Elektronentemperatur

10.3.1 Verhalten des Erzeugungs- und Verlustterms einfach geladener Ionen

Allgemeines: Die Elektronentemperatur Te = f(n0) ergibt sich für das Sys-tem einfach geladener Ionen durch Lösen der Teilchenerhaltungsgleichung gemäß Gl. (5.22). Hierzu ist die jeweilige Elektronentemperatur zu finden, bei der die im Plasmavolumen pro Zeiteinheit erzeugte Anzahl von Ionen ˙N₀⁺ gleich der an der Plasmaoberfläche pro Zeiteinheit verlorenen Anzahl an Ionen Γ+ ist. Die Berech-nung beider Größen wird in Abschnitt 6.4 mit Gl. (6.6) und (6.9) beschrieben. Die Simulation erfolgt mit einem Initialwertn⁰₋bzw.n⁰₊. Um das Verhalten vonT_ezu be-schreiben, wird in Abb. 10.4 zuerst das Verhalten der simulierten Variablen ˙N₀⁺ und Γ+ über T_e für verschiedene n₀ illustriert. Hierbei werden die Ergebnisse zur Dar-stellung auf die Elektronendichte im Plasmazentrumn−normiert. Dementsprechend ist Abbildung 10.4a so zu lesen, dass bei einer Elektronendichte von 1^Elektron/m³ und einer Neutralteilchendichte von 1019 Neutralteilchen/m³ bei T_e = 5 eV etwa 3 Ionen pro Sekunde im Plasmavolumen erzeugt werden.

Verhalten der im Plasmavolumen pro Zeiteinheit erzeugten Ionen N˙₀⁺: Die Verlaufsform von ˙N₀⁺ lässt sich auf die drei folgenden Bestandteile in Gl. (6.6) zurückführen, wobei der erste die Abhängigkeit vonT_e und die beiden anderen die von n₀ beschreiben:

1.) Eine Multplikation mit dem RatenkoeffizientK₀⁺, dessen Abhängigkeit von T_e in Abb. 4.5 dargestellt ist.

2.) Eine lineare explizite Abhängigkeit von n₀, da bei einer höheren Neutralteil-chendichte mehr Teilchen für die Elektronen zum Stoßen zur Verfügung stehen.

3.) Eine Abhängigkeit von dem in Abschnitt 4.8 eingeführtem Profil für die Ionen-und Elektronendichte, da dieses die Anzahl an Elektronen beeinflusst, die für ein gegebenes n− im Plasma vorliegen. Durch die Abhängigkeit des Profils von n₀ ergibt sich eine implizite Abhängigkeit von dieser Variablen, wobei der Einfluss von Punkt 2 auf ˙N_+,p gegenüber dem von Punkt 3 dominant ist.

Verhalten der an der Plasmaoberfläche pro Zeiteinheit verlorenen Ionen Γ+: Für die Abhängigkeit von Γ+ über T_e gilt Γ+ ∼v_B ∼√

T_e, wie in Abb. 10.4b ersichtlich. Im Vergleich zu ˙N₀⁺ entfällt die explizite Abhängigkeit von der Neu-tralgasdichte, es bleibt jedoch die implizite Abhängigkeit aufgrund der Änderung des Ionen- und Elektronendichteprofils. Diese nichtlineare Abhängigkeit beschreibt, dass der Elektronen- und Ionenfluss aus dem Plasma zur Wand durch Stöße mit Neutralteilchen behindert wird. Dies macht sich erst bei größeren Neutralgasdichten bemerkbar und sorgt gemäß des Dichteprofils für ein Abfallen der Elektronen- und Ionendichte am Rand, wodurch auch Γ+ sinkt. Wie in Abb. 10.4b dargestellt, ist Γ+

im Unterschied zu ˙N₀⁺ für n₀ ≤ 1019 Neutralteilchen/m³ weitestgehend unabhängig von n₀.

150

10.3 Elektronentemperatur

0 2,5 5,0 7,5 10

T_e, eV 0

2 4 6 8 10

˙N

+ o , n−

Ionen s Elektronen m3

no = 10¹⁶ _m^#3

no = 10¹⁷ _m^#3

n_o = 10¹⁸ _m^#3

no = 10¹⁹ _m^#3

n_o = 10²⁰ _m^#3

(a) Normierter Fluss der erzeugten Ionen

0 2,5 5,0 7,5 10

T_e, eV 0

2 4 6 8 10

Γ+ n−,

Ionen s Elektronen m3

n_o = 10¹⁶ _m^#3

no = 10¹⁷ _m^#3

n_o = 10¹⁸ _m^#3

no = 10¹⁹ _m^#3

n_o = 10²⁰ _m^#3

(b) Normierter Fluss der verlorenen Ionen Abbildung 10.4: Erzeugungs- und Verlustflüsse der Ionen über die

Elektronentem-peratur

10.3.2 Untersuchung des Lösungsraums

Mögliche Lösungen und wie diese zu Stande kommen: Durch Verwendung des entkoppelten Lösungsverfahrens wird das Lösen vonT_e auf ein eindimensionales Problem reduziert, sodass relativ einfach Aussagen über den Lösungsraum getroffen werden können. Hierzu ist die Funktion ˙N₀⁺−Γ+ normiert überT_ein Abb. 10.5b für verschiedenen₀dargestellt. Als Referenzfall wirdn₀ = 2,1·10¹⁸ Neutralteilchen/m³ betrachtet, wobei 3 Lösungen für T_e bei den jeweiligen Nullstellen T_e = 0 eV, T_e = 50 eV und T_e = 77 eV vorliegen. Die erste Lösung liegt bei T_e= 0 eV, da dort ˙N₀⁺ = Γ+ = 0 Teilchen/s gilt. Zwischen der ersten und zweiten Nullstelle ist das Verhalten gemäß Abb. 10.4a und Abb. 10.4b relevant. Die Verlustterm (Abb. 10.4b) weist aufgrund der Wurzelabhängigkeit bei kleinemT_e eine hohe Steigung ∂Γ+/∂T_e auf, welche zu höheren T_e abflacht, während der Erzeugungsterm (Abb. 10.4a) sich genau umgekehrt verhält. Bei kleinen T_e haben die meisten Elektronen nicht die notwendige Ionisationsenergie und erst ab ca. 2 eV beginnt sich dies zu ändern und ∂N˙₀⁺/∂T_e nimmt rapide zu. Aufgrund dieser Verläufe wird ˙N₀⁺ −Γ+ auf dem Weg von der ersten zur zweiten Nullstelle zuerst negativ, steigt dann jedoch wieder an. Der Anstieg kommt zustande, da bei hohen T_e der Erzeugungsterm im Ver-gleich zum Verlustterm zunehmend überwiegt. Die dritte Nullstelle existiert, wie in Abb. 10.5a dargestellt, aufgrund des mit hoher Elektronentemperatur wieder fallenden Erzeugungsterms. Diesem Sachverhalt liegt der mit hohen Elektronen-temperaturen fallende Wirkungsquerschnitt zugrunde. Für das physikalische Ergeb-nis ist die zweite Nullstelle relevant. Um diese zu erhalten, wird mit dem in Ab-schnitt B.1.3 beschriebenen Verfahren der Raum, in dem nach der Lösung gesucht wird, auf 0,0001 eV≤T_e≤60,0 eV begrenzt.

Kapitel 10 Ergebnisse und Diskussion, gemäß des entkoppelten Lösungsansatzes

0 250 500 750 1000 T_e, eV

0 200 400 600 800 1000

˙N

+ o , n−

Ionen s Elektronen m3

no= 10¹⁶ _m^#3

n_o= 10¹⁷ _m^#3

n_o= 10¹⁸ _m^#3

no= 10¹⁹ _m^#3

n_o= 10²⁰ _m^#3

(a) Normierter Fluss der verlorenen Ionen bis Te= 1000 eV

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100 T_e, eV

-6 -4 -2 0 2 4 6

˙N

+ o−Γ+ , n−

Ionen s Elektronen m3

no = 2,0·10¹⁸ _m^#3

no = 2,1·10¹⁸ _m^#3

n_o = 1,0·10¹⁹ _m^#3

Nullstellen von n_o = 2,1·10¹⁸ _m^#3

(b) Normierte Differenz des Erzeugungs- und Verlustflusses

Abbildung 10.5: Darstellungen bezüglich möglicher Lösungen vonT_e

10¹⁸ 10¹⁹ 10²⁰

n0, _m¹3

0 10 20 30 40 50 60

Te,eV

Nicht lösbarer Bereich Lösbarer Bereich

Abbildung 10.6: Te über n0

Verhalten der Elektronentempera-tur T_e über die Neutralgasdich-te n₀: Zusätzlich zu den möglichen Lösungen soll der Verlauf der Elek-tronentemperatur über der Neutralgas-dichte diskutiert werden. Hierzu ist T_e = f(n₀) entsprechend der zweiten Nullstelle in Abb. 10.6 dargestellt. Es lässt sich eine Unstetigkeitsstelle bei n₀ ≈2,0·1018 Neutralteilchen/m³ erkennen.

Für kleinere Werte existiert keine Lö-sung von T_e. An dieser Stelle weist T_e ein Maximum von ca. 60 eV auf. Bei hö-heren n₀ sinkt T_e mit steigender Neu-tralgasdichte ab.

Um die Verlaufsform zu erklären, ist das Verhalten der Erzeugungs- und

Verlust-terme, bzw. deren Differenz, über n₀ zu betrachten. Da sich ˙N₀⁺ bei Variati-on vVariati-on n₀ stärker ändert als Γ+, wird letzteres für die Diskussion vereinfachend als unabhängig von n₀ betrachtet. Wie mit der blauen Linie in Abb. 10.5b für n₀ = 2,0 ·1018 Neutralteilchen/m³ dargestellt, existiert die zweite Nullstelle für klei-ne n₀ nicht. Dies liegt daran, dass aufgrund der geringen Neutralgasdichte selbst bei einem beliebigen Erhöhen vonT_e niemals so viele Ionen erzeugt werden können, wie verloren gehen. Beim Erhöhen vonn₀ steigt ˙N₀⁺, wodurch die Differenzfunktion N˙₀⁺−Γ+ nach oben verschoben wird. Die Höhe der Verschiebung ist aufgrund des Ratenkoeffizienten von T_e abhängig. Durch das Anheben von n₀ und somit auch der Differenzfunktion bildet sich zuerst ein gemeinsamer Nullpunkt der zweiten und dritten Lösung bei ca. 60 eV aus, der sich später in zwei Lösungen aufteilt. Die

152

10.3 Elektronentemperatur

Zweite bewegt sich, wie bei der gelben Linie für n₀ = 1,0·1019 Neutralteilchen/m³ er-sichtlich, bei steigendenn₀ hin zu kleinerenT_e, wodurch das Verhalten in Abb. 10.6 rechts von der Unstetigkeitsstelle beschrieben wird. Die dritte Nullstelle bewegt sich stattdessen mit steigendem n₀ hin zu größeren Werten von T_e.

Physikalische Interpretation: Der Anstieg von T_e bei Reduktion von n₀ lässt sich auch ausgehend von einem Arbeitspunkt physikalisch diskutieren. Beim Sin-ken vonn₀ stehen weniger Neutralteilchen als Kollisionspartner zur Verfügung und N˙₀⁺/n₋ sinkt. Gleichzeitig steigt Γ+/n₋ leicht an, da die Verlustflüsse weniger stark durch Ionen-Neutralteilchen-Stöße behindet werden. Um wieder einen Gleichge-wichtszustand zu erreichen, muss die Elektronentemperatur steigen, um den Raten-koeffizienten zu erhöhen. Hierbei steigt zwar auch Γ+/n₋ leicht an, aber der Anstieg von ˙N₀⁺/n− ist größer. Im neuen Arbeitspunkt sind ˙N₀⁺/n− und Γ+/n− höher als vorher.

10.3.3 Ergebnisse

Der VerlaufT_e =f( ˙m_p), der Elektronentemperatur über dem Eingangsmasssenfluss

˙

m_p, ist in Abb. 10.7 dargestellt. Dieser entsprichtT_e =f(n₀) gemäß Abb. 10.6, wobei die mathematische Abbildung nicht über n₀ sondern über ˙m_p geschieht. Das ent-spricht einer Skalierung der Abszisse vonT_e =f(n₀) mit der Funktion n₀ =f( ˙m_p).

Ein Ändern vonI_b verschiebt die FunktionT_e=f(n₀) nach links bzw. rechts. Eine Variation der Geradensteigung von n₀ = f( ˙m_p) staucht bzw. streckt die Abszisse, der Funktion T_e = f( ˙m_p), rechts der roten Linie. Eine Reduktion des Neutralga-stranmissionskoeffizienten streckt die Abszisse, sodass sich bei gleichem ˙m_p eine geringere Elektronentemperatur ergibt. Wie später ersichtlich sein wird, führt dies im Bereich nahe der roten Linie zu einer Steigerung der elektrischen Effizienz.

Abbildung 10.7: Elektronentemperatur Te über den Eingangsmassenfluss ˙mp

Kapitel 10 Ergebnisse und Diskussion, gemäß des entkoppelten Lösungsansatzes

10.3.4 Abhängigkeit von der Triebwerksgeometrie

Zusätzlich zu den in Abschnitt 10.3.2 genannten Abhängigkeiten hängen Γ+ und N˙₀⁺ auch von der Geometrie ab, in der sich das Plasma befindet. Zusätzlich zu τ₀ undT₀ kannT_e auch durch die Form der Ionisationkammer und des Extraktionssys-tems beeinflusst werden. Konkret steigt ˙N₀⁺ tendenziell mit dem Volumen und Γ+

mit der Oberfläche. Eine Betrachtung des relevanten Schnittpunktes in Abb. 10.4 liefert, dass T_e sinkt, wenn das Verhältnis von Plasmavolumen zu Plasmaoberflä-che vergrößert wird. Zu einer solPlasmaoberflä-chen Veränderung kommt es beim Einsatz einer größeren Ionisationskammer.

Im Dokument Der Modellierungsprozess und die Auslegung eines Radiofrequenz-Ionentriebwerks : ein Simulationstool zur Untersuchung des Plasmas, der Ionenoptik, der induktiven Leistungseinkopplung und der Hochfrequenzgenerierung sowie deren verkoppelten Verhaltens (Seite 194-198)