3.4 Numerische Aspekte
3.4.4 Die Rücktransformation
3.4.4.1 Approximationsfehler der Rücktransformation 44
jede beliebige Grenze drücken lässt. Das Verfahren und seine Auswirkungen werden in Abbildung 3.4 gezeigt.
Das gleiche Problem existiert im Frequenzbereich, wenn ψ dort keinen kompakten Träger hat, was wiederum durch explizites Upsampling des Si-gnals behoben werden kann. Dieses lässt sich einfach dadurch bewerkstelli-gen, dass diediskrete Fouriertransformation des Signals um zusätzliche hohe Frequenzen mit Amplitude 0 ergänzt und dann rücktransformiert wird. Das Verfahren und seine Auswirkungen werden in Abbildung 3.5 gezeigt.
Beide Lösungen erhöhen die Rechenzeit mit dem jeweiligen Upsampling-bzw. Periodisierungsfaktor, so dass sich schnell große Geschwindigkeitsein-bußen einstellen können.
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Amplitude
Zeit
’1 Periode’
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Amplitude
Zeit
’4 Perioden’
(a) Oben das ursprüngliche Testsignal, unten das Testsignal vierfach periodisiert.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0 5 10 15 20 25 30 35
Amplitude
Frequenz
1 Periode 4 Perioden
(b) Ausschnitt aus den FFT-Spektra der beiden Signale: Durch die Periodisierung werden zusätzliche Frequenzen erzeugt, deren Am-plitude 0 ist. Wichtig ist dabei, dass die zusätzlich erzeugten Fre-quenzen auch die tiefsten Frequenzen beinhalten und damit außer dem Mittelwert (Frequenz 0) nun auch die drei nächsten Frequenzen Amplitude 0 haben.
Abbildung 3.4: Auswirkung der Periodisierung eines Signals auf das mit der FFT gewonnene Spektrum. Bei der Periodisierung ändert sichnur die Länge des Signals, nicht aber die Abtastfrequenz.
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
0 20 40 60 80 100
Amplitude
Zeit
Originale Abtastung 4-faches Upsampling
(a) Testsignal im Original und nach 4-fachem Upsampling. Mit der Abtastfrequenz vervierfacht sich auch die Zahl der Datenpunkte, al-lerdings werden die ursprünglichen Abtastwerte immer noch inter-poliert.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Amplitude
Frequenz
"Spektrum original"
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Amplitude
Frequenz
"Spektrum nach Upsampling"
(b) FFT-Spektra des originalen und des durch Upsampling erzeug-ten Signals: Nach dem Upsampling bleiben die Originalfrequenzen erhalten, aber es werden dreimal so viele hohe Frequenzen der Am-plitude 0 hinzugefügt.
Abbildung 3.5: Auswirkung des Upsamplings eines Signals auf das mit der FFT gewonnene Spektrum. Beim Upsampling ändern sich die Abtastfrequenz und die Zahl der Abtastpunkte,nicht aber die zeitliche Dauer des Signals.
obenS⊥ und S⊤ gegeben. Für analytische und reelle Wavelets gilt nach den Sätzen 3 und 5 die folgende Rekonstruktionsformel, die in der Praxis mit den angegebenen Fehlern behaftet ist:
f(t) = 2 cψℜ
(∫ ∞
0
∫
Wψf(s, u)ψs(t−u) duds s2
)
= c2
ψℜ(∫S⊥ 0
∫ . . . dudss2
)
(Abschneidefehler) + c2
ψℜ(∫S⊤ S⊥
∫ . . . dudss2
)
(Quadraturfehler) + c2
ψℜ(∫∞
S⊤
∫ . . . dudss2
)
(Abschneidefehler).
3.4.4.2 Der Einfluss der verwendeten Quadraturformel
Bei der Abschätzung von Quadraturfehlern spielen die Ableitungen des In-tegranden eine große Rolle. So gilt nach [DR67, Formel 4.5.3] für den Fehler interpolatorischer Quadraturformeln, die Polynome bis zum Gradn−1exakt integrieren, Integranden f(s)∈Cn[S⊥, S⊤] und S⊥ =s1 < s2 <· · · < sn = S⊤ zum Beispiel
E(f) = f(n)(ξ) n!
∫ S⊤
S⊥
∏n k=1
(s−sk) ds,
mit ξ ∈[S⊥, S⊤], also gilt für dessen Betrag
|E(f)| ≤ maxξ∈[S⊥,S⊤]f(n)(ξ) n!
∫ S⊤
S⊥
∏n k=1
(s−sk) ds
. (3.9) Um für eine gegebene Quadraturformel den Quadraturfehler in Skalen-richtung bestimmen zu können, wird es also nötig, die Ableitungen der Wave-lettransformierten in Skalenrichtung zu bestimmen, was in den folgenden bei-den Abschnitten erfolgt. Die Untersuchung wird einige interessante Zusam-menhänge zwischen den Momentenfunktionen der Ableitungen des Wavelets und der Ableitung der Wavelettransformierten zu Tage bringen, allerdings wird man in der Praxis meist nicht umhin können, das Maximum der Ablei-tung numerisch zu bestimmen, falls eine Abschätzung des Quadraturfehlers gewünscht ist.
Da im Kontext reeller und analytischer Wavelets ohnehin nur positive Skalen Verwendung finden, werden im Folgenden die Sätze 19 und 20 nur für s≥0 bewiesen, um eine umständliche Behandlung von |s|−1/2 zu umgehen.
3.4.4.3 Der Quadraturfehler im Zeitbereich
Da für die numerische Umsetzung der Waveletsynthese Geschwindigkeit der zentrale Punkt ist, soll für die Rekonstruktion im Zeitbereich hier nur auf die schnelle Synthese nach Bemerkung 6 eingegangen werden, da die traditionelle Rekonstruktion nach den Sätzen 3 und 5 noch langsamer ist als die unten vorgestellte Rekonstruktion im Frequenzbereich, was sie nahezu unbrauchbar ist.
Um den Quadraturfehler abschätzen zu können wird es nötig, Ableitungen
∂n
∂snWψf(s, u)
der Wavelettransformierten in Skalenrichtung zu betrachten, und zwar zu-nächst ohne die Normierungsgröße 1/√
s. Sei dazu Vψf(s, t) :=
∫
R
f(τ)·ψ
(τ −t s
) dτ.
Für die ersten beiden Ableitungen gilt dann:
∂
∂sVψf(s, t) = ∂
∂s
∫
R
f(τ)·ψ
(τ −t s
) dτ
=
∫
R
f(τ)· ∂
∂sψ
(τ −t s
) dτ
=
∫
R
f(τ)· (
−s−2(τ −t)ψ′
(τ−t s
)) dτ
und
∂2
∂s2Vψf(s, t)
= ∂
∂s
∫
R
f(τ)· (
−s−2(τ−t)ψ′
(τ −t s
)) dτ
=
∫
R
f(τ)· ∂
∂s (
−s−2(τ−t)ψ′
(τ −t s
)) dτ
=
∫
R
f(τ)· (
2s−3(τ−t)ψ′
(τ −t s
)
+s−4(τ−t)2ψ′′
(τ−t s
)) dτ,
Es ergeben sich also Korrelationen des Signals mit den Momentenfunk-tionen der Ableitungen des Wavelets und die Ausdrücke werden schnell recht kompliziert. Insbesondere ergibt sich eine besondere Struktur der Vorfakto-ren, die sich aus den so genannten Lah-Zahlen ergeben.
Definition 26 Für m, n∈Nsei die Lah-Zahl l(m, n) definiert durch l(n, m) := (n−1 +m)l(n−1, m) +l(n−1, m−1) mit l(0,0) = 1, l(n,0) = 0 und l(n, m) = 0∀n < m∨n <0∨m <0.
Lemma 5 [Del04] Für alle m, n ∈ N hat die Zahl l(n, m) die geschlossene Darstellung
l(n, m) = n!
m!
(n−1 m−1
) .
Allgemein ergibt sich für die n-te Ableitung das folgende Ergebnis:
Lemma 6 Sei n∈N, dann gilt
∂n
∂sn (
ψ
(τ−t s
))
= (−1)n
∑n m=0
l(n, m)·(τ −t)mψ(m)(τ−t
s
)
sm+n .
Beweis Vollständige Induktion nach n : Sei n = 0, dann gilt
∂0
∂s0ψ
(τ −t s
)
= (−1)0
∑0 m=0
l(n, m)·s−(m)(τ −t)mψ(m)
(τ −t s
)
= l(0,0)·ψ(0)
(τ −t s
)
= ψ
(τ−t s
)
Sei nun n∈N beliebig und die Formel für n−1 schon gezeigt, dann gilt
∂
∂s
( ∂n−1
∂sn−1ψ
(τ −t s
))
= (−1)n−1
n−1
∑
m=0
l(n−1, m)· ∂
∂s
((τ−t)mψ(m)(τ−t
s
) sm+n−1
)
= (−1)n−1
n−1
∑
m=0
l(n−1, m)· (
−(m+n−1)s−(m+n)(τ −t)mψ(m)
(τ−t s
) + s−(m+n−1)· −s−2(τ −t)m+1ψ(m+1)
(τ −t s
))
= (−1)n
n−1
∑
m=0
l(n−1, m)· (
(m+n−1)s−(m+n)(τ−t)mψ(m)
(τ −t s
) + s−(m+n+1)·(τ−t)m+1ψ(m+1)
(τ−t s
)) .
In dieser Summe lassen sich nun die Terme zur Ableitungψ(m) in Abhängig-keit von m wie folgt zusammenfassen:
1. m=n−1 :In der Summe kommt dafür nur der Term l(n−1, n−1)· (τ −t)m+1ψ(m+1)(τ−t
s
)
sm+n+1 = (τ −t)nψ(n)(τ−t
s
) s2n
vor, was dem entsprechenden Term aus der Behauptung entspricht, denn es istl(n−1, n−1) = 1,insbesondere enthält dies auch den Fall m= 0, n = 1.
2. 0≤m < n−1 :Hier ist die Situation etwas komplizierter, denn für die Ableitungψ(m) finden sich nun in der Summe zwei Terme:
l(n−1, m)·(m+n−1)s−(m+n)(τ −t)mψ(m)
(τ−t s
) + l(n−1, m−1)·s−(m+n)·(τ−t)mψ(m)
(τ −t s
)
=
(τ−t)mψ(m)(τ−t
s
)
sm+n l(n, m).
Auch dies entspricht der Behauptung und somit ist alles gezeigt.
Definition 27 Zu n ∈Nsei die Doppelfakultät definiert durch n!! =
{ n·(n−2). . .2 für n gerade n·(n−2). . .1 fürn ungerade . Satz 19 Sei n∈N, dann ist für s ≥0
∂n
∂snψs(τ−t) = (−1)n
∑n k=0
(n k
)∑k
m=0
l(k, m)· (2 (n−k)−1)!!
2n−k·s2n+m−k+1/2 ·(τ−t)mψ(m)
(τ −t s
) .
Beweis Nach Definition istψs(τ −t) = ψ(τ−t
s
)·s−1/2und durch Anwenden der Leibniz-Regel ergibt sich zunächst
∂n
∂snψ
(τ −t s
)
·s−1/2
=
∑n k=0
(n k
) ∂k
∂skψ
(τ−t s
)
· ∂n−k
∂sn−ks−1/2
=
∑n k=0
(n k
) ∂k
∂sk (
ψ
(τ−t s
))
·
n−∏k−1 l=0
−2l+ 1
2 ·s−2(n−k)+12
=
∑n k=0
(n k
) ∂k
∂sk (
ψ
(τ−t s
))
·
∏n−k−1
l=0 (2l+ 1)
(−2)n−k ·s−2(n−2k)+1. Einsetzen nach Lemma 6 und Definition 27 liefert dann weiter
∑n k=0
(n k
) ∂k
∂sk (
ψ
(τ−t s
))
·
∏n−k−1
l=0 (2l+ 1)
(−2)n−k ·s−2(n−k)+12
=
∑n k=0
(n k
) (−1)k
∑k m=0
l(k, m)· (τ−t)mψ(m)(τ−t
s
) sm+n
·
∏n−k−1
l=0 (2l+ 1)
(−2)n−k ·s−2(n−2k)+1.
=
∑n k=0
(n k
)∑k
m=0
l(k, m)·(τ−t)mψ(m)
(τ −t s
)
· (−1)k (−1)n−k
∏n−k−1
l=0 (2l+ 1)
2n−k ·s−(2(n−2k)+1+m+n)
= (−1)n
∑n k=0
(n k
)∑k
m=0
l(k, m)· (2 (n−k)−1)!!
2n−k·s2n+m−k+1/2
·(τ −t)mψ(m)
(τ −t s
)
.
Dies erlaubt es endlich, die gewünschte Ableitung der Wavelettransfor-mierten zu berechnen:
Korollar 5 Sei ψ ein Wavelet, f ein L2-Signal, n ∈ N0 und s ≥ 0.Wenn
∂n
∂snWψf(s,·) existiert, so hat es die Form
∂n
∂snWψf(s, t) = (−1)n
∫
R
f(τ)·
∑n k=0
(n k
)∑k
m=0
l(k, m)· (2 (n−k)−1)!!
2n−k·s2n+m−k+1/2 ·(τ−t)mψ(m)
(τ −t s
) dτ.
Beweis Einsetzen nach dem vorangehenden Satz liefert
∂n
∂snWψf(s, t) = ∂n
∂sn
∫
R
f(τ)ψ
(τ −t s
)
s−1/2dτ
=
∫
R
f(τ) ∂n
∂sn (
ψ
(τ −t s
) s−1/2
) dτ
=
∫
R
f(τ)·(−1)n
∑n k=0
(n k
)∑k
m=0
l(k, m)· (2 (n−k)−1)!!
2n−k·s2n+m−k+1/2 ·(τ−t)mψ(m)
(τ −t s
) dτ.
Generell können Wavelettransformierte im Bereich kleiner Skalen beliebig rauh werden:
Lemma 7 Sei ψ ∈ L∞ ein Wavelet. Ist Wψψ(s, t)stetig in s, dann existiert für alle r >0 ein S >0, für das ∂s∂Wψψ(S, t) = r/2.
Beweis Seienr,s >˜ 0und f :=r·ψs˜.In jedem Punktt∈Ristf(t) zumin-dest lipschitzstetig vom Grad0.Daher liefert Satz 8, dasslims→0Wψf(s, t) = 0. Außerdem gilt Wψf(˜s,0) = r∥ψ∥22 = r und da nach Voraussetzung Wψψ(s, t) stetig in s ist, existiert nach dem Mittelwertsatz der Differenti-alrechnung ein S ∈(0,s]˜ , so dass ∂
∂sWψf(S,0)=r/2.
Es bleibt nun die Frage, für welche Wavelets sich mit den gewonnenen Abschätzungen punktweise Aussagen über die Qualität der Approximation treffen lassen. Das entscheidende Kriterium dafür ist die punktweise Existenz der Faltungen mit den Momentenfunktionen. Für einige wichtige Klassen von Wavelets lässt sich diese Existenz sofort belegen.
Lemma 8 Sei f ∈ L2(R) beschränkt und sei ψ ∈Cn ein Wavelet mit kom-paktem Träger, dann existiert Wψ(k)f(·, t) ∀k ∈ {0, . . . , n} für alle t∈R.
Beweis Da ψ selbst kompakten Träger hat, haben auch alle seine Ableitun-gen kompakten Träger und darüber hinaus sind weAbleitun-gen ihrer Stetigkeit die ψ(n) beschränkt für alle 0≤k ≤n. Es folgt, dass für beliebiges t∈R
∫
R
f(τ) (τ−t)kψ(k)
(τ−t s
)
dτ =
∫
suppψ(k)s,t
f(τ) (τ −t)kψ(k)
(τ −t s
)
≤ max
ξ∈suppψs,t(k)
f(ξ)ψs,t(k)(ξ)
·
∫
suppψ(k)s,t
(τ −t)k dτ
< ∞.
Also existieren alle Summanden in Lemma 6 und damit nach Satz 19 auch
Wψ(k)f(·, t) ∀k ∈ {0, . . . , n}.
Man könnte nun eine erste Abschätzung für den Quadraturfehler in Ska-lenrichtung angeben, indem man die Ableitung der Wavelettransformierten aus Korollar 5 in Gleichung 3.9 einsetzt; allerdings scheint das Auffinden des Maximums eines solch komplizierten Ausdrucks kaum praktikabel.
Für schnell fallende Wavelets und beschränkte Signale sieht es allerdings deutlich besser aus, denn es gilt der folgende Satz:
Lemma 9 Seien m, n∈N, m≥ 2, f ∈ L2(R) beschränkt und sei ψ schnell fallend vom Grad n, dann existiert Wψ(k)f(·, t) ∀k ∈ {0, . . . , n}.
Beweis Im Vergleich zum vorigen Lemma lässt sich hier eine deutlich bes-sere Abschätzung angeben:
Sei k ∈ {0, . . . , n} und M := maxx∈R|f(x)|, dann gilt nach Definition 15 mit einer geeigneten Abfallkonstante Dk∈R+ :
∫
R
f(τ) (τ−t)kψ(k)
(τ−t s
) dτ
≤
∫
R
f(τ) (τ−t)kψ(k)
(τ−t s
) dτ
≤ M
∫
R
(τ−t)kψ(k)
(τ−t s
) dτ
≤ M
∫
R
(τ−t)k Dk (
1 +|τ −t|k+m) dτ
≤ M ·Dk
∫
R
|τ|k (
1 +|τ|k+m)dτ
≤ M ·Dk
∫
R\[−1,1]
|τ|k (
1 +|τ|k+m)dτ +M ·Dk
∫
[−1,1]
1dτ
≤ M ·Dk (
2 +
∫
R\[−1,1]
1
|τ|m dτ )
= 2M ·Dk· ( m
m−1 )
.
Damit folgt nun endlich eine Abschätzung für den Term, der in Gleichung 3.9 den wesentlichen Beitrag liefert. Hierbei ist jedoch zu bedenken, dass es nicht besser sein muss,mgroß zu wählen, da dieDkwieder vonmabhängen.
Korollar 6 Seien m, n∈N, m≥2, f ∈ L2(R)beschränkt und sei ψ schnell fallend vom Grad n, dann gilt mit M und Dk wie im vorigen Lemma, dass sich der Term maxx∈[S⊥,S⊤]f(n)(s) in Gleichung 3.9 folgendermaßen ab-schätzen lässt:
max
s∈[S⊥,S⊤]
∂n
∂snWψf(s, t)
≤ 2M m m−1
∑n k=0
(n k
)∑k
j=0
l(k, j)· (2 (n−k)−1)!!
2n−k·(S⊤)2n+j−k+1/2Dk.
Beweis Einsetzen der Abschätzung aus dem vorhergehenden Lemma in Ko-rollar 5 liefert
M˜S⊥,m,n := max
s∈[S⊥,S⊤]
∂n
∂snWψf(s, t)
≤ max
s∈[S⊥,S⊤]2M m m−1
∑n k=0
(n k
)∑k
m=0
l(k, m)· (2 (n−k)−1)!!
2n−k·s2n+m−k+1/2Dk
= 2M m
m−1
∑n k=0
(n k
)∑k
j=0
l(k, j)· (2 (n−k)−1)!!
2n−k·(S⊥)2n+j−k+1/2Dk. Man kann nun M˜S⊥,m,n in Gleichung 3.9 einsetzen und erhält bei einer interpolatorischen Quadraturformel, die Polynome bis zum Gradn−1exakt
integriert, einen Quadraturfehler, dessen Schätzung außer von den Stützstel-len sogar nur von der jeweils kleinsten Skala abhängt:
|E(f)| ≤ M˜S⊥,m,n n!
∫ S⊤
S⊥
∏n k=1
(s−sk)ds .