). Diese gilt aufgrund der Verknüpfung von B- und E-Feld auch für den Widerstand, sodass die Anzahl an Windungen es erlaubt, die Impedanzen bzw. das Verhältnis von Strom und Spannung des Triebwerks zu variieren.

Zylinderspule im Triebwerk ohne Plasma

Durch Einfügen der Triebwerksgeometrie ändert sich das Feld aus Abb. 9.6 wie in Abb. 9.7 dargestellt. Das in Abb. 9.7 dargestellte Triebwerks dient dazu, die Schnit-tebene bei x = 0 und die Raumrichtungen des Spulenstroms sowie der elektroma-gnetischen Felder zu illustrieren. Im Vergleich zu Abb. 9.6 kommt es in Abb. 9.7 zu

1 Zudem gilt auchL= _jωI^U .

136

9.3 Elektromagnetische Simulation

DIN A4 210 mm x 297 mm

\usepackage{geometry}

→ 𝐼

𝐼

𝐵 𝐸

Abbildung 9.7: B-Feld ohne Plasma mit Triebwerk im Schnitt bei x= 0 m einem abrupten Abfall des Feldes innerhalb der gut leitfähigen Materialien von Ge-häuse, Gaseinlass und Extraktionsgitter. Zudem ist das B-Feld im Bereich zwischen Spule und Gehäuse erhöht und im Inneren des Plasmas abgeschwächt. Die relativ starke Schirmwirkung kommt durch den bei der Frequenz von 1 MHz im Gehäuse stark ausgeprägten Skin-Effekt zustande. Aufgrund des Erhalts vom magnetischen Fluss muss der den Innenbereich der Spule (Bereich des Plasmas) durchströmende Teil im Außenbereich zurückfließen¹. Durch Einbringen der Triebwerksgeometrie re-duziert sich die Fläche des zurückfließenden magnetischen Flusses auf den Bereich zwischen der Spule und den metallenen Flächen. Dies erhöht den magnetischen Wi-derstand, sodass sich bei gleichem Spulenstrom eine geringere magnetische Fluss-dichte einstellt, als dies ohne Gehäuse der Fall wäre. Die Reduktion des B-Feldes lässt sich alternativ damit erklären, dass das induzierte E-Feld im Gehäuse Wirbel-ströme hervorruft, deren B-Feld dem anregendem B-Feld entgegenwirken. Aufgrund der Reichweite der Felder wird durch die Wirbelströme auch das Feld im Inneren der Spule (also im Plasma) reduziert. Das Gehäuse hat also nicht nur eine Schirmung nach außen, sondern auch eine Reduktion der Feldstärke im Inneren zur Folge.

Konkret wurde durch das Gehäuse die magnetische Flussdichte im Punkt bei x=y=z = 0 m von 0,000115 _m^Vs2 auf 0,000078 _m^Vs2 reduziert und die Feldabschwä-chung im kompletten Raum wirkt sich auf Schaltplanebene durch eine Reduktion der Induktivität von den 1,83 µH auf 1,38 µH aus. Das geringere B-Feld geht auch mit einem kleinerem E-Feld einher. Bei einer gegebenen Plasmaleitfähigkeit reduziert sich somit auch die im Plasma deponierte Wirkleistung, wodurch der Plasmawider-stand kleiner wird.

1 Anteile des magnetischen Flusses, die direkt zwischen den Windungen zurückfließen, werden zur Anschaulichkeit vorerst vernachlässigt.

Kapitel 9 Elektromagnetische Einkopplung und die RF-Peripherie

Abhängigkeit von der Plasmaleitfähigkeit

Verlauf des Plasmawiderstands R_P und der Triebwerksinduktivität L_T über den Realanteil der Plasmaleitfähigkeit Re{κ}: Zuerst wird der Fall Im{κ}= 0 betrachtet und es wird untersucht, wie sichR_PundL_T über den Realan-teil vonκ verhalten. Hierzu erfolgen mehrere Simulationen, in denen jeweils für das Plasma eine andere homogene Leitfähigkeit definiert wird. Die Simulationsergeb-nisse sind in Abb. 9.10 dargestellt. Variable R_p,linear beschreibt einen sich linear verhaltenden Plasmawiderstand. Für kleine Leitfähigkeiten führt der Skin-Effekt zu fast keiner Änderung vom B- und E-Feld. So lange dies gilt, bleibt L_T konstant und R_P nimmt linear mit der Leitfähigkeit zu. Letzterer Zusammenhang existiert, da eine Verdopplung der Leitfähigkeit zur doppelten Stromdichte im Plasma und somit zur doppelten deponierten Wirkleistung führt, welches bei gleichem Spulen-strom durch einen doppelt so großen Plasmawiderstand beschrieben wird. Um die-ses Verhalten zu illustrieren, wurde in Abb. 9.10a eine lineare Achsenskalierung gewählt. Das Verhalten von R_P und L_T über einen größeren Bereich der Leitfä-higkeiten ist semilogarithmisch in Abb. 9.10b dargestellt. Bei höherer Leitfähigkeit sinkt die Skin-Eindringtiefe λ_s (siehe Gl. (9.8)), die Felder werden aus dem Plas-mainneren verdrängt und die Leistungseinkopplung geschieht zunehmend nur noch am Plasmarand. Hierdurch ergibt sich ein Maximum des Plasmawiderstandes und für hohe Leitfähigkeiten fällt dieser ab. Mit Einsetzen der Feldveränderung beginnt auch ein Abfallen der Induktivität, da die magnetische Leistung im Plasmainneren gegen 0 läuft bzw. weil der magnetische Widerstand aufgrund der geringeren Durch-flutungsfläche steigt. Der Wert der Induktivität konvergiert gegen den Grenzfall, bei dem das Plasma komplett feldfrei ist.

10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 0

0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5

Abbildung 9.8: Änderung des Plasmawi-derstands durch den Skin-Effekt

Übergang zum nichtlinearen Ver-halten von RP und LT über Re{κ}: In Abb. 9.8 ist die Relati-on zwischen einem sich linear verhal-tenden Plasmawiderstand zu dem simu-lierten Plasmawiderstand mit Berück-sichtigung des Skin-Effekts dargestellt.

Die Leitfähigkeit bzw. die damit einher-gehende Skin-Eindringtiefe λ_s, ab der das Verhalten von einem linearen in ein nichtlineares übergeht, hängt vom Innendurchmesser der Ionisierungskam-mer (Durchmesser des Plasmas) ab. Die untersuchte Ionenquelle verhält sich, so-langeλ_s ≥ ^√R

2 gilt, etwa linear, wobeiR der Radius des Plasmas ist. Beiλ_s= ^√R₂ giltσ ≈1100 S und der simulierte Plas-mawiderstand beträgt etwa⁷/8 des Wer-tes, der bei einem linearen Verhalten zu erwarten wäre. Durch den Skin-Effekt

ist der Plasmawiderstand bei λ_s = ^√R₂ bzw. bei σ ≈ 1100 S, also um ca. ¹/8 ge-genüber einem linearen Verhalten abgefallen. Mit steigendem Plasmaradius bei

grö-138

9.3 Elektromagnetische Simulation

Abbildung 9.9: B-Feld mit Plasma und Triebwerk im Schnitt beix= 0 m bei einer Plasmaleitfähigkeit von 10.000 S

0 200 400 600 800 1000 0

0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5

(a) Teilbereich von Re{κ} linear skaliert

10⁰ 10² 10⁴ 10⁶ 10⁸ 0

0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5

(b) Re{κ} logarithmisch skaliert Abbildung 9.10: R_P und L_T über Re{κ} für Im{κ}= 0 bei f = 1 MHz

Kapitel 9 Elektromagnetische Einkopplung und die RF-Peripherie

ßeren Triebwerken macht sich der Skin-Effekt bereits bei niedrigeren Leitfähigkeiten bemerkbar. Zur Illustration des Skin-Effekts ist die Feldverdrängung exemplarisch in Abb. 9.9 dargestellt. Hier ist das B-Feld der Spule mit Triebwerk und einem Plas-ma der homogenen PlasPlas-maleitfähigkeit κ_P = 10.000 S dargestellt. Im Vergleich zu Abb. 9.7 dringt das B-Feld in Abb. 9.9 nicht mehr so stark in das Plasma ein und ist räumlich eher auf einen schmalen Bereich am Rand des Plasmas begrenzt.

Verlauf vonR_P und L_T über Re{κ} und Im{κ}: Abbildung 9.11 stellt R_P undLT über den Real- und Imaginäranteil vonκdar. Zunehmender Imaginäranteil von κ sorgt dafür, dass die Skin-Eindringtiefe bei gleicher Frequenz sinkt. Dies hat mit zunehmendem Betrag des Imaginäranteils eine Reduktion von R_P und L_T zur Folge.

Abhängigkeit von der Geometrie

Bezüglich der Geometrieabhängigkeit sei erwähnt, dass die leitfähigen Flächen der Triebwerksstruktur den magnetischen Fluss behindern und somit, wie in diesem Abschnitt bereits diskutiert, zu einer Reduktion von Plasmawiderstand und Trieb-werksinduktivität sorgen. Zudem sei erwähnt, dass eine Änderung der GeometrieRP

und L_T in unterschiedlichem Maße beeinflussen kann. Als Beispiel sei hier eine Zy-linderspule ohne Triebwerksgeometrie, aber mit Plasma betrachtet. Durch Erhöhen des Spulendurchmessers steigt die Induktivität an, während der Plasmawiderstand sinkt. Letzteres liegt daran, dass bei der realen Zylinderspule das B-Feld im Inneren nicht homogen ist, sondern in der Nähe der Windungen am stärksten ist und nach innen hin abnimmt.

(a) Plasmawiderstand über den Real- und Imaginäranteil der Plasmaleitfähgkeit

0,6 0 0,8 1,0 LT,µH

1,2 1,4

Im{κ}, S

-50·10³ 100·10³ Re{κ}, S

50·10³ -100·10³ 0

(b) Triebwerksinduktivität über den Real-und Imaginäranteil der Plasmaleitfähg-keit

Abbildung 9.11: RP und LT über Re{κ} für Im{κ}= 0 S bei f = 1 MHz

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